“四析”一道极值点偏移问题

何 灯 田芳松

福建省南平市光泽第二中学 (354100) 福建省福清第三中学 (350315)

极值点偏移问题以导数为背景考察学生运用函数方程思想、数形结合思想、转化化归思想解决函数问题的能力,是值得深入探究的课题,更是培养学生数学核心素养的好素材.

1、求解分析

问题(1)研究含参函数的单调性,为问题(2)做铺垫,较为常规.问题(2)分为两问,第一问建立在问题(1)的基础上,需要结合函数f(x)的图象进行研究.问题(2)的第二问是极值点偏移问题,常见的求解方法有构造函数法,对数平均不等式放缩法,比值代换法等等(参考答案给出了多种解法,此处仅引用其中较为简单的一种),但待证不等式中含有参数k,这类型问题并不多见.

2、拓展探析

3、延伸赏析

将定理中的变量做适当的代换,可得下列三个推论.

推论3 函数f3(x)=ex(x+μ),若f3(x)=k′有两个不等实根x1,x2,则k′∈(-e-(μ+1),0),

证明：分别将推论1中x、x1、x2替换为ex、ex1、ex2,得f1(ex)=k′即为f3(x)=k′,式②经上述代换即为式④.

结语解题是数学活动的基本形式和主要内容,数学学习离不开解题学习,故数学教学离不开解题教学.那么,在解题教学中如何培养学生的数学核心素养?

在试题求解分析环节,通过各种策略的比较、各类数学模型的应用、算理与算法的甄别、数学软件与多媒体的动态演示,能够很好培养学生数学抽象、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.在试题拓展探析环节,通过合情推理,将试题从特殊到一般推广,有助于发展学生的逻辑推理核心素养、创新思维能力.在试题延伸赏析环节,通过各类函数模型之间的结构与关系的抽象、关联、转化,各数值之间的分析、比较、换算,有助于发展学生的数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养.