基于降维状态观测器的网络化广义系统状态反馈控制器设计①

梁茜 刘蕾 庞中华

(北方工业大学北京市现场总线及自动化重点实验室 北京 100144)

0 引言

网络化广义系统是利用网络连接的闭环控制系统。与传统的点对点控制系统相比,网络化广义系统具有远程数据交换[1]、可靠性高、功率要求低[2]等优点。但由于有网络的介入,会导致系统存在网络时延、数据丢包[3]、通信受限[4]等不确定性问题。网络化广义系统可用于描述电力网络、航空器等一类具有微分代数方程描述的实际系统[5]。

但由于广义系统在形式上和结构上的特殊性,正常系统的某些理论不适用于网络化广义系统,因此有必要研究网络化广义系统。

对于网络化广义系统中产生数据丢包的情况,仍然可以设计状态观测器,对状态进行估计,观测系统获得不到的状态。文献[6]研究了具有数据丢包的网络系统中基于观测器的保成本控制问题,将传感器-控制器和控制器-执行器的丢包建模为2 个相互独立且满足伯努利二元分布的随机变量。文献[7]中针对具有伯努利分布丢包的网络系统,设计了基于观测器的反馈控制器,可在均方意义下实现网络系统的鲁棒指数稳定。

状态估计是根据系统的模型和测量序列,对系统内在状态进行重构。对系统的输入输出进行测量得到的数据只能反映系统的外部特性,而系统的动态规律需要用内部状态变量来描述。

文献[8]给出了基于线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)的广义区间观测器设计方法,并通过引入自由度扩展了区间观测器的设计条件。文献[9]讨论了带时延和丢包的状态观测器的网络控制系统设计问题。文献[10]对于具有时变传输时延和时间间隔的网络控制系统,构造了一种依赖于时间的非连续的Lyapunov 泛函,并提出了一种新的稳定性判据。文献[11]在网络控制系统中考虑了双边随机时延和数据包丢包,研究了控制器和观测器的设计问题。文献[12]对于具有时延和丢包的广义网络控制系统,利用Lyapunov 函数和LMI 给出了指数稳定条件和基于正常状态观测器的反馈控制器。文献[13]对于网络控制系统的节点同步控制,提出了采用全局状态观测器的方法来实现,该方法可以消除网络控制节点的同步控制误差和一些不良影响。

对于一些确定的系统,由于不易直接测得,或者测量设备具有局限性,那么在诸多情况下不能实际获得系统的状态。为了克服这些难题,就需要采用状态反馈,引入一个状态观测器,去测量系统所需要的状态。

本文根据有时延和丢包的网络化广义系统,给出了n-l维状态观测器,并引入了状态反馈控制器使系统的指数保持稳定。并通过数值算例,证明了此算法的正确性。

1 问题描述

考虑具有时滞线性时不变广义系统:

式中,x(t) ∈Rn为状态向量、u(t) ∈Rm是输入向量、y(t) ∈Rl是输出向量;E、A、B、C为适当维数矩阵;E为奇异矩阵,即rank(E)=q ＜n;采样周期为T;τ为小于T的时延。

文献[12]给出了具有数据包丢失的广义网络控制系统的结构图,如图1 所示。

图1 具有丢包的网络化广义系统

对于系统式(1)作如下假设:

(1)广义被控对象正则,能检测,无脉冲;

(2)传感器使用时钟驱动,控制器和执行器使用事件驱动;

(3)系统存在数据丢包和时延。

根据文献[14],系统式(1)可以受限等价为如下形式:

算法1矩阵P、Q的求解。

定理1[14]若广义系统能检测和能对偶正常化,且rank(C)=l,即矩阵C行满秩,则该广义系统存在一个n-l维的正常状态观测器:

算法2

(1) 判断系统是否能观,且rank(C)=l。

(3) 求矩阵L。

(4) 式(3)为所求的正常状态观测器。

由定理1 有,被控对象存在一个n-l维状态观测器,表示为

系统的状态反馈控制器为

带有观测器的反馈控制系统如图2 所示。由文献[12]可知,当开关位于s1时,控制器并不出现丢包现象,即(k)=xc(k);当开关位于s2时,控制器出现了丢包现象,即保持上一个周期的数值(k)=(k-1)。

图2 具有观测器的反馈控制系统

当开关位于s1时,没有数据包丢失的现象发生,式(2)、(4)和(5)构成闭环系统,将其进行离散化后为

当开关位于s2时,发生数据包丢失,式(2)、(4)和(5)构成闭环系统,将其进行离散化后为

2 广义网络控制系统稳定性分析

由式(2)、(4)、(5)所描述状态丢包率为r1,存在对称正定矩阵P、Q、S、M,标量a1＞0,a2＞0,满足＞1,

因此系统的指数稳定,相应的状态反馈增益矩阵为K=NS-1。

证明对于系统式(2)和(4),假设Lyapunov 函数为

当开关位于s1时,无数据包丢失,根据Schur 补性质可得:

在式(11)左右两边分别乘diag(U-1,V-1,W-1,X-1,I,I,I,I),并且令P=U-1,Q=V-1,S=W-1,M=X-1,N=KW-1,则可得到式(8)。

当开关位于s2时,有数据包丢失,根据Schur 补性质可得:

在式(12)左右两边分别乘diag(U-1,V-1,W-1,X-1,I,I,I),并且令P=U-1,Q=V-1,S=W-1,M=X-1,则可得到式(9)。

3 仿真实例

用文献[15]的数值算例进行仿真验证本文设计方法的可行性,系统参数如下所示:

设定T=0.3 s,τ=0.2 s,数据包的有效传输率为r1=0.90,取a1=1.2516,a2=0.5416,则=1.1510＞1

通过算法1 进行计算可得:

通过算法2 计算可得:

由Matlab 程序计算得到矩阵参数:

A0=0.5092,A1=1,A2=0,A3=0.3,A=0.5092,Γ=1.3499,Γ0=0.1182,Γ1=0.1698,Γ2=0.0871,Γ3=0.1084

程序计算流程图如图3 所示。

图3 计算流程图

并利用Matlab 中的LMI 工具箱可得:

P=0.0412,Q=0.0098,N=5.2062,S=6779.1458,M=0.3920

反馈控制矩阵K=0.000 768,则期望的状态反馈控制率为u(k)=-0.000 768^x(k)。

假定系统的初始状态x(0)=[1 0]T,在时延τ=0.2 s 情况下,系统x1的实际值如图4 所示,图5为系统x2的实际值,系统重构状态xc轨迹如图6 所示。从这些图中可以看出,在文献[15]提出的实际系统中,本文所设计的方法可以使实际系统的实际状态与估计状态达到稳定。

图4 系统x1 实际值

图5 系统x2 实际值

图6 系统重构状态xc

4 结论

本文针对具有时延和丢包的广义网络控制系统,设计了n-l维状态观测器,并利用Lyapunov 稳定性定理和LMI 工具箱对广义网络系统进行了稳定性分析和控制。仿真实例验证了此方法的有效性和正确性。