刚弹性耦合的高超声速飞行器自适应有限时间控制

范军芳，唐文桃，纪 毅，李亚峰，王 伟

（1.北京信息科技大学 自动化学院，北京 100192；2.高动态导航技术北京市重点实验室，北京 100192；3.北京理工大学 宇航学院，北京 100081；4.无人机自主控制技术北京市重点实验室，北京 100081）

高超声速飞行器再入地球大气层，机体跨越稀薄、过渡和连续流区，飞行包线巨大，参数非线性与不确定性明显，多通道耦合时有发生，运动模式异常复杂，对再入控制策略带来严峻挑战[1]。其中，由于自身结构及高超声速飞行的特点，在飞行过程中会产生弹性变形，导致攻角和升降舵偏转角等刚体状态改变，从而产生刚性-弹性耦合效应，进一步放大了参数非线性、强耦合、快时变、高不确定性等复杂特性，严重影响飞行姿态控制精度。因此，亟需设计具有扰动抑制功能的姿态解耦控制方法，以提升高超声速飞行器再入姿态控制的鲁棒性与抗扰动性[2]。

高超声速飞行器再入段的姿态控制研究旨在其模型不确定、外部扰动影响及大范围气动参数摄动的情形下，姿态控制承接制导环节生成的攻角/升降舵偏转角指令按一定规律改变执行机构状态以提供所需角度，实现对再入制导指令的快速稳定跟踪控制，为飞行器精确执行制导指令提供支撑与保障。国内外已经围绕高超声速飞行器姿态控制方法开展了大量研究，涉及滑模控制、轨迹线性化控制、预设性能控制和自适应控制等技术。

就单一控制方法而言，滑模控制[3]抗干扰能力强、收敛速度快、鲁棒性较强，且设计形式多样，但无法彻底消除抖振现象，只能在一定程度上削弱，而且还有可能激发系统的未建模动态。轨迹线性化控制[4]具有系统误差动态特性指数稳定等特点，但鲁棒性会随着系统不确定性的增加而降低。预设性能控制[5]能同时保证系统的动态性能和稳态性能，系统的稳态跟踪精度可事先给定，但是往往需要和干扰观测器或自适应控制相结合来提高系统的抗干扰能力。自适应控制[6,7]可以很好地处理参数不确定性，但是估计参数往往收敛不到真实值。上述方法分别有各自的优点与缺点，如何综合应用多种控制方法，达到“扬长避短”的效果，值得进一步研究。

近年来，反步法作为一种基于Lyapunov 函数的回馈递推设计方法，因其在非线性控制上具有程序化、结构化且实用性较强等特点，适用于处理高超声速飞行器非仿射非线性和参数摄动等特性的动力学模型，但考虑到单一反步法控制存在虚拟输入计算的“微分爆炸”等问题，难以获得较好性能。因此，反步法多与其他控制方法相结合，以达到预期的控制效果。文献[8]基于反步法设计鲁棒自适应控制律，利用神经网络估计系统的综合不确定项，提升系统的鲁棒性能。文献[9]通过设计障碍Lyapunov 函数，针对高度子系统设计了有限时间自适应反步法控制策略，引入有限时间滤波器得到虚拟控制量的微分项。文献[10]基于扰动观测器（Disturbance Observer,DOB）结合径向基函数神经网络来估计高超声速飞行器系统弹性模态产生的干扰项，提出了一种具有干扰估计的弹性高超声速飞行器全局自适应神经反步法控制策略，实现了对未知系统动态的全局逼近。但是，受训练数据量和计算资源所限，基于人工智能的反步控制方法难以适应高超声速飞行器再入段大范围参数摄动下的在线控制，一定程度上增加了控制算法的复杂程度。

从控制系统时间优化的角度来看，使闭环控制系统有限时间收敛的方法属于时间最优控制方法，相比非有限时间闭环系统具有更好的鲁棒性和抗扰动性。因此，研究高超声速飞行器姿态有限时间控制问题具有重要实际与理论意义[11]。

