覆水效应的地下相干函数与相变V 形峡谷多点地震动模拟及其特征规律

柳国环，陈欣宇，费琦翔

（1.天津大学水利工程智能建设与运维全国重点实验室，天津 300350；2.天津大学建筑工程学院，天津 300350）

引言

受行波效应、相干效应和局部场地效应的影响，地震动表现出复杂的时空变化特性。地震动的空间变异性对大坝、长距离隧道和大跨桥梁等长大结构的影响不可忽视，因此预测并模拟空间变化的多点地震动对长大结构的抗震分析具有重要意义。俞瑞芳等［1］合成了多点非平稳地震动并进行了大跨结构地震响应分析，重点关注了包线函数的影响。Li等［2］的研究表明，地表地震动和地下地震动在幅值和频率分布上均表现出明显差异，结构基础深埋于地下，输入地表地震动将错估结构响应。为此，Liu等［3］提出了地下相干函数，结合场地传递函数，构建了地下功率谱矩阵，生成了空间变化的地下多点地震动。利用此方法，Liu 等［4-5］进一步模拟了层状饱和介质有无上覆水时的地下多点地震动，其研究结果揭示了介质属性和覆水因素对地下多点地震动具有显著影响。

针对地形和场地条件对地震动的影响，学者们开展了广泛研究。Wu 等［6］利用水平地表到峡谷表面的传递函数模拟了V 形峡谷表面的多点地震动，但其未进一步探究地下地震动。韩淼等［7］开展了近断层地震动下的结构响应分析，重点比选出了相关性强、能表征近断层地震动破坏作用的主要参数。Liu 等［8］利用水平地表到峡谷表面再到地下的两步传递函数法模拟了U 形峡谷场地的地下多点地震动。柳国环等［9-12］陆续获得了分层圆弧峡谷和V 形峡谷的地下多点地震动，分析了其上桥梁在超大地震作用下的破坏模式。

现有研究所关注的场地普遍为单相介质或饱和多孔介质（双相介质），而天然场地往往是由单相介质过渡至双相介质的相变场地，因此研究相变场地的地下多点地震动模拟方法是必要的。近期，李鑫洋等［13］合成了半覆水相变圆弧形峡谷在SV 波入射下的地下多点地震动，这是首次对相变场地多点地震动的研究，但该文仅针对圆弧形峡谷，尚缺乏对在其他地形中引入介质相变的研究。此外，现有地下地震动模拟方法均采用了文献［3］基于单相介质场地提出的地下相干函数，文献［13］未能考虑覆水效应对地下相干函数的影响。因此，尚需推导出一种引入覆水效应的地下相干函数。

基于此，本文将“介质相变”和“峡谷覆水”两大因素引入V 形峡谷场地，提出适用于半覆水相变V形峡谷的“覆水效应地下相干函数”。基于此相干函数和场地特征，模拟地下多点地震动，探究“覆水效应地下相干函数”和“覆水深度”对多点地震动、进而对结构响应的影响。

1 覆水效应地下相干函数

当地表两点j和k均位于无覆水区时，对应地下两点j'和k'间的相干函数可按文献［3］计算：

式中ω为地震波的圆频率；τ为时间因子且τ=k∗z/ω=z，其中，ρ为目标点处土壤的密度，z为目标点距离地表的深度，k*和G*分别代表复波数和复剪切模量，其表达式分别为：

式中G为土体的剪切模量；ζ为土体的阻尼比。

当j，k两点位于覆水区时，文献［3］未考虑P 波在水中的传播，本文针对该缺陷，在地下相干函数中引入覆水效应。此时点k的振动可以用具有相位差的点j的振动来表示：

式中A为谐波运动的振幅；τj和τk为常数，计算方法同上；ρw为水的密度为水的复体积模量；hwj为j点距离覆水水面的深度；hwk为k点距离覆水水面的深度。等式右边括号内增加的第3 和5 项分别表示j，k两点处由于P 波在水中传播而产生的附加相位角。

式中Kw为水的体积模量；研究表明，在黏弹性波动方程中，除了存在剪切黏滞性，还存在一种与体积变化有关的黏滞性［14］，本文将水视作理想流体，不承受剪力，故略去剪切黏度，η代表与体积变化有关的黏度；ω0代表介质固有的过渡频率［14］。

