示范与纠错：学习并实践傅种孙先生教学思想

安亚成

［摘  要］ 傅种孙先生提出的“教学技艺：指示正规与矫正错误”值得我们在初中数学教育教学中认真实践. 比如教师示范主要体现在化抽象晦涩为形象生动，加强知识的前后联系和融会贯通，以及解题教学中的思路分析与板书过程上；又如要重视开展化错教学，包括一个新的概念归纳概括要有一个不断优化的过程，解题教学中对于错解要从纠错到究错，等等.

［关键词］ 指示正规；矫正错误；傅种孙教学思想；化错教学

我国数学教育的先驱傅种孙先生曾提出：“教学的技艺，一方面要指示正规，一方面要矫正错误. 必须兼施并用，才会有较好的效果.［1］”下面，笔者结合初中数学的教学思考与体会，谈谈如何深入学习并实践傅种孙先生的数学教学思想——“示范与纠错”.

有效教学离不开教师示范

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求“实施促进学生发展的教学活动”，并指出“有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.［2］”虽然课标没有强调教师示范的价值，但是教师要发挥好作为“组织者、引导者与合作者”的作用，很显然离不开“教师示范”. 下面就围绕如何开展教师示范做一些思考.

1. 教师示范体现在化抽象晦涩为形象生动

罗素曾说数学美是一种“冰冷的美”. 数学概念、数学语言是融入特有符号的抽象表达，如果要将这些抽象晦涩的数学概念用形象生动的例子向学生进行示范讲授，那么考验的就是数学教师的教学基本功了. 王世强教授在《怀念傅种孙先生》一文中提到：“傅先生在教学几何基础课中，历来讲深讲透公理、方法中的抽象化观点，先生常用形象化而富于启发性的比喻，用通俗语言表达精辟见解. ”比如，教师教学八年级“变量与函数”的起始课时，可以通过典型实例来引出常量、变量、函数等概念；又如教师教学“三角形的内角和”时，可通过剪开三个内角，拼成一个平角来引出三角形的内角和为180°，使得将三个分开的角“集中”到一起的转化思路形象起来.

2. 教师示范体现在加强知识的前后联系和融会贯通

王世强教授的文章《怀念傅种孙先生》还提到刘绍学教授回忆傅种孙先生：“那种深挖教材，讲体会、讲联系的教学风格深深地影响着我，我一生都在努力模仿他. ”可见，教师的示范作用不能满足于“照本宣科”，而应给学生示范如何理解教材上的概念或性质，启发学生前后联系式学习新知，或者如何从旧知生长出新知. 例如，新授课“有理数乘方”时，教师可以先复习几个相同有理数的加法可简化为有理数的乘法，并提出问题：那几个相同的有理数相乘该如何简化呢？学生很自然地会猜想出用有理数的乘方来表示，这能让学生体会到数学知识求简和知识的前后一致. 再如，研究一个几何对象时有不同的“研究套路”，包括“图形形状、大小和位置”“图形的定义、性质与判定”，具体来讲，图形的定义需要从定义的文字语言、图形语言、符号语言来进行梳理，图形的性质可从组成这个图形的元素或相关元素入手以分析特征（以平行四边形的性质为例，我们是从它的边、角、对角线、对称性等角度来进行研究的）.

3. 教师示范体现在思路分析以及板书过程中

当前，由于智慧黑板的普及应用，不少数学教师已过度依赖使用PPT或电子白板开展解题教学，思路分析直接呈现在PPT或电子白板上，解题过程只呈现简略的关键的步骤，或者是PPT上呈现规范的解题过程（往往是直接出示），但多数学生还没来得及消化、理解或做课堂笔记，教师就翻到“下一页”开始练习，久而久之，学生的解题过程没有得到应有的示范引领，容易出现过程不规范、不严谨的现象. 笔者以为，对于典型问题的思路分析，教师要在黑板上进行“渐次呈现”式的标注分析，此时的板书过程要慢一点、再慢一点，让更多学生的思维能“跟上”板书的思路分析. 等学生的思路贯通之后，教师要示范解题过程、数学语句的组织，并将这些保留在黑板上，让学生“整节课”都能看到，这样，在后续练习巩固时，假如有学生忘记，他们还可以抬头看黑板上“教师的板书示范”.

