基于ARIMA 模型的四川省GDP 分析与预测

肖 丹

（贵州大学 经济学院，贵州 贵阳 550025）

一、引言及文献综述

GDP（Gross Domestic Product）体现国内生产总值，它是国民核算过程中的重要指标之一。国内生产总值代表一个经济体内所有人提供的服务和生产的全部最终产品的总价值。为了避免重复计算，GDP只需要考虑最终产品和服务的产出，而不考虑中间产品的产出。国内生产总值可以反映一个国家或者地区的经济总量和综合实力。一方面，它代表着整个国家或地区的发展和人民的生活状况；另一方面，又代表着国民经济的增长、城乡居民生活的发展、市场价格的变动和社会发展的步伐。因此，GDP 指标在制定一个国家相应的政策和决定经济发展方向方面起着关键作用。

四川省位于中国西部，是西南地区重要的交通枢纽，连接西南、西北、中部，承揽华北、华南，是连接中亚、南亚、东南亚的交通走廊。四川省经济总量位居全国第六，其综合实力高居西部地区首位。自改革开放以来，四川省的经济发展和对外贸易取得了巨大的成就，尤其是在我国加入世界贸易组织和实施“西部大开发”战略以来，其经济伴随着对外贸易的迅速发展而高倍增长，其国内生产总值由1978 年的184.61 亿元人民币增加到2022 年的56 749.8 亿元人民币，增长三百多倍。2011 年，四川省GDP 达到2 万亿元，这是在2007 年突破万亿元以后，并在“汶川大地震”和“国际金融危机”等复杂经济形势影响下，仅用四年时间就突破了另一个万亿元大关，在西部各省市处于率先地位，成为西部经济发展的龙头大省。2020 年，全国的GDP 平均增速为2.3%，而四川省经济跑出了3.8%的增速，比全国平均水平高了1.5 个百分点，达到近七年的最高水平。在过去几年里，四川省的经济增长率都保持在7%以上，在多重不利因素的叠加下，四川省GDP从一季度下降3%，到全年增长3.8%，经济实现了“V”型反转。

本文以四川省1978—2022 年的GDP 时间序列数据作为研究对象，采用ARIMA 时间序列模型对四川省的经济数据进行分析，并对未来五年内经济走势进行了合理预测，具有一定的现实意义和参考价值。

事实上，ARIMA 模型主要用于单变量、同方差场合的线性模型。AR 模型、MA 模型、ARMA 模型和ARIMA 模型都是经典的时间序列分析方法。近年来，许多学者运用时间序列模型进行经济预测。刘林（2022）[1]基于经济增长理论，在生产要素和通胀变动路径的假设下，利用1996—2020 年经济数据，构建了长江三角洲地区八个万亿GDP 城市的经济增长模型，预测各市截至2035 年的经济总量规模和增长趋势。罗森和张孟璇（2019）[2]分别构建ARIMA和VAR 模型对2019 年四个季度的中国GDP 进行预测，并对两种模型的预测结果进行比较。王鄂和张霆（2019）[3]选取湖南省1978—2017 年GDP 的相关数据，使用计量经济学软件Eviews 8 对所选的时间序列数据进行建模，最终建立ARIMA（1，1，2）作为预测湖南省GDP 的最优模型。李娜和薛俊强（2013）[4]以1952—2011 年不变价格GDP 为研究样本，首先建立了36 组ARIMA 模型，运用多重筛选准则，最后确定最优ARIMA（6，1，3）模型，对我国2009—2011 年的GDP 进行预测，并且预测精度高。孙彩云和刘翔宇（2022）[5]分别基于河北省1988—2018 年人均GDP 数据序列构建灰色预测模型、时间序列预测模型以及动态组合预测模型。在对这三种模型对比研究之后，他们发现动态组合模型的预测结果较为理想，并提出了一些建议。