过渡频率ω0、黏度η和体积模量Kw之间存在如下关系［14］：

文献［15］指出，当ω/ω0≪1（实际地震波传播情况）时，1+iω/ω0≈，故式（4）变为：

根据随机振动理论，地表两点j和k间的互功率谱密度函数可以表示为：

式中Rjk(Δτ)为j，k两点运动的互相关函数。

将式（3）代入式（7），并注意到积分区间趋于无穷大时，最终结果不受初始相位差的影响，得到：

相似地，地下两点j'和k'间的互功率谱密度函数可以表示为：

地面和地下运动的两个相干函数之间的关系可以表示为：

式中γjk(iω)和γj'k'(iω)分别为地表和地下相干函数；TFjj'(ω)和TFkk'(ω)为地表到地下的传递函数。

将式（8）和（9）代入式（10）可以得到：

综上，对于局部覆水的场地，地下相干函数与地表相干函数的关系为：

2 半覆水相变V形峡谷地下多点地震动模拟

2.1 目标点地震动模拟结果

采用文献［10］提出的两步传递函数法（水平自由表面→V 形峡谷表面→峡谷地下），传递函数由半覆水相变V 形峡谷散射频域理论解得到。联立本文的地下相干函数构造地下功率谱矩阵，通过Cholesky 分解生成了相变V 形峡谷场地的多点地震动。目标点的选取如图1 所示，各点坐标已在图中注明，地震动持时取为20.48 s。选取Clough-Penzien 功率谱［16］作为水平地表的目标功率谱，其参数取为S0=0.0069，ωg=5π rad/s，ωf=0.1ωg，ξg=ξf=0.6。地表相干函数模型采用Hao 等［17］的模型，参数采用SMART-1 台阵45 条地震记录的统计参数［16］，其参数β1，a，b和c分别取值为1.109×10-4，3.853×10-3，-1.811×10-5和1.177×10-4。选 取Jennings包络函数［16］进行调幅，其参数t1，t2和c分别取为1.2，9 和0.155。覆水深度取为峡谷深度的一半，水的体积模量取为2.2×109Pa，密度取为1000 kg/m3，各层土体物理参数如表1 所示。

表1 各层土体物理参数Tab.1 Physical parameters of soil

图1 目标点示意图Fig.1 Illustration of target points

图2 给出了各目标点的模拟加速度时程，图中标注的σ代表所模拟加速度时程的标准差，上标“db”和“dx”分别代表该点位于地表和地下，下标“b”代表峡谷半覆水。结果表明，各地下目标点的加速度峰值和标准差均小于相应的地表目标点，这是由土体的滤波作用和放大效应所导致的，而地表目标点和地下目标点的最大距离仅为120 m，衰减阻尼可以忽略不计。地表A，B，C 和D 点的标准差放大幅度分别为26.8%，13.9%，36.8% 和38.4%，表明土体的放大效应与土层厚度呈正相关。此外，点C和C'与点D 和D'间跨越了相变界面，相变界面使土体产生了分层，层效应会加剧土体的放大效应［10］。一系列实测数据和理论研究表明，河谷地形存在放大效应，峡谷两侧壁有明显的地震放大现象，并且随高程的增高地震放大系数越来越大，谷顶地震动大于谷底［18］。本文模拟结果表明，谷顶C 点地震动大于谷底B 点地震动，与已有研究成果结论一致。

图2 地表及地下目标点模拟加速度时程Fig.2 Simulated acceleration time histories of ground and underground target points

2.2 功率谱及相干函数拟合

图3 给出了目标点加速度时程的频谱关系，限于篇幅，本文仅以地表A 点、B 点、地下A'点和B'点为例。各点目标功率谱的谱密度主要集中在频率小于4 Hz 的低频区间，受传递函数随频率波动的影响，地表目标谱和地下目标谱均表现出了波动性，且地下目标谱的总面积小于地表目标谱。模拟谱按S(ω)=F(ω)F*(ω)/Δω计算，其中，F(ω)为单条加速度时程的傅里叶谱，F*(ω)为F(ω)的共轭复数，Δω为频率步长。结果表明，各目标点的模拟功率谱均与目标功率谱拟合良好。图4 给出了相干函数的拟合情况，限于篇幅，仅以点AB（A'B'）和点BC（B'C'）间的相干函数为例。结果表明，尽管相干函数的模拟值出现了一定程度的波动，但总体上模拟值仍围绕目标值变化，故所模拟地震动表现出了良好的空间相关性，证明了本文所模拟地震动的合理性。

