考虑个性化语义和一致性的群体决策共识模型

张 震, 李卓琳

(大连理工大学 系统工程研究所, 辽宁 大连 116024)

0 引言

群体决策问题广泛存在于人类社会的经济、政治和文化领域[1-3]。 由于决策环境的不确定性和人类认知的模糊性,在群体决策问题中人们越来越倾向于使用语言术语表达自己的观点[4-7],这类问题被称为语言型群体决策问题。 作为一种常见的偏好表达方式,语言偏好关系允许专家使用语言术语给出方案两两比较的偏好信息[8-9],在语言型群体决策问题中得到了广泛应用。 在基于语言偏好关系的群体决策问题中,通常有两个重要问题值得关注和研究,即个体一致性和群体共识。 个体一致性是为了确保专家给出的偏好关系既不是随机的也不是不合逻辑的[10-13],而群体共识则是为了在群体决策过程中获得被大多数专家所接受的群体意见[14-17]。 已有文献提出了不同的方法来处理语言型群体决策中的个体一致性和群体共识问题。 例如,Herrera-Viedma等人[18]针对基于多粒度语言偏好关系的群体决策问题,提出了群体共识模型。 Wang 和Xu[19]考虑一致性度量,提出了改进残缺语言偏好关系一致性的交互式算法。 Wu 等人[20]针对专家给出语言偏好关系的群体决策问题,构建了一种基于距离函数的共识达成模型。 Zhao 等人[21]考虑语言偏好关系的一致性,提出了基于多阶段优化的共识达成算法。

在处理语言型群体决策问题时,通常需要基于词计算的范式将语言信息转化为数值信息[22-23]。 但在转化过程中,同一个语言术语对于不同的人来说可能有着不同的含义,即个性化语义[24-25]。 例如,在对某一论文进行评审时,两个专家都认为该论文“好”。 但对专家1 来说,“好”等同于85 分,而专家2 则认为“好”等同于80 分。 Li 等人[24]构建了基于区间数值标度的个性化语义模型,并进一步提出了考虑个性化语义的群体决策共识模型。 Tang 等人[25]针对基于语言分布偏好关系的群体决策问题,考虑个体一致性和群体共识,建立了确定专家个性化语义的优化模型。 Li 等人[26]基于一致性驱动的方法论建立确定专家语言术语个性化语义的优化模型,并在语言型大群体决策问题中设计了考虑个性化语义的专家意见反馈调整机制。 Xiao 等人[27]针对基于语言分布的大群体决策问题,考虑专家的个性化语义,建立了最小化偏好信息损失的共识模型。 Li 等人[28]考虑专家个性化语义的动态变化特性,提出了基于连续个性化语义学习的群体决策共识模型。

这些相关研究极大丰富了基于个性化语义的语言型群体决策问题的研究,但仍存在以下不足：(1) 已有基于个性化语义的群体共识模型多是根据群体意见调整专家个体意见,进而促进共识达成。 但专家在调整其语言偏好关系时,可能会破坏语言偏好关系的一致性[29]。 因此,有必要在考虑个性化语义的共识达成模型中控制语言偏好关系的个体一致性。 (2) 在考虑个性化语义和一致性的共识模型中,专家通常希望在调整其语言偏好关系元素时能够有最大的调整范围,以便能有较大的自由度来调整其语言偏好关系。

基于此,本文提出了考虑个性化语义和一致性控制的群体决策共识达成模型。 具体来说,本文首先基于一致性驱动的方法论确定专家语言术语的个性化语义,进而将个体语言偏好关系转化为模糊偏好关系并对群体共识水平进行度量。然后,针对不满足个体共识水平的专家,建立了考虑一致性控制的混合0-1 线性规划模型来确定其语言偏好关系元素的调整范围,并在此基础上设计了群体共识达成算法。 该算法可以在保证个体一致性不被破坏的前提下提升群体共识水平。 最后,本文以在线教育平台选择问题为例进行了算例分析,并设计了相应的对比仿真实验进一步验证了所提模型和算法的可行性和有效性。

