生产速率可调整时现货型生产系统的最优生产决策研究

陈柳鑫, 杨建超, 于 彤

(河海大学 商学院, 江苏 南京 211100)

0 引言

中国是世界第一制造大国,依据联合国工业发展组织数据,中国22 个制造业大类行业增加值居世界前列,其中纺织、服装、皮革与基本金属等产业增加值占世界比重超过30%[1]。 中国制造业增加值占世界比重不断增大,在制造业取得举世瞩目成就的同时,应注意到我国与欧美等发达国家的差距,我国制造业技术密集度不高,仍属于中低技术密集型,人力等资源要素投入成本仍占生产成本的比重较大,由此可知,我国大多劳动密集型制造业的生产厂商或企业(下文简称生产厂商或企业),要提高其生产能力,往往需要加大人力资源、设备资源等要素的投入[2]。

随着我国市场经济的深入发展,生产厂商或企业针对当前需求订单的波动,提出柔性制造的全新制造模式,即生产厂商或企业依据当前的库存水平,对其生产速率进行动态地调整,与需方的订单量进行有效地匹配,从而形成生产速率可柔性化调整的新型生产模式,实现生产厂商或企业长期折扣利润最大化的目标。 由于生产厂商或企业仍处于中低技术密集型,在短时间内难以通过流程优化、技术创新等手段迅速提升其生产速率,而只能通过增加(减少)资源要素的投入来缓解需求旺季(淡季)导致的库存短缺(积压)的失衡问题[2]。 一方面,在需求淡季,生产厂商或企业减少生产要素的投入,将生产速率降低至一定的水平,以避免需求不足产生的库存积压问题;另一方面,在需求旺季,生产压力增大、劳动力资源等供应紧张,生产要素投入的增加虽然能够提高生产速率,但是会导致生产成本进一步加大。 相关学者研究指出,需求旺季将影响订单合同生产周期的柔性,部分生产厂商或企业会在生产周期不具柔性的情形下,采取生产外包的方式,以期在短期内提升产能,但这会导致生产成本的增加[3]。 值得注意的是,针对现货型生产系统,受到生产厂商或企业生产产能,以及不同生产速率下生产成本不同的双重约束,如何对现货型生产系统的库存水平进行有效控制,是生产厂商或企业实现长期折扣利润最大化目标的关键[4]。也就是说,如何在生产厂商或企业内柔性地控制生产速率,助力企业更好地应对淡旺季需求波动,达到长期折扣利润最大化的目标,是当前生产厂商或企业面临的主要问题。 综上,从生产厂商或企业生产速率动态控制的视角,对生产厂商或企业的生产速率进行柔性地调整,在不同生产速率下保持其盈利的能力,是解决上述问题的主要途径(据全球纺织网对于ZARA、Baleno 等服装品牌相关生产案例,针对需求订单的波动,提出增加或减少生产资源要素的投入来柔性地动态调控生产速率)。

本文进一步考虑生产厂商或企业的在生产过程中存在如下的情形,在订单生产任务下达后,生产厂商或企业的生产单元无法在短期内通过流程优化、技术创新等手段,达到既降低成本又提高生产速率的目标,为此,生产厂商或企业只能通过增加(减少)资源要素的投入来实现生产速率的提升(降低)。 研究假设生产厂商或企业的生产单元可以依据当前的库存水平,对生产速率在一定范围内进行柔性地动态调整,即,一方面,当生产厂商或企业发现当前库存水平较高时,将采取低生产速率或停止生产的方式进行生产;另一方面,当生产厂商或企业发现当前库存水平较低,甚至出现缺货时,将采取高生产速率的生产方式进行生产。 生产厂商或企业的生产单元在提高生产速率进行生产时,需要加大相关资源要素的投入,其生产成本会随着生产速率的提升而增加。 例如,高生产速率进行生产,将导致生产设备或设施更高的损耗,员工加班增多或增加临时聘用人员等,将产生更高的生产成本(具体详见全球纺织网中ZARA、Baleno 等服装品牌案例,其在销售旺季由于员工加班或为进一步增加产量而使用更昂贵的生产设备,导致边际生产成本增加)。 此外,当生产厂商或企业的库存水平较高时,生产厂商或企业将选择减少相关资源要素的投入,使得生产单元降低生产速率来匹配外部市场订单需求。 由此可见,劳动密集型生产厂商或企业会依据外部市场订单需求波动对其库存水平的影响,在生产过程中柔性地选择高速率生产、低速率生产或停止生产,以达到生产厂商或企业长期折扣利润最大化的目标。