图3 目标点功率谱拟合Fig.3 PSD fitting of target points

图4 地表及地下相干函数拟合Fig.4 Fitting of ground and underground coherence functions

2.3 改进前后地下相干函数的对比

覆水效应的地下相干函数乘以了一个代表水影响的复指数函数，即

式中 上标“0”和“1”分别代表未改进和改进。

图1 给出了各目标点的位置和坐标，以峡谷半覆水为例，目标点A'B'，A'C'和A'D'间的相干性变化如图5 所示，由于Hao 等［17］的模型对百米 以上距离拟合效果较好，故地表相干函数模型采用Hao 等［17］的模型，其参数取值与2.1 节中一致。结果表明，引入覆水效应后，多点地震动间相干性表现增强。

图5 改进前后相干函数模型的对比Fig.5 Coherence functions comparison between before-and after-improvement model

该现象的物理本质是：引入覆水效应后，P 波可以在水中传播，与周边土介质中波动的相互影响增强，波动连续性更强，由此导致地震动间相干性表现增强。

2.4 本文提出的地下相干函数对地下多点地震动的影响

图6 给出了引入覆水效应前后地下多点地震动的对比，图中下标“0”和“1”分别代表未改进和改进。结果表明，引入覆水效应后位于覆水区的点A'和点B'地震动减小（二者的标准差分别为改进前的0.94和0.97），而位于无覆水区的点C'和点D'地震动增大（二者的标准差分别为改进前的1.04 和1.11）。原因在于对应P 波的部分能量被传递至水中，导致点A'和点B'地震动减小。

图6 本文提出的地下相干函数对地震动的影响Fig.6 Influence of the proposed underground coherence function on seismic motions

2.5 覆水深度对地震动的影响

为了进一步探究覆水深度对地下多点地震动的影响，图7 分别给出了陕谷无覆水和满覆水时各点处地震动放大幅度的对比（半覆水时的地震动已在图2 给出），图中下标“w”和“m”分别代表峡谷无覆水和满覆水。图7 中注明了地表地震动的放大百分比。结果表明，土体对地震动的放大作用随着覆水深度的增大而减小（负相关），原因在于对应P 波的部分能量被传递至水中，且覆水深度越大，传递至水中的能量越多，土体中的地震动随之越小。其中在点A（A'）处，无覆水与满覆水相比，土体放大百分比的差值为10.7%，该数值在点B，C 和D 处分别为15.8%，4.6%和3.3%，这表明距离覆水越远，受覆水深度的影响越弱。此外，土层厚度相同的点C（C'）和点D（D'）相比，点C（C'）处地震动放大幅度小，原因在于点C（C'）距离覆水较近，受覆水影响更大。

图7 覆水因素对各点地震动的影响Fig.7 Influence of water-covered factor on seismic motions

3 算例分析

3.1 工程概况与有限元模型

如图8 所示，某预应力混凝土连续刚构桥跨越半覆水V 形峡谷，峡谷宽为300 m，深为100 m，地基弹性模量为1.5 GPa，泊松比为0.22。刚构桥全长300 m，跨径组合为75 m+150 m+75 m，采用变截面箱梁，截面尺寸如图9 所示。左墩高41 m，墩底埋深21 m，右墩高47 m，墩底埋深18 m。混凝土采用C50，纵筋和箍筋均采用HRB400。

图8 某连续刚构桥立面图（单位：m）Fig.8 Elevation of a continuous rigid frame bridge（Unit：m）

图9 主梁墩顶（左）及跨中（右）截面（单位：cm）Fig.9 Section of main beam at pier top（left）and midspan（right）（Unit：cm）

采用有限元软件ABAQUS 建立桥梁的数值计算模型，进行弹性时程分析，如图10 所示。箱梁、桥墩、桩基和土体均采用C3D8R 实体单元，共12588个单元；钢筋采用T3D2 桁架单元，共6732 个单元。墩梁绑定约束，钢筋嵌入混凝土，由于本文不关注桩-土相互作用，桩土采用共节点简化处理。梁体两侧只施加竖向位移约束及绕桥向转动约束（U3=UR1=UR2=0）。截取的地基周围施加接地的弹簧和阻尼器以建立黏弹性人工边界，模拟无限地基的辐射阻尼。黏弹性人工边界的刚度系数和阻尼系数按文献［19］计算。