严彦文（2018）[6]通过对山东省1975—2015 年GDP 的分析，运用统计原理构建了预测效果较好的ARIMA（1，1，1）模型，可为山东省制定经济发展目标提供一定的决策参考。随着ARIMA、向量自回归模型（VAR）和一阶自回归AR（1）的应用，区域人均GDP 的时间序列数据已被证明是发达国家和发展中国家的有效经济实验工具，无论是年度还是季度数据。例如，Xinyao Zhang 和Jie Ou（2022）[7]建立了2010—2019 年四川省国内生产总值的30 维长序列，通过改进微分方程初值解条件法修正了6 维短序列的正态灰色模型，经过对论文模型的检验结果表明，改进微分方程初始值解条件法修正的6 维短序列灰色预测模型对2020—2021 年四川GDP 的预测效果较好。Hongye Cai 和Wenxuan Qiu（2022）[8]选取深圳市1980—2020 年的GDP 数据，构建ARIMA（2，2，3）模型对未来5 年的GDP 数据进行预测，2021 年预测结果与实际数据的相对误差为2.9%，表明模型预测结果较好，具有一定的可行性。Maity B 和Chatterjee B（2012）[9]使用1959—2011 年的年度数据预测了印度的GDP 增长率，结果表明ARIMA（1，2，2）模型最适合。借助1980—2013 年的数据，经济学家Dritsaki（2015）[10]使用ARIMA（1，1，1）模型预测了希腊的实际GDP 率，结果表明希腊GDP预测率稳步提高。

二、ARIMA 模型介绍

ARIMA 模型最早是由两位美国统计学家G.E.P.Box 和G.M.Jenkins 在1970 年提出的，又被称为博克思-詹金斯法，它是一个比较有效的预测时间序列发展趋势的模型。ARIMA 模型在ARMA 模型的基础上进行差分计算，并使用数学模型来描述预测对象随时间形成的数据序列。在确定模型后，可以根据时间序列的过去值和现在值预测未来值。其中AR为自回归模型，p 为自回归项，MA 为移动平均项，q 为移动平均项个数，d 为时间序列趋于平稳时所做的差分次数[11]。

ARIMA 模型与ARMA 模型的区别在于ARMA模型是针对平稳时间序列建立的模型，而ARIMA模型是针对非平稳时间序列建模。换句话说，非平稳时间序列要建立ARMA 模型，首先需要经过差分转化为平稳时间序列，然后建立ARMA 模型。ARIMA模型要求序列是平稳的，检验序列是否平稳可以采用单位根检验，单位根检验的原假设为序列不平稳。一般情况下，p 值小于0.1，意味着在0.1 的水平上拒绝原假设，此时序列是平稳的。如果序列不平稳，可以在一阶或二阶差分后进行单位根检验，直到序列平稳为止。如果二阶差分仍然不是平稳的，一般使用二阶作为最终差分的阶数。

对于非平稳序列，其方差和均值会在不同时间发生改变。对于非平稳序列，其不确定性较高，难以借助当前已知信息条件完成推测。从经济宏观层面看，其绝大部分经济时间序列都属于不稳定序列。如果能对这种不稳定序列进行方差运算，得到稳定的时间序列，就称为平稳序列[12]。

设Xt是d 阶的平稳序列，Xt～I（d），则wt=吟dXt=（1-B）dXt，Wt为平稳序列，即Wt～I（0），进而能够针对Wt，构建ARMA（p，q）模型：

当ARIMA（p，d，q）模型中的d=0 时，即等于ARMA模型（p，q）。ARMA（p，q）模型一般用于原始数据不需要经过差分的建模分析，即平稳的时间序列分析。而经过差分的数据，大多数情况是借助ARIMA（p，d，q）模型来对其进行不平稳的时间序列分析。针对诸如经济数据等数据序列而言大多属于非稳定时间序列，因此本文采用ARIMA 模型对四川省GDP进行时间序列分析[13]。

三、实证分析

（一）数据来源及初步分析

本文通过查询《四川省统计年鉴》，选取四川省1978—2022 年的国内生产总值数据，共45 个观测值，如表1 所示。

表1 四川省1978—2022 年GDP 数据 （单位：亿元）

运用Python 软件绘制出时序图，通过图1 的折线图可以看出，1978—2022 年间，四川省的国内生产总值大致呈无周期性的增长趋势，并且在1992年以后，四川省GDP 的增长速度越来越快，分析原因可能是，随着计划经济向市场经济过渡，民营经济逐渐成为四川省经济的重要组成部分，从无到有，从小到大，由弱到强。21 世纪以来，市场经济体制改革不断深入，开始站稳脚跟，四川省民营经济开始快速发展，总体规模迅速扩大。党的十八大以来，在经济进入新常态、高质量发展成为主题的背景下，四川省GDP 水平快速提升，在全国的排名逐步提升。

