基于集对分析理论的路基沉降组合预测模型研究

丁健峻，罗进锋，王祺顺

（湖南省交通科学研究院有限公司，湖南长沙 410015）

0 引言

近年来，中国公路网快速建设和发展，公路交通在国民经济中的基础性地位和作用显著增强［1-3］。路基作为公路运输的基础，在汽车动荷载和降雨、冻融等环境因素的长期耦合作用下，会产生沉降变形，进而影响公路的运营和养护。因此，如何实现准确预测路基沉降是近年来专家学者的研究重点。

目前路基沉降的预测方法主要有单项预测和组合预测两种。单项预测方法主要包括曲线拟合法、反演预测法和系统理论法等［4-9］，其局限性在于会丢失样本点部分信息［10］，为避免这一现象，通过优性组合单项预测建立的组合预测模型预测结果更为准确［11-13］。鉴于此，基于各类组合标准的组合预测模型被提出，如吴清海等［14］基于相关系数和拟合误差等权重确定原则，提出了基于最小二乘的组合预测模型；赵明华等［15］针对沉降数据的误差特性，基于残差平方提出了组合权重的预测方法；陈华友等［16］探讨了基于有效度的组合预测方法。组合预测方法能显著提升预测的可靠度，但目前关于组合预测的组合方式，即权重系数的确定，还未有统一标准。

路基的变形沉降受汽车随机动荷载作用、特殊地质条件和复杂气候环境等多种可变性和不确定性因素影响，沉降数据具有高度非线性。集对分析理论将所有可能影响预测结果的因素作为整体系统进行分析［17-18］，为研究路基沉降预测这一不确定系统问题提供了新的思路和解决方法。

基于此，本文提出一种基于集对分析理论的路基沉降预测模型，通过确定组合权重系数，实现单项预测模型预测信息的优性组合，最后根据各项评价指标验证该组合预测模型在路基沉降预测中的稳定性和预测精度。

1 基于集对分析理论的路基沉降组合预测模型

1.1 理论介绍

假设由几何A、B组成的集合对为H（A，B），定义S、F、P分别为集合对的同一性、差异性和对立性系数。对其N个特性展开集对关系分析有［17-18］：

式中：μA-B为集对联系数；i为差异度系数；j为对立度系数；F1、F2、Fn-2分别为差异度分量；i1、i2、in-2为差异度分量系数；N为集对特性总数。

1.2 集对关系准则

集对分析理论中，进行集对分析的关键是确定合理可靠的集对关系准则［17-18］。汪明武等［18］在将集对分析方法应用于岩土工程领域时，采用主观隶属度法，即事先主观地构建集对关系准则，以开展后续的集对关系分析，这显然忽略了集对本身包含的部分信息。因此，本文基于统计决策思想对集对信息进行挖掘，以构建合理的集对关系准则。

通过预测误差δ可表示各预测模型预测结果与实测值间的集对。同时，预测模型的预测误差δ在某种意义上可反映集对关系：预测误差较小的可视为同一性关系；预测误差较大的可视为对立性关系；而对于预测误差处于中间范围内的样本可视为差异性关系。

单项模型的路基沉降预测结果误差呈现出正态分布规律。基于此，将预测结果误差按正态分布规律如式（3）所示确定样本与实测值间的集对关系。

1.3 组合权重系数及组合预测

通过集对联系数μi确定组合权重系数，如式（4）所示：

式中：ωi为单项评价模型i的组合权重系数；μi为单项评价模型i与实测值的联系数。

令Sp为第p测点的组合预测值，Si，p为单项模型p测点预测值，则组合预测结果可表示为：

式中：ωi为单项预测模型i的组合权重系数。

2 实例应用

2.1 工程背景

以某软土路基沉降数据［2］对模型进行应用和验证。原地基为软土地基，地基表层0.2 m 深度内为细砂、0.2 m 以下为厚度3.5～5.4 m 的粉土与淤泥质粉土夹层，地下水位为0.6 m。路基填土高度设计为3.6 m，软土地基在堆载工况下沉降固结。通过在观测断面埋设沉降板对该地基进行沉降监测。采用两个监测点的沉降数据对组合预测模型进行应用和验证，填土高度和地基沉降的数据和曲线分别如表1 和图1 所示。

图1 实测的累计填土高度与地基沉降量

表1 沉降实测数据

2.2 单项预测模型

本文选用计算过程简洁且实际应用较为广泛的双曲线模型、指数模型、泊松模型和GM（1，1）模型作为基础的单项预测模型。同时，以监测点1 为例，将各单项预测模型的计算过程及预测结果简单介绍。需要说明的是，监测点2 和监测点1 采用相同的单项预测模型，其沉降预测结果直接给出。

