基于维纳过程的机械密封寿命预测★

朱军华，时钟，姚珂，孙立军

（工业和信息化部电子第五研究所，广东 广州 511370）

0 引言

机械密封以其体积小、泄漏量低和可靠性高等优点而被广泛地应用于石油化工、核电和航空航天等领域的流体机械设备，是重要的工业基础产品。在石油化工领域，机械密封需阻止具有腐蚀性、可燃性、易爆性和毒性的流体泄漏，因为一旦密封失效、介质泄漏，不仅会污染环境、影响人体健康，还会导致火灾、爆炸和人身伤亡等重大事故[1]，在军工和航空航天领域，机械密封长期工作在高转速、变载荷和强振动等恶劣环境下，武器装备中的机械密封失效轻则影响装备的正常运行和武器战斗力的发挥，重则引发装备系统或航天器的重大安全事故。因此，准确评估机械密封寿命至关重要。

机械密封寿命预测方法的研究可分为3 类，分别是基于失效物理模型的寿命预测、基于失效数据的寿命预测和基于性能退化的寿命预测。在失效物理模型方面，Brunetiere 等[2]通过建立机械密封的热弹流体动力学模型，计算机械密封的摩擦扭矩、泄漏率和端面温度等以评估其寿命，影响机械密封可靠性的端面薄膜厚度受端面摩擦引起的热变形和介质应力引起的弹性变形影响较大，恶劣工况下的热传导很难精确量化。除此之外，机械密封的结构型式、材料特性、工作条件、介质状况、磨擦状态、安装人员水平和安装工艺等都对机械密封的寿命及可靠性影响显著[3]，基于失效物理模型的寿命预测仍面临不小的困难。

在失效数据的寿命预测方面，顾永泉[4]针对齐鲁石化公司炼油厂工艺泵机械密封的失效统计，进行可靠性数据处理，得出不同介质、不同用途的泵和不同的摩擦副的机械密封的统计平均寿命；朱军华等[3]收集了国内石化领域压缩机、泵、釜和搅拌器四种应用平台用的弹簧接触式密封、干气密封、液膜密封和机械密封与干气组合密封等415 例故障数据，研究了各应用平台上的4 种机械密封的平均寿命水平。由于机械密封失效原因复杂，故障数据收集困难，利用机械密封运行过程中的性能退化数据进行寿命预测日益受到关注。基于机械密封的声发射数据，张思聪等[5]利用小波去噪和SVR训练生成退化模型研究了机械密封的寿命预测，胡龙飞等[6]利用QPSO-SVR 对机械密封寿命进行预测；Chen 等[7]采用维纳过程、伽马过程和逆高斯过程描述机械密封泄漏率和摩擦扭矩的退化信息，利用Copula 函数考虑两种退化指标之间的相关性，通过贝叶斯模型平均法（BMA）实现随机过程模型的优选，研究了基于两种性能退化指标的机械密封寿命预测。目前，利用性能退化数据进行寿命预测的方法较多，但结合机械密封的性能退化特点，对各种方法在机械密封寿命预测的适用性研究仍相对较少。

本文建立了广义维纳退化模型M0、线性维纳退化模型M1、时间变换维纳退化模型M2和非线性维纳退化模型M34 种退化模型，结合典型机械密封泄漏率和摩擦扭矩退化试验数据，研究了4 种退化模型在机械密封寿命预测领域的适用性，并与幂函数、指数函数和多项式退化轨迹模型进行了对比分析，表明了维纳退化模型的优越性。

1 基本理论

1.1 维纳退化模型

假设机械密封在t 时刻的性能退化量X（t），定义为：

式（1）中：λ（t；θ）和τ（t；γ）是区间[0，∞）上的连续非递减函数，B（τ（t；γ））用来描述性能退化过程中的不确定性，当τ（t；γ）≠t 时，B（τ（t；γ））为一个非标准的布朗运动。假设X（0）=0，X（t）表示时间t 的累积性能退化量，Λ（t；θ）=，可以得到广义维纳退化模型M0[8]：

当Λ（t；θ）=t 和τ（t；γ）=t，则M0变为线性维纳退化过程模型M1，即：

当Λ（t；θ）=τ（t；γ），则M0变为时间变换维纳退化模型M2：

当τ（t；γ）=t，M0变为非线性退化模型M3：

通过变换Λ（t；θ）和τ（t；γ）的表达式，上述模型可以衍化出更多的模型。

1.2 失效时间分布及平均寿命计算模型

假设s=τ（t；γ）和τ-1（s；γ）表示τ（t；γ）的逆。式（2）变换为：

式（6）中，η（s；θ）=Λ（τ-1（s；γ）；θ），X（s）首次穿越阈值D 的时间，即X（s）的失效时间S 为：

失效时间S 的条件概率密度函数（PDF）可近似为[8]：

式（11）即为M0模型的PDF。当θ=1 和γ=1时，M0模型转化为M1模型，其失效时间条件PDF为逆高斯分布：

当b=γ 时，M0模型转化为M2模型（τ（t；γ）=tγ），其失效时间的条件PDF 为：

当γ=1 时，M0模型转化为M3模型（τ（t；γ）=t），其失效时间的条件PDF 可由式（14）代入式（9）得到：

考虑材料和工作环境的随机性的影响，每个产品的性能退化率都不尽相同，为了描述产品间的差异性，假设参数α 是服从均值为μ0和方差为的正态分布，即α～N（μ0，），则X（t）的失效时间PDF 可表示为：