图1 四川省GDP 时序图

（二）数据平稳化处理

由图1 可以看出，1978—2022 年间，四川省GDP呈指数式增长，具有明显的非平稳性，为了更好地满足平稳性需求，对四川省GDP 数据进行对数化处理，随后进行单位根检验。由表2 可见，针对Ln_GDP（亿元），该时间序列数据ADF 检验的t 统计量为-1.263，p 值为0.646，而1%、5%、10%临界值分别为-3.593、-2.932、-2.604，此时p=0.646＞0.1，不能拒绝原假设，说明序列不平稳。接着对序列进行一阶差分后再进行ADF 检验。一阶差分后数据ADF 检验结果显示p=0.020＜0.05，有高于95%的把握拒绝原假设，此时序列平稳，可确定模型的阶数d=1。

（三）ARIMA（p，d，q）模型建立

模型的识别主要依靠分析自相关图和偏自相关图，利用软件分别画出自相关图与偏自相关图，观察图形的自相关系数的变化趋势可以初步判断p、q的取值。对四川省GDP 数据进行对数一阶差分后的序列为平稳序列，因此可进行下一步的操作，即确定p 值和q 值。可以通过观察自相关图（ACF）（见图2）和偏自相关图（PACF）（见图3）来选取自回归阶数p 和移动平均阶数q 的值。如果ACF 图在q 阶处截尾同时PACF 图不截尾，此时ARIMA 模型可简化为MA（q）；如果PACF 图在p 阶处截尾且ACF 图不截尾，这时候ARIMA 模型就可以简化为AR（p）；如果ACF 图和PACF 图都显著不截尾，就需要选择合适的ARIMA 阶数，ACF 图中最显著的阶数可以选择为q 值，PACF 图中最显著的阶数可以选择为p值；如果ACF 和PACF 都显示为截尾，表明数据为白噪声，ARMA 模型不适用。由图2 的自相关函数图和图3 的偏自相关函数图可以得出，自相关函数图呈拖尾现象，偏自相关函数图的峰值出现了滞后二阶截尾现象。接着通过模型参数检验，其AIC 值为-140.511，说明模型拟合较好，模型ARMA（2，0）的平稳性检验通过，因此确定p=2、q=0，即四川省GDP 时间序列模型为ARIMA（2，1，0）。

图2 自相关图（ACF）

（四）残差白噪声检验

得到估计的模型之后，为确定该模型是否完全反映了序列中有价值的信息，是否是有效的，需要对模型的残差序列进行白噪声检验。ARIMA 模型要求模型残差为白噪声，即残差中不存在自相关性，可以通过Q 统计量检验进行白噪声检验；例如，用Q6 来检验残差的前六阶自相关系数是否满足白噪声，通常Q6 对应p 值大于0.1，则说明满足白噪声检验，反之则说明不是白噪声，一般情况下可直接针对Q6 进行分析即可；如果拒绝白噪声假定（p＜0.05），意味着模型拟合不佳，反之通常意味着模型可正常使用。根据表3 中的Q 统计量可知，Q6 的p值大于0.1，则在0.1 的显著性水平下不能拒绝原假设，模型的残差为白噪声，说明序列中几乎所有有用信息都被此模型提取反映出来，拟合的ARIMA（2，1，0）模型可以作为理想的预测模型，因此模型基本满足要求。

表3 模型Q 统计量

（五）模型预测

为了对模型ARIMA（2，1，0）的正确性进行一定程度的检验，需要利用上述建模步骤建立的ARIMA（2，1，0）模型对四川省的GDP 进行预测，将预测结果和四川省GDP 的实际值进行对比并利用作图软件画出趋势图。现用前33 个数据即1978—2010 年的GDP 数据来预测四川省2011—2022 年GDP，用其检验拟合效果，将四川省2011—2022 年GDP 预测值与真实值进行比较，并绘制出图4 的真实值与预测值折线对比趋势图，不难看出，预测的四川省GDP 值基本上与其真实值处于同一位置上，说明该模型具有较好的拟合效果，误差比较小，表明所构建的ARIMA（2，1，0）模型对该数据的预测值具有一定的可信度。