本文以生产控制、库存控制、库存管理等为核心关键词,对国内外相关研究进行梳理与总结,国内外对于该领域的研究较为丰富。 从生产制造系统中库存管理与库存控制的视角来看,研究一般以库存水平作为生产系统的状态变量,库存持有成本与缺货成本为主要的成本量化指标,以库存持有成本与缺货成本最小化为目标函数。 即库存水平达到或超过一定的阈值水平后,生产厂商将停止生产;当库存水平低于一定的阈值水平后,生产厂商将开始生产,以达到最小化库存持有成本与缺货成本的目的[5-9]。 Gavish 和Graves、Sobel 是较早针对单一产品生产制造系统进行研究的学者,文中对单个产品的库存管理的阈值策略进行刻画,研究证明单个产品的库存控制的最优阈值策略的存在性[8-9]。 在前述学者研究的基础上,Wein、Veach 和Wein、Ha、Bertsimas 和Paschalidis 等学者将单一产品库存管理的阈值策略扩展至多种类别产品库存管理中,研究进一步对多种类别产品库存管理的最优阈值水平进行分析[10-13]。 Zheng 和Zipkin 针对库存控制与生产速率间的关系进行研究,将生产系统中的订单需求抽象为队列中的排队队长,提出优先满足排队队长最大队列的生产策略(the longest queue first)[14]。 Pang、Shen 和Cheng 提出允许批量生产,以及设备会损坏情形下生产系统库存控制的最优策略[15]。 也有学者针对易逝性产品库存控制问题进行研究,如,Chen、Li 和Yang 等对易腐性产品的库存控制问题进行研究,提出易腐性产品库存的最优控制策略,并对模型的敏感性进行分析[16]。 综上,前述研究主要针对最小化库存持有成本与缺货成本为目标函数,对单一产品或多种类别产品库存控制的最优策略进行分析,但是上述文献并未以生产厂商或企业生产利润最大化为目标进行研究,对于生产速率的动态控制,更多局限于不生产或生产两种决策,未涉及生产速率改变所引起的生产成本变化。 为此,本文将在前述研究的基础上,以生产厂商或企业长期折扣利润最大化为目标,综合考虑不同生产速率导致的产生成本变化,以产品库存水平为状态变量,基于动态的视角,对生产厂商或企业生产速率如何柔性地动态调控进行决策,并获得生产速率动态调控的最优策略。

针对生产厂商或企业长期折扣利润最大化为目标的研究中,国内外的相关研究更多聚焦于最优的产品动态定价策略、生产策略与库存控制策略的研究[17]。 比较具有代表性的有,Li 针对外部市场需求受不同销售价格波动的影响,以生产厂商或企业长期折扣利润最大化为目标,对实现生产厂商或企业长期折扣利润最大化的最优生产策略进行分析[18]。 Chen、Feng 和Ou 针对离散化价格与需求间单调递减关系,对生产厂商与企业最优生产策略进行研究[19]。 Chen、Chen 和Pang 以现货型生产系统为研究对象,在市场信息透明化的前提下,对库存控制与动态定价的联合管理策略进行刻画[20]。 Yang、Yu 和 Huang 研究运用短视策略(myopic policy)分析串行的库存系统,针对批量订购问题,研究提出短视策略最优的存在条件[21]。 Chen、Feng 和Hao 考虑批量需求的情形下,对最优的生产策略与库存控制策略进行研究[22]。 Yang、Chen 和Zhou 考虑单一产品的动态定价与库存控制问题,从产能不确定的视角,提出产品价格与产品库存的最优动态控制策略[23]。 综上,前述研究虽然从产品定价对生产与库存水平的影响进行分析,但是缺乏从生产速率动态控制对需求与库存水平的影响进行分析,尤其鲜见在生产厂商或企业长期折扣利润最大化的目标下,如何通过生产速率的动态调整与库存水平间的相互作用关系分析,获得最优的生产速率控制策略。 为此,本文将基于动态的视角,以生产厂商或企业长期折扣利润最大化为目标,基于不同的库存水平,分析最优的生产速率柔性动态控制策略。