由上述分析可知，具有扰动抑制功能的姿态解耦方法和有限时间收敛是提升控制系统鲁棒性和抗扰动性的关键。本文针对高超声速飞行器刚性-弹性耦合动力学特性诱发的再入姿态稳定控制难题，提出了一种有限时间收敛的自适应积分Lyapunov 控制方法。首先，给出高超声速飞行器纵向动力学模型，由于弹性模态没有执行机构主动进行抑制并且实际飞行环境不可测，故将弹性模态与外部不确定性视为归一化扰动，构建辅助误差补偿子系统，将模型改写成适合控制器设计的形式。其次，在控制器设计过程引入一阶线性滤波器、虚拟控制变量和自适应律，为速度子系统和高度子系统分别设计了切换控制方法和自适应积分Lyapunov 控制方法，解决了传统反步法控制的“微分爆炸”问题，抑制了弹性模态对飞行器姿态控制带来的不利影响。最后，通过仿真实验验证了所提方法的有效性。

1 问题描述

1.1 高超声速飞行器动力学模型

考虑如下刚弹性耦合的高超声速飞行器纵向动力学模型[12]：

其中，v、γ、h、α、q分别表示飞行器速度、航迹角、飞行高度、攻角、俯仰角速率；T、D、L、My、Ni(i=1,2)分别为发动机推力、升力、阻力、俯仰力矩以及弹性模态广义力；m、Iy分别表示飞行器质量与俯仰转动惯量；和为惯性耦合参数；g为重力加速度；ηi(i=1,2)是第i阶弹性模态，在标准情况下，其阻尼比和自然频率分别为ι1、ι2和ς1、ς2。

其中，h为飞行高度；h0为标称高度；hs=6.51 ×103m ；ρ0=1.225kg/m3为海平面标准大气条件下空气密度。

1.2 动力学模型转换

分析上述纵向动力学模型式(1)和式(4)可知，弹性变形会导致α和δe状态的改变，进而严重影响飞行器的表面气动分布和推力，对飞行器的控制性能产生负面影响。同时，飞行器刚体运动状态的变化也会影响其受力情况，进而影响弹性体的变形。因此，对于刚弹性耦合的高超声速飞行器，需要设计有效的控制方法，以克服弹性模态对飞行器控制性能的不利影响。

在此基础上，本文将弹性模态视为归一化扰动的组成部分，将实际攻角α变为由名义攻角αn和不确定扰动攻角αd两部分组成，即：

则转换后的纵向动力学模型为：

为便于控制器设计，考虑刚性-弹性耦合、外部不确定扰动以及参数摄动，将上述动力学模型分解为速度子系统与高度子系统分别进行设计。

对于上述动力学模型，速度子系统可以表示为：

假设1.假设函数fγ(xγ)和fq均是未知的，姿态系统中的控制增益函数g i(i=γ,q)可以写成已知部分gγ、gq和未知部分Δgγ、Δgq。

注1.本文中高超声速飞行器纵向动力学模型中详细气动参数可见文献[12]。控制器设计过程中，考虑到弹性模态没有执行机构主动进行抑制并且实际飞行环境中不可测，将其视为归一化不确定项的一部分，若控制输入有界，则弹性模态有界。

2 控制器设计

控制器设计目标是在大范围气动参数摄动时和外部扰动影响下，通过调整Φ 和δe在有限时间内实现对再入制导指令的快速稳定跟踪控制。其核心是将系统状态量快速收敛到稳态值，进而实现对飞行器姿态的鲁棒控制，为飞行器精确执行制导指令提供支撑与保障，同时有效抑制复杂弹性模态和外部干扰对姿态控制带来的不利影响，控制系统框图如图1 所示。

图1 高超声速飞行器控制系统框图Fig.1 Hypersonic flight control system block diagram

在速度子系统中，控制输入Φ 直接影响推力，因此，速度主要受Φ 控制，故采用经典切换控制策略设计控制系统。同样，高度变化主要由δe控制，而δe会直接影响q，进而影响俯仰角θ和γ的变化，最后实现控制飞行器高度变化。

引理2[15].对任意的x,y∈R和c,d＞0，有：

引理3[15].对任意的x,y∈R和p=p1p2≥0，其中p1和p2是两个正奇数，有：

引理4[15].对任意xi∈R(i=1,2…n)和0＜q≤1，有：

2.1 速度子系统

对于速度子系统，控制目标是通过设计控制律使速度v稳定跟踪vr，其中vr表示速度参考指令。定义速度跟踪误差为ev=v-vr，设计控制输入Φ 为：

其中，k v、ε1为设计参数，均大于零；Θ1=f v-。

2.2 高度子系统

对于高度子系统，通过设计系列虚拟控制律，并采用类反步法控制，最终使高度h稳定跟踪hr，其中hr表示高度参考指令。定义高度跟踪误差为eh=h-hr，则航迹角虚拟控制律为[16]：