图4 四川省GDP 真实值与预测值比较图

因此，可以利用该模型进一步对四川省2023—2027 年未来五年的GDP 进行预测，预测值如表4所示。由此可见，“十四五”期间四川省GDP 仍保持较高增速，2023 年四川省GDP 将达到61 334.47 亿元，同比增长8.1%。2022 年12 月15 日，习近平总书记在中央经济工作会议上也指出，当前经济工作要着力扩大国内需求、加快建设现代化产业体系、切实落实“两个毫不动摇”、更大力度吸引和利用外资，这些都对经济的发展有很大的促进作用，四川省一定会在经济发展的浪潮中抓住机遇，不断提高发展质量，促进GDP 的增长。预计到2025 年即“十四五”的收官之年，四川省的GDP 将接近七万亿元大关，继续实现稳步增长。

表4 四川省2023—2027 年GDP 预测值 （单位：亿元）

四、结论及建议

（一）结论

本文使用四川省1978—2022 年的GDP 数据进行时间序列分析，利用Python 软件画出四川省GDP的时序图，可以看出四川省GDP 呈指数式增长，对取对数后的时间序列数据进行单位根检验，检验结果为对数一阶差分后达到序列平稳。接下来通过自相关图和偏自相关图判断模型的p、q 取值，构建了ARIMA（2，1，0）模型。通过比较四川省2011—2022年GDP 的预测值与真实值，发现预测的四川省GDP值基本上与实际值处于同一位置上，说明该模型具有较好的拟合效果，误差比较小，表明所构建的ARIMA（2，1，0）模型对该数据的预测值具有一定的可信度。在此基础上，利用该模型进一步对四川省2023—2027 年未来五年的GDP 进行预测，分别为61 334.47亿元、64 781.56 亿元、69 064.03 亿元、72 802.48 亿元、76 960.68 亿元。其中，2023 年四川省GDP 将达到61 334.47 亿元，同比增长8.1%，经济将进入一个全面复苏的新阶段，政策方针的推动也会对经济发展产生很大的促进作用。预计到2025 年即“十四五”的收官之年，四川省的GDP 将接近七万亿大关，从数据上看，四川省GDP 继续保持高增长态势，可为政府的经济决策提供一定的参考。

（二）建议

基于前文研究，为进一步促进四川省GDP 增长，本文提出以下建议：

一是明确重点发展产业。实施主体功能区规划，发展壮大五个万亿级支柱产业，包括电子信息、食品饮料、装备制造、能源化工、先进材料，重点培育新能源汽车、轨道交通、动力及储能、电池等核心产业；重点打造四大世界级产业集群，培育集成电路、信息安全、新型显示等国内领先产业集群；支持核能装备及核技术应用、航空成套器械、航空发动机等优势领域；优先发展粮油、肉类食品、纺织服装、中药材、茶叶等千亿级产业等。

二是明确重点发展区域。在有限的投资和高负债的情况下，全面建设是不可能的，必须为发展选择关键领域。从四川省经济现状出发，必须在突出成都这个“干”的基础上，将自贡、内江、宜宾建设成贡江宜经济区，南充、广安、遂宁建设为南遂广经济区，组成“两支”，从而实现“一干两支”的发展模式。贡江宜经济区主要发展电子信息、机械和材料、医药化工等产业，而南遂广经济区主要发展纺织、食品加工、特色产业等，成都、绵阳、德阳主要发展电子信息、软件和互联网、金融、旅游业等产业。

三是注重统筹，协调发展。全面审查和规划应从整个省份甚至西南部的总体高度进行。例如，四川省旅游业发展良好，但与贵州省等其他地方相比，其速度仍然太慢，贵州的游客人数和旅游收入与四川差不多。四川省应协调四川西部和北部自然旅游资源，打造以成都-江油-剑门关-阆中-广元-汉中为一线的历史旅游资源，发展成都和广元两个旅游节点，使四川省旅游业进一步发展。

四是军民融合。在三线建设中，四川省迁入了一大批军工企业。军用企业和民用企业融合是四川产业发展的思考点，如果融合得好，将能够带动企业和产品的进一步发展。四川省在航空航天、人工智能、轨道交通、无人机等方面的发展已经取得了一定成果，行业已有很好的基础，政府应该进一步探索军民融合发展的道路，消除障碍。