针对生产厂商或企业生产速率控制的研究,国内外主要从生产系统生产速率静态与动态控制模型两个方面进行研究。 从静态模型研究方面来看,夏西强和朱庆华通过外包再制造模式,利用博弈模型对再制造设计对制造与再制造生产系统的影响进行研究,提出生产收益最大化目标下再制造产品与新产品最优配比的阈值制造策略[24]。 曹裕、吴堪和熊寿遥提出需求订单准入策略,利用理想点法(TOPSIS)评估订单与理想订单的接近程度,以此作为订单的综合收益,从而对新订单进行分层排序安排生产[25]。 谢杏子和王秀利提出针对不同类型订单的机器加工调度的拉格朗日松弛算法,该算法能够获得机器加工生产的近似最优解[26]。 蔺宇、李雅娇和史英杰考虑产品缺货成本、库存持有成本与生产成本最小化的目标下,利用排队模型,分析最优看板数量与不同生产阶段中机器生产速率的单调关系[27]。 李维及谭庆德研究生产时长服从Erlang 分布的生产系统,对其最优的生产策略进行研究[28]。 郑睿及吕文元在生产设备可能损坏的情形下,提出生产与机器维修的联合控制策略[29]。 田雪雁和潘尔顺研究指出在生产系统中存在机器损坏的情形,研究提出估计机器损坏与修复的概率,对生产系统的最优生产策略进行研究[30]。 Yang、Hu 和Zhou 针对生产与零售间的多层级关系,以及零售商具有厌恶风险的特征,运用报童模型与条件价值风险值(CVAR)分析技术,探讨生产、销售库存集中化的控制问题[31]。 然而,上述研究更多是基于单周期模型的视角,对生产系统最优的生产控制策略进行研究,未基于时间维度,在不同的时间点,对生产速率进行柔性地动态调整,难以获得此类问题最优的生产速率控制策略。

从生产速率动态控制模型的研究来看,相关的研究更多聚焦于生产与不生产的决策,肖勇波、陈剑和吴鹏针对产能与需求不确定情形下,对按订单装配生产(assemble-to-order)系统的最优库存水平与生产策略进行研究[32]。 Feng 和Yan考虑需求服从泊松流,在无穷周期下,提出基于库存水平的生产阈值策略,当库存水平超过阈值水平后,生产系统采取不生产的策略;当库存水平低于阈值水平后,生产系统采取全速生产的策略[33]。 Tan 针对需求的波动性,研究提出生产与不生产间的调整时长服从指数分布,以生产成本最小化为目标,提出生产最优的阈值策略[34]。 Martinell 和Valigi 指出库存容量有限的情形下,对单一设备的生产系统进行研究,研究提出最优安全库存策略对生产系统进行控制[35]。 由此可见,对生产速率柔性动态调控的研究中,更多聚焦于生产与不生产两种情形的决策,这与生产厂商或企业的现实情况不符。 此外,运用不同的生产速率进行生产,会产生不同的生产成本,仅关注高速率生产或不生产两种决策,难以实现生产厂商或企业长期折扣利润最大化的目标。 在汲取前述理论研究成果的基础上,依托生产厂商或企业在生产过程中的现实情景,本文提出其生产过程中拥有高速率生产、低速率生产或不生产三种情形,以及采取不同的生产速率,将产生不同的生产成本。 在需求不确定的情形下,为实现生产厂商或企业长期折扣利润最大化的目标,亟待对生产厂商或企业最优的生产动态调控策略进行研究。

综上,通过对国内外相关研究的梳理与总结,本文将聚焦于生产厂商或企业的生产单元,通过对生产单元的生产速率柔性地动态调控,实现生产厂商或企业长期折扣利润最大化的目标。 不失一般性,本文将假设生产厂商或企业的生产单元在生产过程中存在高速率生产、低速率生产与不生产三种不同的生产决策,在无穷周期下,以生产厂商或企业折扣利润最大化为目标,将该问题抽象为连续时间下的马尔可夫决策模型(markov decision process),推导出汉密尔顿-雅可比-贝里曼(hamilton-jacobi-bellman,HJB)方程,应用算子理论对模型的结构性质与最优的生产速率柔性控制策略进行刻画,最终获得最优生产速率调控的阈值策略。