1 预备知识

1.1 二元语义模型及数值标度模型

令S ={s0,s1,…,sg} 表示一个语言术语集,si表示语言术语集S中的第i个语言术语,g +1 表示语言术语集S的粒度。 那么,语言术语集S应该满足下列条件[30]：(1) 有序性：如果i ＞j,有si ＞sj;(2)存在逆运算Neg：如果j = g - i,那么sj= Neg(si)。

为避免在词计算过程中造成信息损失,Herrera 和Martínez[31]定义了二元语义模型。

定义1[31]令S ={s0,s1,…,sg}表示一个语言术语集,β∈[0,g] 表示符号运算结果,那么与β等价的二元语义信息可以表示为

其中k= round(β),α = β - k。

定义2[31]令S ={s0,s1,…,sg} 表示一个语言术语集,(sk,α) 表示一个二元语义,那么可以用如下函数将一个二元语义转化为与其等价的数值β∈[0,g] ：

Dong 等人[32]对二元语义模型进行了扩展,提出了数值标度模型。

定义3[32]令S ={s0,s1,…,sg}表示一个语言术语集,R表示实数集,定义NS：S→R为S的数值标度函数,则称NS(si)为si的数值标度,i =0,1,…,g。 如果函数NS是严格单调递增的,那么NS是一个有序的数值标度函数。

定义4[32]令S ={s0,s1,…,sg} 表示一个语言术语集,是S的数值标度函数,那么的数值标度可以定义为

定义5[33]令NS表示一个有序数值标度函数。 如果∀y∈[NS(s0),NS(sg)],有NS(si) ≤y≤NS(si+1),则可定义NS的逆运算为

1.2 语言偏好关系与犹豫模糊语言偏好关系

令X ={x1,x2,…,xn} 表示备选方案集,S ={s0,s1,…,sg} 表示一个语言术语集,专家在对方案进行两两比较时,可构建一个语言偏好关系,其定义如下。

定义6[34]定义在X上的一个语言偏好关系可以表示为一个矩阵L =(lij)n×n,其中lij表示xi对xj的偏好程度且

定义7[32]语言偏好关系L =(lij)n×n关于数值标度函数NS的加性一致性水平CI(L) 可定义为

显然,CI(L) ∈(0,1]。 给定一致性水平阈值如果则称L具有可接受的加性一致性;否则,L不具有可接受的加性一致性。

对于具有高度不确定性和复杂性的决策问题,专家在表达意见时可能会在多个语言术语之间犹豫。 为此,Rodríguez等人[33]定义了犹豫模糊语言术语集。

定义8[35]令S ={s0,s1,…,sg} 表示一个语言术语集,那么定义在S上的一个犹豫模糊语言术语集HS是S的一个有序有限连续子集。

基于语言偏好关系和犹豫模糊语言术语集的定义,Zhu等人[34]定义了犹豫模糊语言偏好关系。

定义9[34]定义在X上的犹豫模糊语言偏好关系可以用一个矩阵H =(hij)n×n来表示,其中是一个犹豫模糊语言术语集且应满足,其中#hij是hij中元素的个数。 此外,hji= {Δ(g-

注解1语言偏好关系和犹豫模糊语言偏好关系中的元素满足互补性,在考虑其一致性时,仅需用到上三角元素。简便起见,下文考虑的语言偏好关系和犹豫模糊语言偏好关系的下三角元素均使用null表示。

1.3 确定专家个性化语义的优化模型

同一个语言术语对于不同的人来说,可能有着不同的含义。 因此,Li 等人[26]基于一致性驱动的方法论建立了一个优化模型来确定专家的个性化语义(即语言术语的数值标度),其目标是最大化语言偏好关系关于数值标度函数的加性一致性水平。 令L =(lij)n×n表示语言偏好关系,NS表示数值标度函数,则确定专家个性化语义的优化模型可表示为

其中, 式(6)的第一行约束表示NS的有序性,参数δ为一个正数,用于保证NS(st+1)＞NS(st),t =0,1,…,g -1;第二行及第三行约束限定了数值标度的取值范围。 通过求解式(6),可以得到每个语言术语的数值标度。