从纠错、究错到化错教学

数学著名特级教师华应龙老师开展的化错教学［3］，是指把课堂教学中的差错融化为一种教学资源，相机融入后续的教学过程中化错误为正确，“化腐朽为神奇”，变“事故”为“故事”. 初中数学概念很多，习题教学课时丰富，学生的概念理解出错或解题出错现象经常发生，如果教师只满足于简单的纠错、订正结果，并不会起到更大的作用，但如果教师能组织学生从纠错到“究错”（探究錯误的原因），再到“化错”（华应龙 语），就可以大大发挥课堂中错误的教学价值. 下面笔者围绕化错教学提一些建议.

1. 数学概念的归纳、概括要有一个纠正、完善的过程

引出一个新的数学概念时，我们常常是从一些具体的情境中抽象、归纳并概括的，而提炼这些问题情境中的关键信息、本质特征并不能“一步到位”. 有时学生会给出一个不够严谨、表述错漏的概括语句，这时教师可以通过追问学生有没有补充、优化的地方，或者对照学生概括的语句，给出一些“反例”，从而帮助学生进一步完善数学概念的归纳和概括. 想来这也是傅种孙先生强调“矫正错误”的一种方向. 顺便指出，那种借助PPT“快速生成”一个“精致概念”的方式，并不利于学生对概念本质的感悟和理解，而让学生在新概念的归纳、概括中经历一些波折更有利于他们深入理解新知. 想来，这也是史宁中教授所希望的“教师讲课不要太精致，要‘拙’一点”.

2. 解题教学中的典型错解需要从纠错走向究错

进行解题教学时，遇到学生的典型错解，教师不能只是简单地让学生纠正错误、完善答案，而应组织学生深入分析出错的原因，即做归因分析，以减少学生再次出错的频率. 比如，初学有理数的运算时，不少学生总被“符号”所困扰，究其原因往往是学生缺乏“符号优先”的意识，这时教师组织学生订正时就要引导学生“回到法则”，理解进行有理数运算需要重视“确定符号”这一步骤. 再如，学生初学三角形全等的几种判定方法后，容易混淆，这时教师可以将一些典型错误展示出来，让学生指出每一步的依据，如果解题过程出现间接条件直接跳步运用的情况，教师要提示学生优先处理好间接条件；如果解题过程出现“想当然”添加一个条件的情况，教师要引导学生回到题设中进行对照、检查. 又如，有些综合题条件繁多，学生容易顾此失彼，导致思路出错，此时纠错并不容易，需要逐步细察、仔细辨析，有时甚至是某个细小的笔误或错漏都会影响后续解法，把这些错因找出来，有利于学生将来避免类似错误，从而提高解题能力.

3. 化错教学是将学生错误作为生成性资源运用

生成性资源，是指教学过程中“动态”出现（更多时候并非刻意预设得到）的一些课堂生成，包括师生对话、学生解题、学生错误等，化错教学就是要将学生的一些错误素材作为生成性资源融入教学过程，让更多学生参与纠错、辨析并订正，使之成为教学的重要组成部分. 当然，开展化错教学不但需要教师对教学内容有深入的分析，还需要教师具有较强的教学驾驭能力. 比如，学生初学反比例函数的图象时，容易出现图象不平滑、双曲线的两个分支画成连续的等错误，这些错误教师在课前都要有所预设，待到学生画函数图象时，教师可到各学习小组搜集这些典型错误，将其作为生成性资源，组织学生一起纠错. 再比如，学生初学分式方程时，容易想到“去分母”，将分式方程转化为整式方程，但是整式方程的解并不一定满足原分式方程（它们不一定是“同解方程”），此时教师可以挑选一些可能出现增根的分式方程，让学生出现错误或矛盾之后，再一起分析，查找错因. 这样的生成性资源融入教学过程，能让学生加深对新知识的理解.

结束语

傅章秀先生回忆［4］傅种孙先生时曾说：“傅先生备课下深功夫，常备课至深夜，甚至达旦. 哪怕是教过多次的熟课，备课也一丝不苟，所以他讲同一门课的任何两次都不一样，真是‘一遍拆洗一遍新’. 他备课不只钻研教材内容和教法，也研究语言、板书等表达艺术.”前辈的敬业精神与专业精神值得我们学习和传承，本文选取傅种孙先生教学思想中的“示范与纠错”，谈了一些肤浅的理解和认识，不一定准确，更不一定正确，期待更多有识之师共同研究，学习和实践傅先生的教学思想.

参考文献：

［1］王世强. 怀念傅种孙先生［J］. 数学通报，2007（增刊2）：56-66.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］华应龙. 华应龙与化错教学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2015.

［4］傅章秀. 热爱教育事业的数学家——傅种孙先生［J］. 数学通报，2007（增刊2）：43-48.