本文余下部分的组织如下：第二部分对模型假设、模型参数设置、模型目标函数等进行设置与描述;第三部分应用算子理论对模型结构性质进行分析,研究该生产系统生产速率最优的控制策略,以及模型算例分析等;第四部分对全文进行总结并提出未来研究的展望。

1 模型的构建

1.1 模型参数设置

ai其中i =1,2,表示现货型生产系统的生产单元生产单位产品的时长服从参数为ai的指数分布,其中平均生产时长为1/ai;

λ表示现货型生产系统的需求到达服从参数为λ的泊松流,其中λ为到达率;

ci其中i =1,2,表示现货型生产系统以ai生产速率进行生产时,单位时间的生产成本为ci;

x(t) 表示现货型生产系统t时刻时的库存水平;

c(x) 表示库存水平x下,现货型生产系统的库存持有成本与缺货成本,即,c(x)= c+ x++c- x-,其中x+= max(0,x),x-= min(0,x);

p表示现货型生产系统销售出单位产品所获得的收益;

μ(t) 表示现货型生产系统t时刻时生产单元的生产速率;

Nu(t) 表示现货型生产系统在t时刻时所到达的总的需求量;

Pu(t) 表示现货型生产系统在t时刻时所生产的总产品量;

γ表示折扣因子,其中,0＜γ ＜1。

1.2 模型假设

假设1现货型生产系统的生产单元拥有三种不同的生产速率,其中a1表示高速率生产,a2表示低速率生产,为分析的方便,设定a3表示0 速率生产(不生产),a1＞a2＞a3=0;

假设2现货型生产系统的生产单元采用不同的生产速率进行生产时,单位时间内的生产成本与生产速率呈单调递增的相关关系,即生产单元以高速率进行生产的单位时间成本大于生产单元以低速率生产的单位时间成本,为分析的方便,假设现货型生产系统的生产单元停止生产时的成本为0,即,c1＞c2＞c3=0;

假设3为使得本文研究的现货型生产系统能够达到稳态,假设a2＞λ;

假设4现货型生产系统生产单元从高速率生产切换为低速率生产的生产单位产品的边际成本小于单位产品的收益,即现货型生产系统通过生产才能够获得更多的生产利润;

假设5当需求到达时,达到的需求均为一个单位产品。若当前现货型生产系统的库存水平非正,则需求加入等待队列,并按照先到先服务的规则,依次对等待队列中的需求供货;

假设6当需求到达时,若当前现货型生产系统的库存水平非正,本文为分析方便,提出需求加入等待队列后,生产厂商或企业也立即获得收益p;

假设7现货型生产系统低速率的生产成本小于缺货的折扣成本c2＜c- /γ,即,一旦出现缺货,生产厂商或企业生产单元需要进行生产,才能够使得利润函数值增加。

1.3 模型构建

鉴于不同需求到达的时间间隔与生产时长均服从指数分布,现货型生产系统具有无记忆性的特征,本文将该问题抽象为连续时间下的马尔可夫决策问题[36-38]。

假设u ={μ(t)：t ＞0}为系统不可预见的现货型生产系统生产单元生产速率的柔性动态控制策略,U为所有控制策略的集合,其中,u∈U。 那么从初始库存水平x(0) 开始,现货型生产系统在无穷周期下生产的折扣利润函数Ju(t)为：

若u*∈U满足,则称u*∈U为现货型生产系统生产单元生产速率的最优柔性动态控制策略。

本文利用Lippman 变换,令β = λ +a1+a2,重新定义时间尺度(redefine the time scale),不失一般性,令β+γ =1,从而进一步简化模型[39]。 由马尔可夫决策理论[40-41],J(x) 满足如下最优方程(HJB 方程),具体如公式(2)所示：