2 考虑个性化语义和一致性控制的共识达成

本节首先对考虑个性化语义的群体决策问题进行了形式化描述,然后定义了共识度量并提出了考虑一致性控制的共识达成模型,最后给出了共识达成算法。

2.1 问题描述

考虑如下群体决策问题：令X ={x1,x2,…,xn}(n≥2)表示备选方案的集合,其中xi表示第i个方案,i∈N ={1,2,…,n}。 令D ={d1,d2,…,dm} 表示参与群体决策的专家集合,其中dk表示第k个专家,k∈M ={1,2,…,m}。 令λ =(λ1,λ2,…,λm)T表示专家的权重向量,其中λk是第k个专家的权重,且在决策过程中,专家dk使用语言术语集S ={s0,s1,…,sg} 对备选方案进行两两比较,给出语言偏好关系,其中表示第k个专家给出的备选方案xi相对于xj的偏好程度且本文假定专家给出的语言偏好关系均具有可接受一致性。

本文要研究的问题是：根据专家给出的语言偏好关系,考虑专家的个性化语义帮助这些专家在不破坏个体一致性的条件下达成共识。 具体的求解框架如图1 所示。 该求解框架主要包括四个阶段：个性化语义确定阶段,共识度量阶段,反馈调整阶段及方案排序阶段。

图1 问题求解框架Figure 1 Problem resolution framework

(1) 个性化语义确定阶段：求解式(6)确定专家的个性化语义,并将每个专家的语言偏好关系转换为对应的模糊偏好关系。

(2) 共识度量阶段：对个体模糊偏好关系进行集成得到群体模糊偏好关系,进一步度量个体共识水平和群体共识水平。 如果群体共识水平可接受,则进入方案排序阶段。 否则,进入反馈调整阶段帮助专家调整其意见。

(3) 反馈调整阶段：首先识别出个体共识水平最小的专家调整其意见,然后根据本文所提出的考虑一致性控制的共识达成模型生成专家意见的调整范围。 基于此调整范围,专家对其语言偏好关系进行调整进而达成共识。

(4) 方案排序阶段：当群体共识水平满足共识阈值要求后,可将所有专家的模糊偏好关系进行集成得到最终的群体模糊偏好关系,并进一步计算每个备选方案的综合评分值,得到方案的排序。

2.2 共识度量

个体共识水平和群体共识水平可以通过计算个体模糊偏好关系和群体模糊偏好关系之间的相似度得到,如定义10所示。

定义10令和如前所述,则专家dk的个体共识水平为

根据专家个体共识水平CLk,群体共识水平可以定义为

由式(9)～(10)可知,CLk,GCL∈[0,1]。GCL的值越大表明群体共识水平越高。 特别地,如果GCL =1,则所有专家达成完全共识。 给定共识阈值θ,如果GCL≥θ,说明群体共识水平是可接受的;否则,群体共识水平是不可接受的,那么就需要采用反馈调整机制对某些专家的语言偏好关系进行调整 (见第2.3 节),以达到可接受的群体共识水平。

2.3 考虑一致性控制的共识达成模型

在共识达成过程中,首先要识别出哪一个专家需要调整其偏好信息。 一般来说,具有最小个体共识水平的专家dτ应调整其偏好信息,即

为促进共识达成,dτ的偏好应该朝着群体偏好的方向调整。 因此,首先需要根据dτ的数值标度函数将群体模糊偏好关系转化为群体语言偏好关系即

注解2特别地,如果,使用式(13)得到的初始调整范围为,这意味着不需要进行调整,进而可能会影响共识效率。 对此,本文考虑以下两种情况。

此外,在为专家提供调整建议时,通常希望能够为其提供最大的调整范围,即

基于上述分析, 可以建立如下优化模型：

通过引入一些辅助变量,式(22)可以被转化为如下模型：

式(23)是一个混合0-1 线性规划模型,可以使用MATLAB, Lingo 等软件求解。 通过求解式(23)可得到模型的最优解相应地,进而可以得到那么,dτ可根据下式调整其语言偏好关系：

