《数学通讯》问题608 的解答与推广

江西省贵溪市第四中学(335400) 吴善祥

本文考虑如下的多元变量代数式的最值问题:

问题(《数学通讯》2023 年第5 期问题608[1])已知实数a,b,c,d,e满足a2+b2+c2+d2+e2=1,求

y=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|的最大值.

为了解答如上问题,需要用到下面这个引理:

引理若xi≥0(i=1,2,··· ,n),α>1,则

当且仅当x1=x2=···=xn时取等号.

证明令f(x) =xα(α>1),f(x)是区间[0,+∞)上的下凸函数, 由Jensen 不等式知对任意的xi∈[0,+∞)(i=1,2,··· ,n),有

笔者对问题608 进行了研究,发现该多元变量代数式可以借助绝对值不等式和上面的引理放缩到一元变量代数式,将问题转化成一元函数的最值问题.

1 问题解答

分析由绝对值不等式

将

放大,不妨设a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,此时再不妨设a≥e,易得

解|a-b| ≤|a| + |b|, 当且仅当ab≤0 时取等号;|b-c| ≤|b| + |c|, 当且仅当bc≤0 时取等号; |c-d| ≤|c|+|d|,当且仅当cd≤0 时取等号;|d-e|≤|d|+|e|,当且仅当de≤0 时取等号. 不妨设a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,此时再不妨设a≥e,便有

评注由于幂平均不等式

使用时要求xi> 0(i=1,2,··· ,n), 但问题608 中的实数a,b,c,d,e的绝对值不一定都大于零,因此不便使用幂平均不等式来推得

而引理的引入却能解决这个问题.

2 问题推广

波利亚说过:“解题就像采蘑菇,当我们发现一个蘑菇时,还应四处看看,它的周围可能还有一个蘑菇圈.”笔者深入挖掘问题608 的结构背景,将变量个数改成n(n≥2)个,将约束条件的2 次幂改成α(α>1)次幂,做了尝试性探究,发现问题608 还可以给出如下变式:

变式已知实数ai(i=1,2,··· ,n) 满足1(α>1),求的最大值.

分析利用绝对值不等式

解|ai-ai+1| ≤|ai| + |ai+1|, 当且仅当aiai+1≤0 时取等号,i= 1,2,··· ,n- 1, 不妨设(-1)i+1ai≥0(i=1,2,3,··· ,n).

当n为奇数时,再不妨设a1≥an,便有

当

且an=0 时取等号. 当n为偶数时,