其中，k h、ki为设计参数，均大于零。

只要确保航迹角γ趋于航迹角参考指令γr，就能实现高度对其参考输入的有效跟踪，进而高度跟踪误差会按照指数规律收敛。定义航迹角跟踪误差为eγ=γ-γr，俯仰角虚拟控制律为：

其中，kγ、ε2为设计参数，均大于零。

定义俯仰角跟踪误差e1=xθ-xθ*，通过等效替换得到辅助误差补偿系统为：

令α1=1，α2=α1+c/b，α3=α2+cb。其中-1/2＜＜ 1，且b是奇数，c是偶数。为保证高超声速飞行器辅助误差补偿系统能够在有限时间内收敛，提出一种自适应积分Lyapunov 控制律：

其中，κ、ω为设计参数且都为正的常数。

考虑式(24)所示的积分Lyapunov 函数：

由式(24)和定理1 可知，在集合e1∈R2中，V1是一个上界变化的光滑半正定积分变量，故只存在当e1为零变量时V1=0 的情况。

因此，V1是评估系统稳定性的有效Lyapunov 函数。首先，求V1对时间的导数：

其中，k1、k2为设计参数，且k1,k2∈R+。将虚拟控制变量代入式(24)得：

其次，为了便于表达，引入如下辅助变量：

此时，构造一个新的Lyapunov 函数：

与V1一样，V2也是一个上界变化的光滑半正定积分变量，也是评估系统稳定性的有效Lyapunov 函数。

求V2对时间的导数：

其中，σ为小的常数，σ越小越逼近符号函数。

2.3 一阶线性滤波器

采用类反步法以避免反步法控制中的“微分爆炸”问题，即通过一阶线性低通滤波器获得虚拟控制变量的导数。一阶线性低通滤波器的形式为：

其中，τi为一阶线性低通滤波器的时间常数，可以选择一个很小的值；xd是低通滤波器的输入。

3 稳定性分析

3.1 自适应积分Lyapunov 控制方法稳定性分析

自适应有限时间收敛积分Lyapunov 控制方法的有效性总结为如下定理。

定理2.考虑子系统式(7)和式(8)、积分Lyapunov控制方法式(21)和自适应律增益函数式(22)，则俯仰角跟踪误差及其速率一致最终有界，并在有限时间内收敛到零附近一个小区域。

证.定理2的证明分为两步：第一步证明有界性，第二步证明有限时间内收敛性。

第一步，选择Lyapunov 函数V3=[V1,V2]Τ，即：

由V∈R+可知，V3可以评估姿态子系统有界性。求V3关于时间的导数，再将自适应积分Lyapunov 控制律式(21)代入，得到：

将自适应增益变量式(22)代入式(34)，得到：

根据V3的取值可以分为以下两种情况进行讨论：

结合情况1 和情况2 可以得出：

其中，V3(0)表示V3初始值。

由式(41)可知，系统状态在任意有限时间区间[0,t] 内不会逸出上界，因此得证自适应积分Lyapunov控制方法具有有界性。

第二步，考虑Lyapunov 函数V2。将控制算法式(21)代入式(30)得到，即：

其中，k4满足以下不等式：

由定理1 可知：

进一步推导式(44)可得：

根据引理3，对式(45)中第三项进行推导，有：

根据引理2 和积分中值定理，可以进一步得到：

因此，由引理4 可知：

通过调用ζ的定义，可以得到ζ≤0，因此可以省略ζ，式(49)可以改写为：

如果参数设计同时满足κ1+1 0≤ 和κ2+1 0≤，根据引理1，即得证在有限时间内系统e1和e2将收敛到零附近的一个小区域，即证明完毕。

3.2 闭环稳定性分析

速度和俯仰角的虚拟控制律式(17)和式(19)的有效性和稳定性总结为如下定理。

定理3.对于高度和速度子系统，虚拟控制律式(17)和式(19)可以驱动系统状态γ、θ、q、e1、e2在有限时间内收敛到零附近一个小区域。

第一步，先证明全局渐进稳定性。在控制原理中，用Lyapunov 函数来判断系统的稳定性，对于平衡点S，如果存在一个连续的V满足＜0和S≠ 0，则V满足全局渐进稳定。