注解3由于本文假定初始的语言偏好关系Lk,k∈M都是可接受加性一致的,故式(23) 必有最优解。 如果求解式(23) 得到的所有中只有一个元素且等于这说明在满足一致性要求的条件下,dτ的个体共识水平已无法提升。 在这种情况下,需要找到具有第二小共识水平的专家作为dτ,重新求解式(23),以此类推。

2.4 共识达成算法

基于上述分析,本节给出考虑个性化语义和一致性控制的共识达成算法。

算法1

输入：专家的初始语言偏好关系,专家的权重向量λ =(λ1,λ2,…,λm)T,一致性水平阈值共识阈值α,最大共识轮数zmax。

输出：专家调整后的语言偏好关系群体共识水平及方案的排序。

步骤1令

步骤2对于每个语言偏好关系Lk,z,求解式(6) 得到dk关于每个语言术语的数值标度NS(k),z(st),t =0,1,…,g,并根据式(7) 将语言偏好关系Lk,z转化为模糊偏好关系Fk,z,k∈M。

步骤3根据式(8)对Fk,z集成得到群体模糊偏好关系Fc,z,并用式(9)～(10)计算个体共识水平CLk,z,k∈M和群体共识水平GCLz。 如果GCLz≥α或z ＞zmax,转到步骤7;否则,令转到下一步。

步骤4令dτ=,根据式(13)～(15) 计算基于初始调整范围构造的犹豫模糊语言偏好关系Bz,并求解式(23)得到最优调整范围如果所有中只有一个元素且等于,转到步骤5;否则基于构造犹豫模糊语言偏好关系,并转到步骤6。

步骤5令返回步骤4。

步骤6基于可以根据式(25)调整其语言偏好关系：

此外,令Lk,z+1= Lk,z,∀k≠τ,k∈M,z = z +1,返回步骤2。

步骤7令计算方案的综合评分值进而对方案进行排序。

3 算例分析

2020 年初,由于新冠疫情的快速蔓延,全国各级学校都延迟开学。 教育部发布了《关于中小学延期开学期间“停课不停学”有关工作安排的通知》。 为贯彻落实好通知精神,某中学想要选择一个在线教育平台供师生使用。 经过初步筛选,该校选择了腾讯课堂(x1),超星学习通(x2),钉钉(x3)以及智慧树(x4)四个在线教育平台作为备选方案。 同时,邀请到四位长期工作在教学一线且使用过这四个在线教育平台的教师(d1,d2,d3,d4) 作为专家参与决策,四位专家的权重向量为λ= (0.25,0.25,0.25,0.25)T。 在评估过程中,四位专家综合考虑直播形式、直播功能和使用便捷性三个维度,采用两两比较的方式对在线直播平台进行评估并给出他们的语言偏好关系。 其中,直播形式通常包括视频直播,音频直播,图文直播及混合直播;直播功能主要是看在线教育平台是否有互动,白板,画笔等功能;使用便捷性是判断在线教育平台使用是否简单便捷,是否容易上手,是否方便师生使用。 四位专家使用语言术语集S ={s0：非常差,s1：比较差,s2：差,s3：无差异,s4：好,s5：比较好,s6：非常好} 给出的初始语言偏好关系如下：

为了得到能被大多数专家接受的决策结果,需要通过共识达成过程来帮助专家们达成共识。 设共识阈值α =0.9,最大共识轮数zmax=5。 此外,为保证各个专家给出的偏好关系是可接受一致的并且在共识达成过程中一致性不会被破坏,设一致性水平阈值下面使用本文提出的共识达成算法帮助四位专家就在线教育平台选择问题达成共识。

步骤1令z =0,Lk,z = Lk,k =1,2,3,4。

步骤2不失一般性,令δ =0.05。 通过求解式(6),可以得到每个专家关于每个语言术语的数值标度NS(k),0(st),t =0,1,…,6,如表1 所示。

表1 专家的初始数值标度Table 1 Experts' initial numerical scales

此外,根据式(5)计算Lk,0,k =1,2,3,4 的一致性水平可得CI(L1,0)=0.9278,CI(L2,0)=0.8944,CI(L3,0)=0.9278,CI(L4,0)=0.9444。 由于一致性水平阈值CI=0.85,显然,Lk,0,k =1,2,3,4 都具有可接受一致性。

