广义齐次核半离散Hilbert型逆向不等式的构造定理及算子表示

洪 勇,赵 茜

(1.广州华商学院 应用数学系,广州 511300;2.广东财经大学 统计与数学学院,广州 510320)

1 引言与预备知识

设r≠0,α∈,

(1)

称为半离散Hilbert型逆向不等式,M称为常数因子.

Hilbert型不等式对于研究加权赋范序列空间和加权Lebesgue空间的算子问题有重要作用,目前已取得了许多研究成果[1-14],但对Hilbert型逆向不等式的研究文献报道较少[15-17],特别是对其构造条件的探讨不多,本文在文献[18]讨论Hilbert型积分不等式构造条件的基础上,讨论半离散Hilbert型逆向不等式的构造条件和最佳常数因子的计算问题.

设G(u,v)是λ阶齐次非负函数,K(n,x)=G(nλ1,xλ2)称为广义齐次核,K(n,x)具有如下性质: 若t>0,则

K(tn,x)=tλλ1K(n,t-λ1/λ2x),K(n,tx)=tλλ2K(t-λ2/λ1n,x).

特别地,有K(t,1)=tλλ1K(1,t-λ1/λ2),K(1,t)=tλλ2K(t-λ2/λ1,1).

引理1设1/p+1/q=1(00,G(u,v)是λ阶齐次非负函数,K(n,x)=G(nλ1,xλ2),α,β∈,K(t,1)t-(α+1)/p在(0,+∞)上递减,则

证明: 根据广义齐次核K(n,x)的性质,有

又因为K(t,1)t-(α+1)/p在(0,+∞)上递减,故有

引理2设1/p+1/q=1(0

当且仅当an=C1(常数)和f(x)=C2(常数)时,式(2)取等号.

证明: 因为1/p+1/q=1(0

(3)

当且仅当an=C1(常数)时,式(3)取等号.

又根据积分型Hölder逆向不等式和式(3),有

根据式(3)和式(4)取等号的条件可知,当且仅当an=C1和f(x)=C2时,式(2)取等号.

2 半离散Hilbert型逆向不等式的构造定理

(5)

从而有

因为K(t,1)t-(α+1)/p在(0,+∞)上递减,故有

于是可得

(6)

令

从而可视ε为一个趋于0的正项数列{ck},利用Lebesgue控制收敛定理,得

进而在式(6)中令ε→0+,得

(7)

矛盾.故cλ2>0不成立.

若cλ2<0,则对充分小的ε>0,取an=n(-α-1-|λ1|ε)/p(n=1,2…),

从而有

并有

从而可得

令ε→0+,同理可得矛盾的式(7),因而cλ2<0也不成立.

3 算子表达式

设K(n,x)≥0,定义以K(n,x)为核的离散算子T1和积分算子T2分别为

(8)

于是由定理1,可得如下等价结果.

(9)

(10)

在定理2中取α=β=0,可得如下推论.

(11)

‖T2(f)‖q≥M‖f‖q,f(x)∈Lq(0,+∞);

(12)

在定理2中取λ1=λ2=1,可得齐次核算子的如下推论.

(13)

则

证明: 令G(u,v)=exp{-c(u/v)b},则G(u,v)是λ=0阶齐次非负函数,

又记K(n,x)=G(nλ1,xλ2)=exp{-c(nλ1/xλ2)b},因为c>0,b>0,λ1>0,α≥-1,故K(t,1)t-(α+1)/p=exp{-ctλ1b}t-(α+1)/p在(0,+∞)上递减.

同理,可得

综上并根据定理2知推论3成立.证毕.