基于多目标数学建模的配方及功能优化试验

孙 洁

(西安外事学院工学院,陕西 西安 710077)

随着科学技术与畜牧养殖业的快速发展,如何科学合理的对动物饲料配方进行设计与优化,在保证动物营养健康的基础上获得最高的经济效益,是目前社会研究的热点。国外在20世纪50年代就已经采用数学方法来解决饲料配方问题,应用最广泛的数学方法是线性规划,即以动物的采食量、营养性需求以及某一种饲料原料在配方中的含量为约束条件,以饲料配方最低成本为目标函数的一种方法。而国内学者发现该方法存在一定的局限,陈光烨[1]就在研究中提出线性规划无法妥善解决多目标优化问题,继而提出一种基于遗传算法的低蛋白蛋鸡饲料配方设计方法,采用遗传算法提供一个求解多目标系统优化问题的通用框架,来解决决策变量多、目标函数和约束条件复杂的问题;邵彩梅等[2]认为配方技术是饲料生产的核心,因此对饲料配方技术进行充分挖掘具有一定的价值,因此对目前配方技术的各种相关算法进行归纳总结并介绍了其数学原理,为有效实现饲料配方的精准设计和畜牧业经济效益提供了参考价值;黄强等[3]对饲料配方设计的优化算法进行了探讨与研究,研究得出线性规划算法和模糊规划算法会随着配方中原料和营养物质约束条件的增多而导致计算时间大幅度增加。综上可知,目前对于饲料配方设计优化问题,可选择的优化算法较多,但都存在一定的局限。因此,本研究选择马饲料配方作为研究对象,依次构建基于线性规划、模糊规划以及目标规划的马饲料配方模型,对马饲料配方进行设计与优化,并通过对比分析找到适合用于饲料配方设计的方法。

1 问题描述

本研究以马饲料配方设计为目标,构建数学模型来制定能够满足马生存活动基础的科学饲料配方。其制定流程如图1所示。

图1 马饲料配方制定流程

在制定科学的马饲料配方的过程中需要满足如下原则:

(1)满足马匹的营养需求。根据美国NRC马匹饲养标准,以及饲养的条件与天气、生产性能等因素确定合理的营养供应量。其中,决定马匹生产性能的关键是蛋白质和能量,因此在进行饲料配方设计时,需要优先保证蛋白质和能量的需求,然后保证饲料原料的多样化和营养平衡性[4]。

(2)有利于马匹消化与吸收。饲喂量要根据不同马匹的胃容量进行合理投喂,在保证马匹能够获取足够的营养和达到饱腹感的同时不会食入过多。饲料中的粗纤维不能过多,马对粗纤维的消化能力较差,若饲料中粗纤维过多容易造成腹胀、不消化等问题。同时为了防止马挑食和采食量过少造成营养不均衡,饲料适口性要好。保证马的消化与吸收。

(3)保证饲料品质。在进行饲料配比过程中,要严格把控饲料原料的品质,综合考虑饲养环境、当地气候条件、市场等因素,选择易消化、质量合格、营养全面的饲料原料[5]。

(4)满足经济性和实用性。饲料在满足马匹营养需求的基础上,让成本降到最低,保证养殖户的经济效益。同时,根据马匹的作用不同,设计包含不同营养与能量的日粮配方,实现以最小饲料消耗量来满足不同马匹的运动、生产需求的目的,提高饲料的实用性。

2 马饲料配方目标函数及约束条件

本研究主要对基于多目标数学建模的配方及功能优化试验进行了研究,因此依次对基于线性规划、基于模糊规划、基于目标规划的马饲料模型进行构建,并对马饲料配方进行设计与优化。其中,马饲料配方设计需要满足的基础是马匹对每天需要摄入的营养物质量,因此在模型构建过程中,约束条件不包括配方中所有原料配比之和等于1。

2.1 基于线性规划的马饲料配方目标函数及约束条件

目前,最常见的马饲料配方模型,是以饲料配方最低成本作为目标函数,并对其进行求解。基于线性规划的马饲料配方模型以饲料配方成本最小值为目标函数,以饲料配方营养成分、原料所需的上下限范围、采食量上下限范围为约束条件,构建数学模型求解最低成本饲料配方[6-7]。则,基于线性规划的马饲料配方模型可以表示为:

目标函数:

minZ=c1X1+c2X2+…+cnXn

(1)

约束条件:

式(1)和(2)中,minZ代表目标函数的最小值,即马饲料配方的最低成本;Xj(j=1,2,…,n)代表第j种原料在马饲料配方中的用量,是模型中的决策变量;bi(i=1,2,…,m)代表目标值,即马饲料配方中必须达到的营养指标目标值;m代表马饲料配方设计过程中需要满足的营养条件数量;n代表马饲料配方中包含的原料数量;aij(i=1,2,…m;j=1,2,…n)代表马饲料配方中所有原料对应的营养成分含量,是模型中的技术系数。

