用平均力解决变力问题时的常见谬误分析

赵康鑫 张 浩

(1.北京师范大学乐育书院 2.甘肃省兰州市第二中学)

在高中阶段,涉及变力的动力学问题比较复杂,在处理一维变力做功问题时,可找出等效恒力代替此变力从而解决问题.此处的易错点是误将动量定理得出的平均力代入动能定理进行求解,不少学生很难发现其中的错误.本文从定义出发辨析高中物理中常见的两种平均力的不同,并基于例题指出在不同情境下使用平均力解题的常见谬误,给出正确解题的思路和方法.

1 辨析两种平均力

以一维变力问题为例.考虑动量定理的表达式:

式中F为物体受到的合外力.当此合外力为变力时,我们可以用平均力来代替此合外力:定义平均合外力

代入式①得

通过式②即可求出此变力F的平均力,但这样求得的平均力并不能用于计算功的大小.

由功的定义知

式中F为合外力.定义为

代入式③得

式②与式④有相似的数学形式,但物理意义不同.式②即为动量定理,代表力对时间的累积效果,是动量的变化量;式④为动能定理,代表力对位移的累积效果,是动能的变化量.且两式中平均力的物理意义也不相同,式②中的是力对时间的平均值,而式④中的则是力对位移的平均值,在一般情况下这两种平均力不能相互替代.

另外,当力F随时间(位移)线性变化时,平均力可以表示为

在高中物理中,涉及变力做功的问题比较常见,做题时要辨析清楚平均力的物理意义.下面通过例题分析用两种平均力解题中的常见谬误.

2 用平均力求解变力问题的典型谬误分析

例1一辆汽车在平直公路上由静止开始运动,汽车的输出功率随速度大小的变化如图1所示,当汽车速度达到v0后,汽车的功率保持不变,汽车能达到的最大速度为2v0,已知汽车受到的阻力大小恒为f,汽车从v0达到2v0用时为t,汽车质量为m.求汽车从静止开始达到最大速度的过程中通过的位移大小.

图1

分析首先对题目描述的物理过程进行分析,由P＝Fv知,0～v0过程中牵引力为一恒力F0,汽车做匀加速直线运动;

v0～2v0过程中,功率达到最大值P0,此过程中汽车速度不断增大,故牵引力F不断减小.当汽车速度到达最大值2v0时,牵引力F＝f,最大功率P0＝2fv0;

故在0～v0过程中的牵引力F0＝2f,加速度大小

典型错解直接对整个过程使用动量定理和动能定理得

正解1在v0～2v0的过程中,汽车牵引力所做的功为W2＝P0t,由动能定理可得

解得

则总位移x＝x1＋x2.

联立解得

正解20～v0过程中汽车做匀加速直线运动,满足v∝t,且此时P∝v,所以功率P随时间线性变化,故P对时间的平均值为

对全过程应用动能定理有

联立解得

汽车以恒定功率加速问题是高中物理中典型的变力问题之一.本题中汽车先做匀加速直线运动,当功率达到最大值后,汽车以恒定功率加速,此后牵引力不断减小,汽车做加速度减小的变加速直线运动,直至牵引力等于阻力时,汽车的速度达到最大值.根据两种平均力的物理意义可知此题中用动量定理求出的平均力不能用在动能定理中.要让学生明确与在定义中的不同,避免出现“张冠李戴”的情况.一般情况下,将代入动能定理或将代入动量定理进行求解,必然是错误的.

例2平行金属导轨水平放置,导轨间距为l,一端接有一阻值为R的电阻,现将一根质量为m的金属杆置于导轨上,整个装置处于竖直向下的匀强磁场中.已知金属杆开始运动的初速度为v0,方向平行于导轨.金属杆、导轨的电阻和杆与导轨间的摩擦力均忽略不计.求金属杆运动位移为x时速度的表达式.

分析在金属杆运动的过程中,安培力是变力,则金属杆做变减速直线运动.设整个过程用时Δt,平均安培力为,则

联立解得

3 反思总结

本文通过定义和例题,辨析了两种平均力物理意义的不同,在求解相关变力问题时二者不能相互替代.要理解这两种平均力的不同,避免在解题时出现“张冠李戴”的情况.只有真正掌握物理概念,明确其物理意义,在做同类型题目时才能够得心应手.

(完)