上述M0模型的失效时间PDF 近似为[8]：

分别对θ 和γ 取不同的值可得到M1、M2、M3模型的失效时间PDF。基于4 种模型的PDF，可计算机械密封的平均寿命（MTTF）为：

1.3 模型参数估计方法

假设机械密封的性能退化信息为xi（tij），i=1，2，…，m 和j=1，2，…，ni，其中xi（tij）表示第i 个产品tij时刻的性能退化值。

则xi的PDF 为：

未知参数Θ=（θ，γ，μ0，σ0，σ）的对数似然函数为：

将式（19）分别对μ0和σ0求偏导并令其为0，得μ0的极大似然估计值为

将式（20）代入式（19），得到关于θ，γ，σ0，σ 多个未知数的似然函数，可通过求解似然函数的极大值获得前述参数的极大似然估计值，最后再代入式（20）得到μ0的极大似然估计值。进一步对式（20）进行简化，假设每个产品的退化测量时 刻相同，即ni=n，t1=ti1，t2=ti2，…，tn=tini，i=1，2，…，m，对于特定的θ、γ、σ，μ0和σ0的似然估计可以表示为[8]：

式（21）～（22）中，Λ=Λi，Ω=Ωi，Z=ΛTΩ-1Λ，。将和代入式（19），则简化为关于θ，γ，σ 的似然函数。通过最大化求解l（θ，γ，σ|x，，），可以得到θ，γ，σ 的极大似然估计。然后可以从式（21）～（22）中可以获得μ0和σ0的极大似然估计。

2 应用案例

某型机械密封开展退化试验[7]，获得3 个样本在450～1 000 h 内的泄漏率和摩擦扭矩性能退化试验数据，如图1 所示。利用前述维纳退化模型对其进行寿命预测，以验证模型准确性，并与基于退化轨迹的幂函数模型、指数函数模型和多项式模型进行对比分析。

图1 机械密封性能退化曲线

2.1 维纳退化模型预测结果分析

首先将机械密封性能退化数据进行预处理，使其满足维纳过程的初始条件，即X（0）=0；然后，利用预处理后的数据计算M0、M1、M2和M34 种退化模型参数的极大似然估计值，结果如表1～2所示。

表1 基于泄漏率的模型参数估计结果

表2 基于摩擦扭矩的模型参数估计结果

采用4 种维纳退化模型预测泄漏率和摩擦扭矩退化量，分别获得5 000 组退化样本及失效时间样本，图2～3 分别为M0模型预测泄漏率和摩擦扭矩退化失效时间统计频度与M0模型的理论PDF 对比，可以看出二者吻合度较好，表明式（16）理论模型正确。进一步计算5 000 组泄漏率和摩擦扭矩退化样本的平均值，获得4 种模型预测的退化量平均值曲线，并与实测值进行对比，如图4～5 所示，可以看出，M0与M3模型预测泄漏率的退化结果与实测值变化趋势较接近，M1和M2预测结果明显偏离，M1为线性维纳退化模型，其预测的退化曲线呈现线性变化趋势，不适合预测类似于泄漏率的非线性退化过程；4 种模型预测摩擦扭矩的退化结果与实测值变化趋势均一致。

图2 基于泄漏率的M0 模型失效时间PDF

图3 基于摩擦扭矩的M0 模型失效时间PDF

图4 不同维纳退化模型的泄漏率退化预测

图5 不同维纳退化模型的摩擦扭矩退化预测

利用4 种模型的理论PDF 由式（17）计算平均寿命，结果如表3 所示，可以看出，M0与M3模型对于两种性能退化数据均能获得高精度的预测结果，表明其适应性较好，M1和M2模型仅适用于利用摩擦扭矩退化过程进行寿命预测。

表3 维纳退化模型的平均寿命结果对比

2.2 与退化轨迹模型的对比分析

为了进一步研究维纳退化模型的寿命预测效果，将M0 模型与幂函数、指数函数和多项式模型等退化轨迹模型进行对比，几种模型的性能退化预测结果如图6～7 所示，预测泄漏率退化时，选取4阶多项式模型，预测摩擦扭矩退化时，选取1 阶多项式模型（线性模型），从图中可以看出，M0模型和多项式模型的预测结果与实测值吻合度较高，幂函数和指数函数模型对泄漏率和摩擦扭矩的预测结果在性能退化的后半段均与实测值发生较大偏离，寿命预测结果如表4 所示，可以看出，幂函数和指数函数模型对摩擦扭矩和泄漏量的退化预测误差均较大，多项式模型预测结果较好，但不同阶数的多项式预测结果差异较大甚至出现无解的情况，在1～20 阶范围内，当多项式阶数为3、4、7 和11时，基于泄漏量退化数据的寿命预测误差较小，阶数为4 时精度最高，其他阶数预测误差较大或者无解。当多项式阶数为1、2 和6 时，基于摩擦扭矩退化数据的寿命预测误差较小，阶数为1 时精度最高，因此多项式模型中阶数的选取非常关键。与多项式模型相比，M0模型具有精度高、适应性强的优点。

表4 退化轨迹模型的寿命预测结果

图6 不同退化模型的泄漏率退化预测

图7 不同退化模型的摩擦扭矩退化预测

3 结束语

本文研究了4 种维纳退化模型在机械密封寿命预测的适用性，获得以下几点结论：

a）在4 种维纳退化模型中，M0和M3模型可以准确地预测机械密封的泄漏率非线性退化过程和摩擦扭矩线性退化过程，M1和M2模型仅能预测机械密封摩擦扭矩线性退化过程；

b）在幂函数、指数函数和多项式等退化轨迹模型中，仅多项式退化轨迹模型对机械密封的寿命预测结果较好，但多项式阶数对结果影响较大；与退化轨迹模型相比，维纳退化模型计算过程简单、适应性强、预测精度高，适用于机械密封的寿命预测。