2.2 基于模糊规划的马饲料配方目标函数及约束条件

在马匹饲养过程中,马匹的品种、饲养的环境、生产与运动中的表现、饲养的目的都影响着饲养标准,而饲料原料的品种、加工运输以及原料产地的地理条件等都影响着营养价值,因此饲养标准和饲料营养价值只有相对的参考标准,具有一定模糊性,本研究以此为依据搭建基于模糊规划马饲料配方模型,具有一定的合理性与有效性。

模糊规划的基本原理是在线性规划的基础上,将马饲料配方模型的目标函数和约束条件进行模糊化处理[8-9]。对每个约束条件进行模糊化,其计算公式可以表示为:

Fi(x)≥≈bi

(3)

同时,在X中有一个与之对应的模糊子集,其隶属函数可以表示为:

随后,对目标函数构造模糊目标集,与之对应的隶属函数可以表示为:

最后,基于模糊规划的马饲料配方模型可以表示为:

目标函数:

minS=λ

(6)

约束条件:

(7)

式中,d0代表经过伸缩指标伸缩后目标函数值与最小值之间的差值;Z0代表在满足约束条件基础上目标函数的最小值,即马饲料配方最低成本;di(i=1,2,…,m)代表马饲料配方中每一种原料用量和营养指标的伸缩量,即伸缩指标;λ(1≥λ≥0)代表隶属度,当λ=1或di=0时,模糊规划等于线性规划。

基于模糊规划的马饲料配方模型主要通过最大隶属原则对马饲料配方中所需原料的含量进行求解,即将约束条件中的aij、bi、以及目标函数中马饲料配方成本进行模糊化,然后将di引入模型中对饲料配方进行优化[10]。

2.3 基于目标规划的马饲料配方模型构建

目标规划可以设定多个优化目标,其本质是通过对每一个目标的偏差变量进行极小化操作,然后设立优先级,把所有优化目标根据所求的轻重缓急划分为多个等级,在求解过程中首先满足等级较高的目标,再考虑等级低的目标[11]。则,基于目标规划的马饲料配方模型构建可以表示为:

目标函数:

(8)

约束条件:

(9)

2.3.1基于目标规划的马饲料配方模型的优化

在马匹饲养过程中,不同用处的马匹每日所需的营养和能量不一样,如:用于陪伴游客放松与锻炼的休闲骑乘马不要太多的能量,因此饲料配比应以干草为主,精料的用料不需太多;用于赛事的马匹每日需要大量的营养和能量,因此饲料配比时精料可占一半;用于观赏的马匹所需能量最小,在饲养时可以减少采食量等。因此,为了满足马匹饲养的多种需求,本节对基于目标规划的马饲料配方模型进行优化,具体优化方法为将原始模型中的约束条件划分为营养成分约束组、采食量约束组和饲料配方约束组。

营养成分约束方程组可以表示为:

采食量约束方程组可以表示为:

(11)

饲料配方成本约束可以表示为:

(12)

目标函数可以表示为:

(13)

2.3.2基于多目标规划的马饲料配方模型的构建

如图2所示,采用LINGO来对目标规划进行求解[14]。在求解过程中需要先满足优先等级高的目标,再满足优先等级靠后的目标。

图2 基于多目标规划的马饲料配方模型构建

3 实验与结果

本次实验采用MATLAB仿真平台编写3种马饲料配方模型程序[15]。实验对象选择体重为450 kg的竞技赛马匹。实验方法为选择相同的马饲料原料,分别采用3种配方模型对马饲料配方进行设计,验证模型的有效性,然后对3种模型设计的配方进行比较分析,验证哪一种模型更适合于马饲料配方设计与优化。

饲养标准采用美国NRC标准,原料选择包括燕麦、羊草干草、亚麻籽粕、燕麦干草、小麦麸、苜蓿干草、玉米、高粱、大豆粕、大麦10种原料。

3.1 基于线性规划的马饲料配方求解结果

采用基于线性规划的马饲料配方模型对体重为450 kg的马匹日粮配方进行求解,求解出马日粮配方中干物质以及燕麦、羊草干草、亚麻籽粕、燕麦干草、小麦麸、苜蓿干草、玉米、高粱、大豆粕、大麦10种原料的含量,如表1所示。

表1 基于线性规划的马饲料日粮配方求解结果

求解出马日粮配方中营养成分含量见表2。

表2 基于线性规划的日粮配方营养成分含量

分析表1可知,采用基于线性规划的马饲料配方模型求解出的日粮配方中,有4种干物质与原料的含量为0,不符合马饲料需要多样化的要求。分析表2可知,日粮配方中的营养成分含量几乎都与饲养标准一致,钙含量稍高,表明该配方能够满足马的营养需求。但该配方不具备原料多样性与适口性好的特点,因此不太适用于马饲料配方设计。