2.2.1 双曲线模型

双曲线模型是目前软土路基沉降预测中应用较为广泛的一种方法［19］，其预测模型如式（6）所示。

式 中：S0为 初 始 沉 降 量；t为 沉 降 时 间；a、b为 拟 合参数。

由于前81 d 内的堆土高度不断变化，沉降曲线在此期间呈现出一定的离散性且不严格满足双曲线的发展规律。在第81 天后，堆土高度稳定，路基沉降基本满足双曲线模型的变化规律。因此，以第81 天为界限，对在此之前的沉降曲线采用多项式预测模型进行预测，而第81 天后的沉降曲线则采用双曲线模型进行预测。基于双曲线模型的路基沉降预测模型如式（7）所示。

2.2.2 指数模型

式中：t为沉降时间；a、b为拟合参数。

基于指数模型的路基沉降预测模型如式（9）所示。

2.2.3 泊松模型

泊松模型的曲线（又称Logistic 曲线）呈S 形增长趋势［21］。

该模型的数学表达式如式（10）所示。

式中：K、a、b为拟合参数。

基于泊松模型的路基沉降预测模型如式（11）所示。

2.2.4 GM（1，1）模型

为提升GM（1，1）模型预测精度，本文利用Lagrange 插值函数对原时间序列转化为等时距时间序列，转换后的时间步长为30 d。同时，基于Matlab编程对该一阶线性微分方程进行求解，获得基于GM（1，1）模型的路基沉降预测模型［22］，如式（12）所示。

式中：k为时间序列数。

上述各单项预测模型在监测点1 和监测点2 的沉降预测结果如表2、3 所示。

表2 单项预测模型在监测点1 的预测结果

表3 单项预测模型在监测点2 的预测结果

2.3 组合预测结果及评价

2.3.1 组合预测结果

为避免不同监测点预测结果绝对误差的影响，对预测结果进行归一化处理并进行对比分析。

式中：δi'为相对误差归一化后的值；|δmax|和|δmin|为相对误差绝对值的最大值和最小值。

由于归一化后的相对误差值全为正值，δ'i的分布规律呈半正态分布，故基于样本整体的正态分布参数如图2（a）中的虚线所示，基于同一性集对关系样本的正态分布参数如图2（b）中虚线所示。各单项预测模型的多元联系数表示见式（14）。

图2 预测误差的分布参数

取i1、i2和i3的 值 分 别 为0.5、0 和-0.5，j的 值为-1。

联立式（4）、（15）确定组合权重系数，结果如表4所示。

表4 组合权重系数

式中：μ'i为单项预测模型i归一化后的联系数；μmax和μmin分别为可能的最大和最小联系数。考虑极端情况，即一个预测模型的预测结果全部为同一性关系或者对立性关系，计算出最大和最小联系数分别为1和-1。

基于组合权重系数的路基沉降预测结果如图3所示。

图3 单项预测模型和组合预测模型的预测结果

2.3.2 预测结果评价

图4 为单项模型和组合模型在监测点1 预测结果的相对误差。从图4 可以看出：整体而言组合预测模型的相对误差更低，单项模型在个别预测点出现较大的偏差，单项模型中指数模型的预测效果最好。为定量评估和对比各预测模型的预测效果，采用不同评价指标对模型预测准确性进行评价［23］。本文预测模型及与其他预测模型的效果对比见表5。

图4 各预测模型的相对误差（监测点1）

表5 预测效果对比（监测点1）

由表5 可知：组合预测模型的精度更高，相对误差更低，对于路基沉降的预测更为准确可靠，验证了所提模型和权重计算方法的有效性。

3 结论

针对受诸多不确定因素影响，应用单一预测路基沉降方法的预测效果不理想的研究现状，本文基于集对分析理论构建路基沉降组合预测模型，得到主要结论如下：

（1）采用组合预测模型可有效避免单项预测模型在部分预测点上可能出现的偏差，提高了预测的稳定性和可靠度。采用集对分析理论能有效识别单项预测模型预测信息的可靠性，获得最优的组合权重系数和组合预测模型。

（2）采用联系数作为组合权重系数的确定依据，根据联系数得到的组合预测模型具有较高的预测精度。

（3）基于集对自身信息自主识别集对关系准则，提高了集对分析方法的合理性和可靠性，克服了传统主观隶属度法对于集对关系确定过于主观的缺陷，拓宽了集对分析方法的应用范围。