对于任意的函数J,有J：Z|➝R,我们定义算子T0如下：

由(2)与(3)式可知,我们可以得到HJB 方程：

同样的,基于连续时间下的马尔可夫决策理论[40-41],我们所研究的HJB 方程可以表述如下：

其中,算子T对于任意的函数J,J：Z|➝R,定义如下：

在等式(5)中,- c(x) 表示在库存水平x的状态下,t时刻系统地持有(缺货) 成本;λ[J(x -1)+ p] 表示需求到达后,库存水平将减少一个单位,若库存水平x为正,需方直接获得一个单位的产品,生产厂商或企业获得收益p;库存水平x为负时(缺货),相当于需求进入等待队列,生产厂商或企业按照先到先服务的规则进行生产,并获得预先支付的收益p;T0J(x) 表示在生产单元生产制造环节,生产厂商或企业的生产单元选择以何种速率进行生产的最优决策,当选择生产速率a1时,表示在算子T0作用下,生产单元选择高生产速率进行生产,能够最大化利润函数;当选择生产速率a2时,表示在算子T0作用下,生产单元选择低生产速率进行生产,能够最大化利润函数;当选择不生产时,表示在算子T0作用下,生产单元选择不生产能够最大化利润函数。

2 最优生产速率柔性动态控制策略的分析

2.1 模型结构性质

在本小节中,我们将进一步刻画关于模型的结构性质,具体内容如下：

引理1令函数f,有f：Z|➝R,定义范数为‖f‖ =,且f(x)∈W,函数空间W是完备赋范空间,且存在算子T,对于任意的f(x) ∈W,有

证明：依据Porteus 中的定理5.1[41]。

对于任意的函数f(x),我们定义一阶差分为：

以及二阶差分：

定义2我们定义W为Z上的函数集合,如果J∈W,则有如下的条件成立：

①J(x +1)-J(x) ≤J(x)-J(x -1),即,DJ(x) 是关于x的减函数;

②当x≤0 时,DJ(x) ≥0。

接下来,引理2 将说明算子T保持条件①与②成立。

引理2如果J(x) ∈W,则TJ(x) ∈W。

证明：令函数f,有f：Z|➝R,且满足条件①与条件②,即：f(x +1)-f(x) ≤f(x)-f(x -1);当x≤0 时,Df(x) ≥0。

令Tf(x)= - c(x)+ λ[f(x -1)+ p]+ T0f(x),

其中,T0f(x) = max{a1[f(x+1)-c1]+a2f(x),a1f(x)+ a2[f(x +1)- c2],(a1+ a2)f(x)}。

为证明成立Tf(x)∈W,我们首先需要证明算子T0能够保持条件①与②成立,即：

上述表达式由于f(x)∈W,且满足条件①与②成立,由此可知,DT0f(x) 使得条件①与②成立,即,T0f(x) ∈W。

其次,由定义1 与公式(5)可以发现,算子T0能够保持条件①与②成立。 由定义1,W在我们定义的范数‖J‖ =下为完备赋范空间,因此有J(x) ∈W,即,DTJ(x) 是关于x的减函数,以及当x≤0 时,DJ(x) ≥0。

最后,当库存水平x趋于无穷大时,当DJ(x) 有极限存在,能够证明DTJ(x) 在当库存水平x趋于无穷大时,亦有极限存在,则有TJ(x) ∈W成立,具体证明详见性质1。

其中引理2 表示生产厂商或企业的边际收益函数会随着库存量的增加而减少,即库存量越大,给生产厂商或企业带来更多的持有成本,且单位库存所带来的边际收益会呈现递减的趋势。

2.2 最优生产速率柔性动态控制策略分析

依据引理2,函数空间W是完备赋范空间,我们需要证明空间中存在柯西序列,使得压缩映射T作用于{J(n),n≥0} ⊂W函数序列上,有J*(x) ∈W,即,存在唯一的不动点J*(x) 为该HJB 方程的最优解。

定理1若J*(x) 是模型的最优利润函数, 则满足J*(x) ∈W。

证明：当n≥0 时,

从上述分析可知,压缩映射T作用于{J(n),n≥0} ⊂W函数序列上,进一步获得完备赋范空间中存在唯一的不动点,J*(x) 为该HJB 方程的最优解。

其中定理1 表示生产厂商或企业的最优利润函数在函数空间W内,且是前文HJB 方程的最优解。 在引理2 与定理1 的基础上,进一步可以获得生产厂商或企业生产单元生产速率的最优阈值控制策略,具体内容如下：