3.2 基于模糊规划的马饲料配方求解结果

采用基于模糊规划的马饲料配方模型对体重为450 kg的马匹日粮配方进行求解,求解出马日粮配方中干物质以及燕麦、羊草干草、亚麻籽粕、燕麦干草、小麦麸、苜蓿干草、玉米、高粱、大豆粕、大麦10种原料的含量,如表3所示。

表3 基于模糊规划的马饲料配方求解结果

求解出马日粮配方中营养成分含量如表4所示。

表4 基于模糊规划的日粮配方营养成分含量

分析表3可知,基于模糊规划的马饲料配方模型求解出的日粮配方中包含了10种原料,保证了马饲料的多样性需求。分析表4可知,日粮配方中的消化能和钙含量明显低于饲养标准,无法为竞赛马匹提供足够的能量,不能维持其需求,因此也不太适用于马饲料配方设计。

3.3 基于目标规划的马饲料配方求解结果

采用基于目标规划的马饲料配方模型对体重为450 kg的竞赛马匹日粮配方进行求解,求解出马日粮配方中干物质以及燕麦、羊草干草、亚麻籽粕、燕麦干草、小麦麸、苜蓿干草、玉米、高粱、大豆粕、大麦10种原料的含量,如表5所示。

表5 基于目标规划的马饲料配方求解结果

求解出马日粮配方中营养成分含量,见表6。

表6 基于目标规划的日粮配方营养成分含量

分析表5可知,基于目标规划的马饲料配方模型求解出的日粮配方中包含了所需的10种原料,能够为马匹提供适口性好、原料丰富的饲料。分析表6可知,日粮配方中所包含的营养成分都到达了标准值,且本次实验对象为竞赛马匹,每日所需的能量较大,所以配方中钙、磷、粗蛋白质的含量相对饲养标准来说偏高是合理的,能够让竞赛马匹摄入足够的能量。

3.4 3种马饲料配方对比

马饲料配方设计的基础依据是不同马匹的营养、能量需求,因此在饲料配方设计过程中,需要根据马匹的不同用途以及马匹的年龄、身体状况等实际情况进行适时调整。如,在设计竞赛用马的日粮配方时,其营养成分含量可以在饲养标准的基础上进行适当的提高,以满足竞赛用马每日的巨大能量需求;在设计观赏性马匹的日粮配方时,其营养成分含量可以适量降低。同时,为了保证马饲料的多样化,防止马偏食和营养缺失,马饲料配方中的原料需要保证多种多样;为了提高饲料的适口性,防止马不愿意进食或进食过少,在对日粮配方进行设计时,需要保证小麦麸占日采食量的5%～20%。

马饲料配方优化是一个需要经过不断调整与实践的复杂问题,我们分别采用线性规划、模糊规划以及目标规划构建马饲料配方模型对饲料配方进行优化设计,并对比3种方法的优劣。

其中,3种模型设计的马饲料配方构成对比如图3所示。分析图3可知,采用线性规划模型建立的饲料配方缺少4种原料,且小麦麸占日采食量的比例不够5%,无法保证饲料的多样性,且适口性差。采用模糊规划模型与目标规划模型建立的饲料配方中包含了10种原料,保证了马每日干物质采食量要求。

(a)线性规划

3种模型设计的马饲料配方营养成分见表7。

表7 营养成分含量对比图

分析表7可知,线性规划模型能够满足马每日的营养需求;模糊规划模型设计的日粮配方中,其消化能含量与钙含量都偏低,没有达到饲养标准,无法为需要进行高强度运动的马匹提供足够的能量;目标规划模型中蛋白质含量比饲养标准高21 g,钙含量比饲养标准偏高0.4 g,磷的含量较饲养标准偏高3 g,满足高强度马匹的饲养需求。

综上可知,线性规划方法最为简单,但因其约束条件是硬性的,缺乏弹性,在求解的过程中容易出现无解的情况,此时需要放宽约束条件才能获得解,导致其设计的马饲料配方适口性差、原料种类不够丰富、干物质含量不够等,无法科学合理地给马匹提供足够的营养与能量。模糊规划方法能够维持普通马匹的营养能量需求,但不适合需要高能量的马匹饲养。目标规划方法通过建立多个优化目标,能够根据马匹饲养过程的实际情况进行灵活调整,使其设计的配方在满足应用均衡性的基础上,兼顾了饲料成本。表明基于目标规划的马饲料配方模型最适用于马饲料配方设计与优化。

4 结论

本研究对基于多目标数学建模的配方及功能优化试验进行了研究,以马饲料配方设计为例,分别采用线性规划、模糊规划与目标规划3种方法对马饲料配方进行最优求解,得到不同求解方法的结果存在显著差异。而通过研究可以得出,基于目标规划求解得到的马饲料配方最佳。但受时间限制,我们只对3种求解方法进行了初步的探讨,后续可进一步对马饲料配方模型的优化算法进行研究,寻求更完善的饲料配方模型。