根据式(7),将Lk,0,k =1,2,3,4 转化为模糊偏好关系Fk,0,k =1,2,3,4 可得

步骤3根据式(8),可以得到初始的群体模糊偏好关系

根据式(9)～(10),可以得到个体共识水平为CL1,0=0.8542,CL2,0=0.8542,CL3,0=0.8056,CL4,0=0.8306。 群体共识水平GCL0=0.8361。 由于GCL0=0.8361＜0.9,需要对一些专家的语言偏好关系进行调整,执行步骤4。

步骤4显然,d3需要调整其偏好信息。 根据d3的数值标度函数NS(3),0将Fc,0转化为群体语言偏好关系：

根据式(13)～(15),可以得到基于初始调整范围构造的犹豫模糊语言偏好关系为

进一步地,求解式(23)可得基于最优调整范围构造的犹豫模糊语言偏好关系为

转到步骤6。

步骤6根据式(25),d3调整后的语言偏好关系L3,1如下：

令Lk,1= Lk,0,k =1,2,4,z = z +1=1,返回步骤2。

步骤2′根据式(6),d3更新后的数值标度为NS3,1(s0)= 0,NS3,1(s1)=0.3333,NS3,1(s2)=0.45,NS3,1(s3)=0.5,NS3,1(s4)=0.8333,NS3,1(s5)=0.95,NS3,1(s6)=1。根据式(5) 可得CI(L3,1)=0.9278。 显然,L3,1具有可接受一致性。

根据式(7),可计算得到L3,1对应的模糊偏好关系为

此外,令Fk,1= Fk,0,k =1,2,4。

步骤3′ 对Fk,1,k =1,2,3,4 集成得到群体模糊偏好关系Fc,1。 根据式(9)～(10),重新计算个体共识水平和群体共识水平, 有CL1,1=0.8667,CL2,1=0.8667,CL3,1=0.8792,CL4,1=0.8375 且GCL1=0.8625。 由于GCL1=0.8625＜0.9,共识达成过程需继续,执行步骤4。

步骤4′ 由于d4具有最低个体共识水平,需要调整其偏好信息。 根据d4的数值标度函数将Fc,1转化为群体语言偏好关系：

根据式(13)～(15),可以得到基于初始调整范围构造的犹豫模糊语言偏好关系B1：

求解式(23)可得基于最优调整范围构造的犹豫模糊语言偏好关系B-*,1为

转到步骤6。

步骤6′根据式(25),d4调整后的语言偏好关系L4,2如下：

令Lk,2= Lk,1,k =1,2,3,z = z +1=2,返回步骤2。

步骤2″根据式(6) 可得d4更新后的数值标度为NS4,2(s0)=0,NS4,2(s1)=0.3333,NS4,2(s2)=0.45,NS4,2(s3)=0.5,NS4,2(s4)=0.55,NS4,2(s5)=0.95,NS4,2(s6)=1。 根据式(5) 可得CI(L4,2)=0.9833。 显然,L4,2具有可接受一致性。

根据式(7),可得F4,2为

此外,Fk,2= Fk,1,k =1,2,3。

步骤3″对Fk,2,k =1,2,3,4 集成得到群体模糊偏好关系Fc,2为

根据式(9)～(10),重新计算个体共识水平和群体共识水平,可得CL1,2=0.925,CL2,2=0.925,CL3,2=0.8278,CL4,2=0.9611且GCL2=0.9097。 由于GCL2＞0.9,共识达成过程终止,四位专家就在线教育平台的评估问题达成共识,转到步骤7。

步骤7四位专家调整后的语言偏好关系为最终的群体共识水平为GCL=0.9097。 此外,计算四个在线教育平台的综合评分值可得则四个在线教育平台的排序结果为：腾讯课堂(x1) ≻智慧树(x4) ≻超星学习通(x2) ≻钉钉(x3)。 因此,该中学可选择腾讯课堂供师生使用。