定理2最优策略是通过库存水平的阈值点来进行刻画,() 由如下式子所决定：

其中,有如下性质成立：

(1)满足

(2)满足

定理3若()策略为最优的(D1,D2)策略,则其利润函数满足HJB 方程,即表明() 为全局最优策略。

其中定理3 表明,满足HJB 方程,即存策略为全局最优策略。

性质1对于利润函数J(x) 的一阶差分DJ(x),有下列性质成立：

证明：令函数f,有f：Z|➝R,且满足条件①与条件②,有下列性质成立,即：

令Tf(x)= - c(x)+ λ[f(x -1)+ p]+ T0f(x),

其中,T0f(x) = max{a1[f(x+1)-c1]+a2f(x),a1f(x)+ a2[f(x +1)- c2],(a1+ a2)f(x)}。

由于DT0f(x)= T0f(x +1)- T0f(x)

在当库存水平x趋向于正无穷时,即

在当库存水平x趋于负无穷时,即

由(5)式可知,在当库存量x趋于正无穷时,有

由(4)式可知,在当库存量x趋于负无穷时,有

上述表明算子保持的极限性质(iv)与(v),由J(x) ∈W,W在我们定义的范数下为完备赋范空间,因此有于是有与成立。

上述性质1 说明：当x→+∞,即,利润函数J(x)在库存水平x取足够大的正数时,其一阶差分趋于常数当x→-∞,即,利润函数J(x)在库存水平x取足够小的负数时,其一阶差分趋于常数

2.3 最优生产速率柔性动态控制策略的模型算例分析

由于生产厂商或企业的生产单元采用高生产速率时会产生更高的生产成本,那么生产厂商或企业更关注高生产速率发生改变,其对最优的生产速率调控策略产生的影响。 为此,本文将进一步对生产厂商或企业的生产单元高生产速率发生改变时,其对最优的阈值策略影响的灵敏度进行分析,具体内容如下：

性质2假设λ,a2,c1,c2,p,以及c+,c-固定,但是生产系统的最高生产速率a1可变,则有如下性质成立：

对于任意a′1＞a1,如果J(x,a′1),J(x,a1) ∈W,以及满足如下不等式：

则DTJ(x,a′1)- DTJ(x,a1) ≥0 同样满足上述不等式。

证明：由TJ(x)= - c(x)+ λ[J(x -1)+ p]+ T0J(x),故而只需要证明算子保持上述不等式成立。

其中由公式(3),

同理可得DT0J(x,a1),即

进一步,由(8)减去(9)得

其中,当DJ(x,·)≤c2,其中c1≥c2,由(10)可得DJ(x,

当c2＜DJ(x,·) ≤c1,由(10) 可得a1) ≥0;

当DJ(x,·)＞c1,由(10)可知：

情形1：若DJ(x,·)- c1≥DJ(x,·)- c2,(10) 式为：

情形2：若,当等于

当a′1[DJ(x,a′1)- c1]＞ a2[DJ(x,a′1)- c2], 且等于,其余情形类似证明。

综上,有DT0J(x,a′1)-DT0J(x,a1)≥0成立,则DTJ(x,a′1)- DTJ(x,a1) ≥0 同样使不等式成立。

性质2 说明,在生产厂商或企业生产单元的最高生产速率提升,且生产成本保持不变的情形下,单位产品的边际利润将呈现递增的趋势。

进一步基于性质2,下面对参数赋值,进行模型的数值算例分析,假设a2=15,p =75,λ =15,a1在(15,27) 范围内变化,关于费用的参数如下：c1=25,c2=20,c+ =20,c- =50。 注意到对于范围(15,27) 里的a1总有那么对于所有的a1,最佳存储点如图1 所示。

图1 模型算例Figure 1 A numerical study

如图1 所示,库存水平D2会随着生产单元生产速率a1的增大而减小,在现实生产厂商或企业的实际案例中可以发现,当生产速率持续增高,表明生产厂商或企业的生产单元拥有较高的生产能力,那么生产厂商或企业就不需要预留更多的安全库存,以应对需求的波动对当前库存水平的影响。此外,在生产单元生产速率a1增大后,库存水平D1会随之而增大,即生产单元生产能力提升后,生产厂商或企业为了节约生产成本,会更多选择生产单元以低速率来进行生产,这与实际情形相吻合。