证.考虑如式(51)所示的Lyapunov 函数：

选择初始值ε1,ε2＞0 且为常数，求w2对时间的导数，可以得到：

全局渐进稳定性证明完毕。第二步，在此基础上进一步证明系统状态在有限时间内收敛到零附近一个小区域，结合引理继续对整理得到：

由引理1 可知，w2在有限时间内到达并保持在零域附近。结合定理3 可知，V4也可以收敛到零附近的一个小区域，即证明完毕。

4 仿真分析

为验证本文所提出控制方法的可行性和有效性，以高超声速飞行器纵向动力学模型为被控对象，进行速度、高度子系统跟踪参考输入的闭环仿真实验。

将本文提出的自适应积分Lyapunov 控制方法记为“RAGD”，文献[17]经典有限时间收敛控制方法记为“FΤCG”，文献[18]滑模反演鲁棒控制方法记为“SSRC”，对这三种方法进行仿真对比分析。文献[17][18]的控制律分别为式(56)和式(57)，并在t≥40s 时在动力学模型中加入扰动，其大小为2sin(0.01πt) +0.02。

其中，控制器参数为kv1=1.8，kv2=0.5，kq1=0.9，kq2=0.1；自适应律参数为ε v=εq=0.1，σv=σq=0.1，ω v=ωq=10，M1=1，M2=0.5。

其中，控制器参数εΦ=5，kf=0.4，kp=0.25，kq=0.5。

令速度阶跃增加121.92 m· s-1，高度阶跃增加304.8 m，速度与高度指令跟踪信号输入由滤波器产生：

其中，ωh1=0.5，ωh2=0.1，ωv1=0.3，ωv2=0.2，ξv=0.7，ξh=0.7。

控制系统其余参数选取为kv=1，ε1=5，δ1=0.05，kγ=1，ε2=5；kh=0.5，ki=0.1，c=4，b=7，κ=1，ω=5，k1=50，k2=2，k3=10，k4=10，初值设置为：x1=0，x2=1.515，x3=0，e1=1.515，e2=0。

设置如表1 所示两组对比仿真实验，飞行器刚体和弹性模态量的初值见表2，飞行器模型参数见表3。

表1 仿真实验Tab.1 Simulation experiments

表2 初始状态取值表Tab.2 Initial status values

表3 飞行器模型参数Tab.3 Vehicles model parameters

4.1 无参数摄动仿真实验

无参数摄动仿真结果如图2-7 所示。速度-高度跟踪及其相应的跟踪误差响应曲线如图2-3 所示，从图中可知，三种控制方法均能实现速度-高度对参考输入信号的有效跟踪。图3 中红色值为RAGD 方法在5 s、15 s、30 s、50 s 的误差，绿色和蓝色值分别为文献[17]和文献[18]在15 s 时的误差。由图3 可知在RAGD 方法下，飞行器在4.9 s 后将速度误差收敛至0.00026 邻域附近，而FΤCG 和SSRC 方法分别在17.1 s 和49.6 s时才收敛到此邻域。此外本文所提RAGD 方法在5.1 s后将高度跟踪误差收敛至0.0045 邻域附近，比SSRC方法提前了0.3 s，而FΤCG 方法在仿真时间内都未能收敛到此邻域附近。

图2 速度-高度跟踪Fig.2 Velocity-altitude tracking

图3 速度-高度跟踪误差Fig.3 Velocity-altitude tracking error

图4 为三种控制方法作用下的系统刚体状态量响应曲线。由图可知，所提RAGD 方法在1.4 s 内收敛至稳态值，明显快于SSRC 方法，后者需要13.7 s，而FΤCG 方法在仿真时间内都未到达稳态值，这突显了RAGD 方法不仅具有更快的收敛速度，而且响应曲线更为平滑。

图4 刚体状态Fig.4 Rigid states

由图5 虚拟控制误差响应曲线可知，所提RAGD方法和SSRC 方法的误差都会在一定时间内收敛，相比于SSRC 方法19.1 s 的收敛时间，本文所提RAGD方法收敛时间约为2.6 s 仅为其13.7%。

图5 虚拟控制误差Fig.5 Virtual control

图6 是弹性模态变化曲线，三种控制方法仿真初期均出现了抖振并在6.5 s 后逐渐收敛到一定稳态值。由细节图可知，在仿真初期和加入扰动时，本文所提RAGD 方法抑制抖振现象更为明显。