图10 桥梁有限元模型Fig.10 Finite element model of bridge

3.2 工况设置及地震动输入

本文共设置4 种工况，设置目的与详细设置方式列于表2 中。地震动采用多点输入方式，依据前文方法模拟得到各组工况的地震动，如图11 所示。选取每一跨的跨中，以及左右两桥墩的墩顶和墩底作为观测点。输入地震动前首先对各组地震动进行归一化处理，即对每一组地震动数据除以该组数据中的最大值，再对归一化后的数据分别按加速度峰值为0.2g和0.4g进行输入（g为重力加速度）。采用三向激励，各方向的地震动按顺桥向∶横桥向∶竖向=1∶0.85∶0.65 进行设置。黏弹性边界上采用文献［20］的方法将地震动以等效节点力的方式输入。等效节点力的计算公式如下：

表2 工况设置Tab.2 Setting up of cases

图11 输入的多点地震动Fig.11 Multi-supports seismic motions input

3.3 跨越半覆水相变V 形峡谷桥梁地震响应的对比与分析

本节计算了桥梁在各工况下的地震响应，表3给出了工况1 下各观测点处的最大内力和位移。内力结果表明，多点输入时桥梁左右两侧的响应表现出了明显的非对称性，其中右跨跨中的剪力和弯矩均远大于左跨跨中；中跨跨中的轴力远大于左右两跨，但剪力和弯矩却小于左右两跨，其原因是梁体左右两端进行了竖向位移约束和绕桥向转动约束，导致左右两跨自由度减小，其剪力弯矩响应随之增大。位移结果表明，尽管顺桥向施加的地震动大于横桥向，但横桥向的最大位移更大（右跨跨中处），这是由于两桥墩顺桥向激励方向相反时，二者产生的位移被部分抵消。

表3 工况1 的最大内力和位移Tab.3 Maximum internal force and displacement of case 1

表4，5 和6 分别给出了工况2，3 和4 的最大剪力和弯矩及其与工况1 的对比。结果表明，引入覆水效应后本文刚构桥的响应普遍减小，且响应与覆水深度呈负相关，原因在于对应P 波的部分能量被传递至水中，且覆水深度越大，传递至水中的能量越多，传递到结构上的能量随之越小。前文分析表明，引入覆水效应前后地震动差值不足10%，而多点激励下结构响应最大差值达到79.4%（左跨跨中在0.4g峰值下的弯矩），这表明本文提出的覆水效应地下相干函数对结构地震响应影响显著，在实际工程中不可忽视。工况3 中左跨跨中的剪力弯矩以及两墩顶部的弯矩反而增大，工况4 中少数观测点的内力反而减小，原因是在多点激励差动输入的复杂情况下，结构不同位置的位移不同步，导致部分位置的内力相对增大或减小。多点输入更符合真实情况。

表4 工况2 的最大剪力、弯矩及其与工况1 的对比Tab.4 Maximum shear and moment of case 2 and comparison between case 1 and 2

表5 工况3 的最大剪力、弯矩及其与工况1 的对比Tab.5 Maximum shear and moment of case 3 and comparison between case 1 and 3

表6 工况4 的最大剪力、弯矩及其与工况1 的对比Tab.6 Maximum shear and moment of case 4 and comparison between case 1 and 4

为了直观地展示各种工况的内力对比，图12 给出了0.2g峰值下各观测点最大剪力和弯矩的柱状图。

图12 最大剪力、弯矩的柱状图Fig.12 Histogram of maximum shear and moment

4 结语

本文提出了覆水效应地下相干函数，模拟了半覆水相变V 形峡谷场地地下多点地震动，验证了其合理性，分析了覆水深度与相干性的影响。简要总结如下：

（1）提出并推导出了覆水效应的地下相干函数模型，模拟了基于该地下相干函数的半覆水相变V形峡谷多点地震动，所生成的多点地震动具有良好的谱兼容性和空间相关性。

（2）引入覆水效应的多点地震动间相干性表现增强，原因在于P 波可以在水中传播，进而与周边土介质中波动的相互影响增强，波动连续性更强。

（3）覆水效应导致覆水区地震动减小；土体的放大作用随覆水深度增大而减小，且距覆水越远受覆水影响越弱。

（4）以3 跨连续刚构桥为例，探讨了“覆水效应地下相干函数”及“峡谷覆水深度”对结构地震响应的影响，覆水效应降低了结构响应且结构响应随覆水深度的增大而减小。