方光杰,陶双平
(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)
设(X,d,μ)为齐型空间[1-2],其测度μ满足双倍条件: 对任意的x∈X,存在常数C1∈(1,∞),使得
μ(B(x,2r))≤C1μ(B(x,r)),
(1)
其中B(x,r)={y∈X:d(x,y) μ(B(x,λr))≥C2μ(B(x,r)), (2) 关于RD空间的研究目前已有很多结果[4-9],例如: 文献[4]引入了RD空间上的广义加权Morrey空间;文献[6]得到了RD空间上θ-型Calderón-Zygmund算子的BMO交换子在广义加权Morrey空间中的有界性.本文主要考虑分数次积分算子及其BMO交换子在RD空间上的广义Morrey空间中的加权有界性,同时给出分数次积分算子及其BMO交换子在该空间的端点估计. 对任意的球B⊂X,Muckenhoupt权类Ap(μ),A1(μ),A(p,q)(μ),A(1,q)(μ)分别由满足下列条件的非负局部可积函数构成[10]: 其中p′=p/(p-1)为p的对偶指标. 设1 (3) 且存在常数0<β<1,使得当d(x,y)>2d(x,z)时,有 (4) (5) (6) 定义2[6]设1≤p<∞,φ: (0,∞)→(0,∞)为连续增函数,给定非负可测函数ν,u∈X,广义加权Morrey空间Mp,φ(ν,u)定义为 (7) 同理,对1≤p (8) (9) 往证当条件(7)成立时,条件(8)和条件(9)也成立.条件(7)⟹条件(8)显然成立,由于 则条件(7)⟹条件(9)也成立. 设ω∈A∞(μ),给定Young函数Φ和球B,则可测函数f在B上的加权平均Luxemburg范数定义[10]为 当Φ(t)=t时,‖f‖Φ(ω),B=‖f‖L(ω),B;当Φ(t)=t(1+log+t)时,‖f‖Φ(ω),B=‖f‖Llog L(ω),B.对ω∈A∞(μ)以及任意的球B⊂X,有如下广义加权Hölder不等式[15]成立: (10) 设b∈BMO(μ),由加权John-Nirenberg不等式知,存在常数C>0,使得对任意的球B⊂X,有[6] ‖b-bB‖exp{L(ω)},B≤C‖b‖BMO(μ). (11) (12) 注意到当t>0时,有t≤Φ(t)=t(1+log+t),且对任意的球B⊂X和ν∈A∞(μ),有 进一步可得 (13) 本文主要结果如下: 定理1设0<α<1,1 定理2设0<α<1,p=1,1/q=1-α,ω∈A(1,q)(μ),若φ: (0,∞)→(0,∞)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则Iα从M1,φ(ω,ωq)到WMq,φq(ωq)有界. 定理3设0<α<1 ,1 本文C表示一个不依赖于主要参数的正常数,在不同之处可表示不同值. 引理2[6]设(X,d,μ)为RD空间,若1≤p<∞,ω∈Ap(μ),则存在常数C5,C6>1,使得对任意的球B⊂X,有 ω(2B)≥C5ω(B), (14) ω(2B)≤C6ω(B). (15) 引理3设φ: (0,∞)→(0,∞)为连续递增函数且满足条件(9),则存在ε>0及充分小正数γ,使得 特别地,令p/q=1-γ,则对任意的0<η≤1,存在常数Cη>0,使得 证明: 利用文献[6]中引理2.7的证明方法可得结论,故略. 引理4设(X,d,μ)为RD空间,若1≤p (16) 证明: 该引理的部分证明类似文献[6]中引理2.9的证明.由于式(16)等价于 (17) 且φ满足式(9),因此由引理3,只需证明 设bj=ωq(2jB),这里j∈,由式(8),(15),有 再由引理3,可得 引理5[6]若1≤p<∞,ω∈Ap(μ),b∈BMO(μ),则存在常数C>0,使得对任意的球B⊂X,j∈,有 |b2j+1B-bB|≤C(j+1)‖b‖BMO(μ), (18) (19) 引理6[10,16]设1 引理7[17]设(X,d,μ)为齐型空间,0<α<1,1 引理8[18]设(X,d,μ)为齐型空间,0<α<1,1 设B=B(x0,rB)={x∈X:d(x,x0) 首先估计D1.注意到ω∈A(p,q)(μ),由引理6可知ωq∈Aq(μ).利用式(8),(15)和引理7,得 其次估计D2.注意到当x∈B,y∈(2B)c时,有d(x,y)~d(x0,y),V(x,y)~V(x0,y).由式(1),(3),(5),得 注意到ω∈A(p,q)(μ).利用A(p,q)(μ)条件、式(16)和Hölder不等式,有 结合D1和D2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理1的结论. 首先估计E1.注意到ω∈A(1,q)(μ),由引理6可知ωq∈A1(μ).利用式(8),(15)和引理7,得 其次估计E2.注意到ω∈A(1,q)(μ),由引理6可知ωq∈A1(μ)当且仅当ω∈A1(μ)∩RHq.利用式(16),(20)、Chebyshev不等式,A1(μ)条件和反Hölder不等式,有 结合E1和E2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理2的结论. 首先估计F1.注意到ω∈A(p,q)(μ),由引理6知,ωq∈Aq(μ).由引理8和式(8),(15),可得 其次估计F2.由交换子[b,Iα]的定义,对任意的x∈B,有 |[b,Iα](f2)(x)|≤|(b(x)-bB)||Iα(f2)(x)|+|Iα((bB-b)f2)(x)|. (21) 由式(20)的估计,同理可得 (22) 由式(20),(21),(22),得 注意到ω∈A(p,q)(μ),由引理6可知ωq∈Aq(μ).利用式(16),(18),(19)、Hölder不等式和A(p,q)(μ)条件,有 对于F23.设h(y)=ω(y)-p′,因为ω∈A(p,q)(μ),则由引理6可知h∈Ap′(μ).利用A(p,q)(μ)条件和式(19),得 利用式(16),(23)和Hölder不等式,得 综合F1和F2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理3的结论. 首先估计G1.注意到ω∈A(1,q)(μ),由引理6可知ωq∈A1(μ).利用式(8),(12),(13),(15)和引理9,可得 其次估计G2.由式(20),(21),(22)和Chebyshev不等式,得 注意到当t>0时,有t≤Φ(t).因为ω∈A(1,q)(μ),则由引理6可知ωq∈A1(μ)当且仅当ω∈A1(μ)∩RHq.利用式(18),(19)、反Hölder不等式和A1(μ)条件,可得 再利用式(12),(16)和反Hölder不等式,有 对于G23,因为ω∈A(1,q)(μ),故由引理6可知ω∈A1(μ).利用A1(μ)条件、广义加权Hölder不等式和式(11),有 综合G1和G2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理4的结论.0,满足下列条件:
2 主要结果的证明
0,使得对任意的球B⊂X,有
2.1 定理1的证明
2.2 定理2的证明
2.3 定理3的证明
2.4 定理4的证明