图6 弹性模态Fig.6 Elastic modal

由图7 控制输入响应曲线可知，控制输入Φ 和升降舵偏转角δe均在合理范围变化。具体分析可知，三种控制方法下的δe均出现了初始阶段饱和、抖振现象，本文所提的RAGD 方法在0.6 s 时脱离饱和状态，比FΤCG 和SSRC 方法提前了约50%，虽然RAGD 控制方法下执行机构在初始阶段0.2～1.2 s 和加入扰动40～42 s 出现了小幅抖振，其频率较低（＜5 Hz），对飞行器整体稳定性和可靠性影响可以忽略。这些现象主要是初始阶段的跟踪误差较大，需要较大的控制输入量来弥补，导致控制器系统在状态超出稳定范围后出现反向控制输入，从而引发了抖振现象。

图7 控制输入Fig.7 Control inputs

4.2 有参数摄动仿真实验

假定将每个气动系数名义值摄动的 ±20%作为气动系数实际值，来模拟仿真参数不确定性。仿真结果如图8-12 所示。速度-高度跟踪及其相应的跟踪误差响应曲线如图8-9 所示，从图中可知，在大范围参数摄动下，RAGD 和SSRC 方法的跟踪误差均稳定在10-2的零域附近，表现出良好的瞬态和稳态性能，而FΤCG 方法相对于上述两种方法其跟踪效果存在明显差异。

图8 速度-高度跟踪Fig.8 Velocity-altitude tracking

图10 表明各控制方法的刚体状态量均呈现出收敛趋势。在俯仰角响应中，RAGD 方法在1.5 s 后开始稳定，相较于FΤCG 和SSRC 方法分别提前了约95%和97%。俯仰角速率响应中，FΤCG 在29 s 左右出现了明显的抖振。而在40 s 时，由于外部扰动，三种方法都出现了抖振现象，但RAGD 的响应更加平缓，证明了其更佳的动态和稳态性能。

图10 刚体状态Fig.10 Rigid states

图11 是弹性模态的响应曲线。相比于FΤCG 方法30 s 时出现的抖振现象，本文所提的RAGD 控制方法呈现出比RAGD 和SSRC 方法更稳定、平滑的响应特性，特别是在扰动加入后，抖振抑制更为显著。

图11 弹性模态Fig.11 Elastic modal

图12 为控制输入响应，三种控制方法输入量均在合理范围内变化，变化趋势和无参数摄动相当。其中RAGD 方法在0.69 s 就已经避免了饱和，而文献[17]和文献[18]则要到1.1 s，值得注意的是，FΤCG 方法的Φ 响应在2.7 s 和30 s 后发生了抖振现象，δe在30 s后也出现了抖振现象。总体而言，RAGD 和SSRC 两种方法均能确保速度跟踪误差和高度跟踪误差分别不超过0.1 m/s 和0.5 m，表现出了卓越的控制性能，明显优于FΤCG 方法。然而，在考虑初始仿真及加入扰动的稳态与瞬态响应时，RAGD 方法在刚弹性耦合的高超声速飞行器控制中展现出更明显的优势，尤其在抖振抑制与响应平稳性方面。

图12 控制输入Fig.12 Control inputs

5 结论

本文针对高超声速飞行器刚性-弹性耦合动力学特性诱发的再入姿态稳定控制难题，提出了一种具有有限时间收敛功能的自适应积分Lyapunov 控制方法，具有以下优势：

1）将弹性模态与外部不确定性视为归一化扰动，在系统控制器设计过程中引入线性滤波器与自适应律，降低了计算量，避免了控制过程中“微分爆炸”的问题，改善了系统的响应速度和稳态误差。

2）有限时间闭环控制系统具有更好的鲁棒性和抗扰动性，且兼具理论性和实践性。

3）仿真实验表明，本文设计的控制方法能够快速稳定地跟踪再入制导指令。在气动参数摄动±20%的条件下，该方法可以使速度跟踪误差不大于0.1 m/s，高度跟踪误差不大于0.5 m，同时响应过程平稳且迅速。相比于文献[17][18]的方法，本文所提方法在高超声速飞行器刚弹性耦合、大范围大气参数摄动及外部扰动影响下，能够有效抑制弹性模态和外部扰动对姿态控制带来的不利影响。