3 多个生产速率情形下的最优长期折扣策略

3.1 模型参数设置

ai其中i =1,2,…,n,表示现货型生产系统生产单位产品的时长服从参数为ai的指数分布,其中平均生产时长为1/ai;

ci其中i =1,2,…,n,表示现货型生产系统以ai生产速率进行生产时,单位时间的生产成本;

其余模型参数设置与1.1 节一致。

3.2 模型假设

假设8现货型生产系统的生产单元能够有n种不同的生产速率,为分析的方便,设定an+1表示0 速率生产(停止生产),即,a1＞a2＞…＞an+1=0;

假设9现货型生产系统的生产单元采用不同的生产速率进行生产时,单位时间内的生产成本与生产速率呈单调递增的相关关系,即生产单元以高速率进行生产的单位时间成本大于生产单元以低速率生产的单位时间成本,其中,cn+1= 0,此外,c1＞c2＞…＞cn+1=0;

假设10现货型生产系统的生产单元随着生产速率的提升,其边际生产成本呈现单调递增的关系,即

其余模型假设与1.2 节一致。

3.3 模型构建

利用Lippman 变换,令β = λ+a1+…+an,重新定义时间尺度(Redefine the time scale),不失一般性,令β + γ =1[39]。 从而进一步简化模型,类似地,我们可以得到无穷周期下,生产厂商或企业折扣生产利润函数Ju(x) 满足如下HJB 方程：

3.4 最优生产速率柔性动态控制策略

基于前述2.2 节分析的结果,我们可以获得最优生产速率柔性动态控制策略为阈值策略,即,存在n个阈值点(D1,D2,…Dn),其中D1表示高速率生产与低速率生产的速率切换点,Dn表示最大库存水平,若当前库存水平小于等于D1时,生产厂商或企业的生产单元采取最高生产速率a1进行生产;若当前库存水平大于等于Dn时,生产厂商或企业的生产单元采取停止生产;当库存水平介于Di-1与Di之间时,生产厂商或企业的生产单元采取速率ai进行生产,具体如(12)式所示：

类似地,由HJB 方程(12)我们可以获得最优生产速率柔性动态控制策略为阈值策略,同样最优生产速率的阈值控制策略满足HJB 方程(11),具体如定理4 所示：

定理4若策略同时满足以下三个性质：

(2)满足

(3)满足条件①与条件②,且0,

4 结束语

在无穷周期下,以生产厂商或企业折扣生产利润最大化为目标,对生产厂商或企业生产单元最优的生产速率柔性调控策略进行研究。 研究假设生产厂商或企业的生产单元生产产品的时长服从指数分布,需求到达为泊松流,生产厂商或企业生产单元能够以高速率、低速率或停止生产三种策略进行生产,单位生产成本随着生产速率提升而增高。 我们将该问题进一步抽象为连续时间下的马尔可夫决策模型,通过推导出的HJB 方程,对最优生产速率柔性动态控制策略的结构性质进行分析,研究最终获得最优生产速率柔性动态控制策略为阈值策略,即存在2 个阈值点(),其中表示高速率生产与低速率生产的速率切换点表示最大库存水平,当前库存水平小于等于时,生产厂商或企业的生产单元采取最高生产速率a1进行生产;当前库存水平大于等于时,生产厂商或企业的生产单元采取停止生产;当库存水平介于与之间时候,生产厂商或企业的生产单元采取低速率a2进行生产。 研究进一步对模型关键参数的性质进行理论分析,以及模型数值算例分析。 在研究的最后,我们将高速率生产、低速率生产与停止生产的情形推广至具有n种不同的生产速率的情形,同样获得最优生产速率柔性动态调控策略为阈值策略。

在后续的研究中,可以将生产厂商或企业所生产产品从单一产品拓展至多种类型的产品,将单一的需求拓展至多种类型的需求,并综合考虑生产厂商或企业生产单元对生产不同产品的生产速率柔性动态控制问题与生产产品的动态定价问题,进一步使研究的模型更具普适性与推广性。