4 比较和仿真实验

为了突出本文所提算法的特点并证明其有效性,本节通过一些仿真实验将算法1 与不考虑个性化语义和一致性控制的算法(算法2)进行比较。

算法2

输入：专家的初始语言偏好关系,专家的权重向量λ =(λ1,λ2,…,λm)T,一致性水平阈值CI,共识阈值α,最大共识轮数zmax。

输出：专家调整后的语言偏好关系群体共识水平GCL。

步骤1令z =0,Lk,z = Lk,k∈M。

步骤2令NSk(st)= t/g,t =0,1,…,g,根据式(7) 将语言偏好关系Lk,z转化为模糊偏好关系Fk,z,k∈M。

步骤3根据式(8)对Fk,z集成得到群体模糊偏好关系Fc,z,并用式(9)～(10)计算个体共识水平CLk,z,k∈M和群体共识水平GCLz。 如果GCLz≥α或z ＞zmax,转到步骤6;否则转到下一步。

步骤4令dτ= argmindk∈DCLk,根据式(13)～(15) 得到基于方向规则构造的犹豫模糊语言偏好关系Bz。

步骤5基于Bz,dτ根据式(26)调整其语言偏好关系：

此外,令Lk,z+1= Lk,z,∀k≠τ,k∈M,z = z +1,返回步骤2。

步骤6令

在仿真实验中,令n =4,m =4,g =6,0.9},α∈{0.9,0.92,0.95},zmax=10, 并随机生成专家的权重向量。 此外,为了保证式(23)有可行解,对不同的一致性水平阈值,分别随机生成了500 组满足一致性要求的语言偏好关系作为仿真实验的数据集。

对每一组参数设置,使用MATLAB 软件分别运行算法1和算法2 各500 次,记录每一轮中所有专家语言偏好关系的最小一致性水平和群体共识水平,并分别计算500 次实验结果的平均值。 仿真结果如图2～5 所示。

图2 一致性水平阈值为0.85 时的平均最小一致性水平Figure 2 Average minimum consistency level when the consistency level threshold is 0.85

图3 一致性水平阈值为0.85 时的群体共识水平Figure 3 Group consensus level when the consistency level threshold is 0.85

从图2 和图4 可以看出,算法1 中专家的平均最小一致性水平总是可接受的,这表明本文所提的一致性控制方法是有效的。 此外,当z =0 时,算法1 中专家的平均最小一致性水平总是高于算法2 中专家的平均最小一致性水平,这表明对相同的语言偏好关系,考虑个性化语义可以得到更高的个体一致性水平。 另外,在共识达成过程中,使用算法2 得到的专家平均最小一致性水平总是不可接受的,这说明在共识达成过程中考虑一致性控制是有必要的。

图4 一致性水平阈值为0.9 时的平均最小一致性水平Figure 4 Average minimum consistency level when the consistency level threshold is 0.9

从图3 和图5 可以看出,在不同的参数设置下,平均群体共识水平都随着迭代次数的增加而增大,这表明本文所提算法可以使得群体共识水平有效提升。 但与算法2 相比,算法1 有着较高的共识效率,这也证明了本文所提算法的有效性。

图5 一致性水平阈值为0.9 时的群体共识水平Figure 5 Group consensus level when the consistency level threshold is 0.9

5 结论

个体一致性和群体共识是基于语言偏好关系的群体决策过程需要考虑的重要问题。 针对基于个性化语义的语言型群体决策问题,本文考虑语言偏好关系的个体一致性,建立了最大化专家偏好关系元素调整范围的混合0-1 线性规划模型,并在此基础上提出了辅助专家达成共识的算法。 此外,本文以在线教育平台选择为应用背景说明了该算法的可行性,并通过比较和仿真实验验证了该算法的有效性。 与已有基于个性化语义的语言型群体决策共识模型相比,本文所提出的算法能够在不破坏语言偏好关系个体一致性的条件下促进共识达成,在一定程度上可以保证决策结果的合理性。 随着信息、通信和技术的飞速发展,参与群体决策的专家通常会处于一个社会网络中,基于社会网络的个体交互和信息传递会对群体共识达成产生重要影响。 因此,如何将本文所提出的考虑个性化语义和一致性的共识模型扩展到社会网络群体决策问题中,将是下一步的研究方向。