基于矩阵对策的编队攻防试训方案优化设计∗

李湘宁

（中国人民解放军92941部队 葫芦岛 125001）

1 引言

水面舰艇是未来海上作战的最小单元，在驱护编队或航母编队中承担重要的作战任务，可实施打击作战和防御作战［1］。目前，以编队为基础的攻防能力检验已成为海上演训的主要模式，可检验基于动态实兵的对抗效能、基于任务的指挥流程以及基于精算的战法体系［2～3］。海上编队演训任务需动用大量的实兵、实弹，花费大量的人力、物力，因而需要预先制定精密的演训方案，对实兵、实弹进行统筹规划。本文利用运筹学中的矩阵对策理论，借助线性规划算法对编队攻防演训中所需的实弹射击分配方案进行精算［5～6］，以期以最小的经济代价达到最大的军事训练效益［7］。

2 矩阵对策基本理论［1］

对策现象就是带有冲突、竞争、对抗等性质的现象。一般都是两个或两个以上的具有决策权的参加者在某种对抗性或竞争性的场合下各自做出决策，使己方得到尽可能有利的结果［8］。矩阵对策又称为二人零和有限对策［9］。

在矩阵对策中具备攻防双方α和β，双方的策略集分别为Sα=(α1、α2、…αm)、Sβ=(β1、β2、…βn)，当α选定策略αi且β选定策略βj，则形成了一个局势(αi，βj)。对于任一局势(αi，βj)，可记α的得失函数值为aij，于是由得失函数构成m×n维的矩阵。

矩阵对策简记为G=|Sα，Sβ，A|。设α方以概率xi选取策略αi，β方以概率yi选取策略βj，则

求解矩阵对策G=|Sα，Sβ，A|的最优混合策略解x*和y*从及对策期望值ν*即可获得攻防问题的最优策略。其中，ν=E（x，y）=Σ(aij∙xi∙yj)。

针对式（2），令x′i=x′i/ν，y′j=y′j/ν，则式（2）变换成如下形式：

由于α方希望对策期望值越大越好，也即希望1ν越小越好；β方希望对策期望值越小越好，也即希望1ν越大越好，于是有目标函数如下：

于是将矩阵对策转化为线性规划方程，求解线性规划方程（3）、（4）即可获得矩阵对策G=|Sα，Sβ，A|的最优混合策略解从及对策期望值ν*。

3 线性规划基本理论

线性规划是当约束条件及目标函数均为线性函数时的规划，可用于解决对作战目标或作战地域进行同类兵力火力分配的问题［10］。线性规划模型具有如下特征：

1）每一个问题均可用一组决策变量x1，x2，…xn来表示某个实施方案，这组决策变量的每一组取值，就代表某一个具体的方案。通常情况下，这些决策变量的聚会都是非负的；

2）存在一定的限制条件，这里称为约束条件，这些约束条件可用一组线性等式（或不等式）来表示；

3）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的函数来表示，称为目标函数。根据问题的性质不同，目标函数要实现的目标可能是最大化，也可能是最小化。

满足以上三个条件的数学模型就是线性规划模型，其一般形式如式（5）。

对线性规划数学模型进行求解的方法主要有图解法、单纯形法和单纯形表法。图解法主要适用于2×2 元简单的数学模型；单纯形法涉及大量的数值计算，且各数值之间关系复杂、种类繁多，不适用于工程应用。为简明计算过程，通过列表的形式进行求解的过程为单纯形表法。

利用单纯形表求解线性规划问题，需对线性规划方程组进行标准化处理，基本原则如下：

1）对于“ ≤”形式的不等式，需在约束方程的左端“+”一个非负的松弛变量；

2）对于“ ≥”形式的不等式，需在约束方程的左端“-”一个非负的松弛变量，再“+”上一个非负的人工变量；

3）对于“=”形式的等，需在约束方程的左端再“+”上一个非负的人工变量；

4）将目标方程转换为求最大解。

单纯形表法的基本形式见表1。

表1 单纯形表基本形式

单纯形表的线性规划问题求解过程如下：

1）首先将线性规划基本模型中的相关参数代入初始单纯形表中，θi列和σj行暂时空着后行处理；

3）在所有的σj>0 中，若有某个σk>0，且对应的aik≤0，则可判定该规划问题无解，停止运算，否则转下一步；

4）根据max{σj|σj>0}=σk，确定xk为换入变量，按最小比法则θi=min{θi|θi=bi/aik且aik>0}，以确定xBr=xr为换出变量，转下一步；

5）令bi=br/ark，以ark为主元进行旋转运算，把xk对应的列向量Pk变成单位列向量求得新的基可行解；

6）重复步骤2）～5），直至获得最优可行解。

4 实例分析

本工程实例目的在于介绍矩阵对策在试训工程中的应用，涉及的指标和试验数据都经过处理。

某海域将组织水面舰艇编队实施攻防对抗演练，蓝方预计组织2 型超音速反舰导弹形成高低混合的水面攻击态势，红方预计组织中远程、中近程、近程三型防空武器实施对抗，三型武器拦截区域和杀伤能力不同［11～12］。现拟利用矩阵对策部署攻防双方兵力的数量，以期以最小的经济代价获得最大的训练效果。红方三型防空武器对抗蓝方两型攻击武器的杀伤概率见表2。

表2 防空武器杀伤概率一览表

依据表2获得对策矩阵为

1）红方最优策略求解

设三型防空武器的使用比例分别为x1、x2、x3，根据对策矩阵红方以获胜为目的的线性规划方程及其变形方程为

依据单纯形表求解的基本原则，引入松弛变量和人工变量，获得标准化线性规划方程为

依据式（8）形成的单纯形表求解过程见表3。

表3 红方单纯形表求解过程一览表

依据单纯形表求解原则，当σj≤0 时得到最优解由式（7）可知ν=

2）蓝方最优策略求解

设两型反舰导弹的使用比例分别为y1、y2，根据对策矩阵蓝方以获胜为目的的线性规划方程及其变形方程为

依据单纯形表求解的基本原则，引入松弛变量，获得标准化线性规划方程为

依据式（8）形成单纯形初始表：

依据单纯形表求解原则，当σj≤0 时得到最优解由式（9）可知ν=

3）最优策略分析

由表1 的计算结果可知，红方三型防空武器的使用比例最优策略解为在高空超音速反舰导弹和低空超音速反舰导弹实施联合攻击的条件下，中远程防空武器与近程防空武器即可实现对空联合防御，两型武器在2：1 的配比下可以达到最佳的防御效果。也就是说在中远程防空武器与近程防空武器实施联合防空的过程中，防御重点是中远程防空，同时中远程防空力度的加大将会大大降低近程防空的压力。

由表2 的计算结果可知，蓝方两型反舰导弹的使用比例最优策略解为：中高空超音速反舰导弹与低空超音速反舰导弹两型武器在1：2.3 的配比下，对敌舰实施联合攻击可达到最佳的突防效果。也就是说低空超音速突防是反舰导弹攻击策略的重点，低空超音速突防比例的加大将会大大增加突防概率。

5 结语

目前，在大型的海上试验、训练和演习任务中，编队攻防演训对象已不仅限于水面舰艇编队，还包括空中编队、水下编队以及联合编队。基于矩阵对策的攻防设计理论，可以指导多型武器联合攻防试训演实弹射击分配方案的设计，为实弹射击方案的设计提供科学的理论输入。