对如何培养和提升数学解题能力的几点认识

梁付元

在初中阶段，教师习惯于精耕细作，对教材中的重难点内容进行重点讲解，对习题中重点题型进行反复演练，久而久之，部分学生形成了死记硬背、机械套用的学习习惯.因初中阶段数学知识相对简单，靠死记硬背和模仿可以解决大部分问题，然高中阶段，内容增多，难度增大，对学生的数学思维能力提出了更高的要求，为此不少学生步入高中后常感觉不适，有的学生甚至失去了学习数学的信心，造成了解题障碍.另外，受初中教学方法的影响，不少学生对教师形成了过度的依赖，其自主学习、独立思考、合作探究的学习习惯并未养成，处于一种被支配的学习模式.然高中数学课堂任务重，为了更好地完成教学目标，教师会要求学生课前预习，但因学生的自学能力尚未形成，所以预习常限于走马观花地阅读教材，并不能有针对性地提出问题，因此学生上课时常感觉吃力，解决问题的能力难以提升.可见，若要培养和提升学生的解题能力，教师的教学方法和学生的学习方法都应做出一些改变.

其实在高中阶段，学生已拥有一定的知识储备，逻辑分析和逻辑推理能力也有了突飞猛进的发展，如何引导学生利用数学知识去解决问题，即提高解题能力已成为高中数学教学的重点.那么，如何培养，如何提升呢？

1 如何培養

分析和解决问题是发展高中生数学思维能力最有效的手段.要知道，解决一个问题往往会涉及许多知识点，因此解题有助于完成知识的系统化建构.同时，在解决问题的过程中会获得数学经验，学生通过对解题经验不断地总结概括，最终可形成解题能力.在实际教学中，培养学生数学解题能力应注意以下两点.

1.1 利用好课本资源

充分利用好课本例习题的示范功能，重视数学思想方法的抽象和概括，逐渐培养学生的思维能力，如数形结合、转化化归等.教材是专家精心编写的，具有启发性、引领性和系统性，在培养解题能力时，一定要用好课本资源，切勿盲目求难、求新而偏离教材.

1.2 注重情境创设

高中阶段大多数学题目较为抽象，学生容易出现畏难情绪，而创设合理的问题情境不仅可以淡化数学习题的抽象感，让学生理解题意，而且可以较好吸引学生的注意力，有利于提升学生解题的积极性和解题信心.只有注意力被吸引了，学生才能更加主动地参与到解题教学中来，这是提高学生解题能力的前提.其实解题过程就是一场心理战，需要拥有必胜的决心，为此在数学教学中有必要通过情境来提高学生的解题积极性和解题信心.

2 如何提高

2.1 提高审题能力

审题是解题的关键.只有正确审题，才能全面掌握已知条件、挖掘出隐含信息和设问要求，从而为问题解决打下坚实的基础.审题影响和制约着解题能力的提升，因此若要提高学生的解题能力需先从学生的审题能力入手.根据问题反馈容易发现，出现错解的主因就是学生审题不清，没有弄清题意.因此，审题必须要细致，要知道已知是什么，求的是什么，会用到哪些知识点，同时要搞清已知条件和所求问题间的内在联系，进而搞清解题方向，形成解题思路.教师在日常教学中要注重审题能力的培养，使学生可以灵活应用审题技巧快速找到解题突破口，快速地解答问题.在教学中，可以开展专项练习来培养学生的分析能力、合情猜想与合情推理能力，引导学生通过转化化归提取出隐含于题设中的隐蔽条件，提高解题效率.

2.2 提升运算能力

数学解题离不开数学运算，数学运算应是高中生所必备的一项基本技能.然在高中数学教学中发现，很多学生的数学运算能力不强，很多题目虽然已经形成了解题思路，但却在计算时受阻，最终未能顺利求解.在教学中，有的教师为了多讲题，往往引导学生找到解题切入点，形成解题思路后就急于讲解下一个问题.因此，很多学生片面地认为解题时只要形成思路就可以了，没有必要解出来，结果在考试时栽跟头.为此，在日常教学中，教师有必要对学生加大运算能力的培养，做到运算准确、熟练、合理，克服只动脑不动手的坏习惯.

例1 椭圆C的焦点坐标分别为（-2，0），（2，0），且椭圆C经过点52，-32，求椭圆C的标准方程.

看到例1后，很多学生不屑一顾，认为问题过于简单.根据已知可以判断椭圆的焦点在x轴上，为此设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），由焦点坐标可知c=2，于是有a2-b2=4，另外将点52，-32代入椭圆标准方程，得到另外一个关于a，b的方程，两方程联立即可求解.学生认为只要运算的时候认真一点就没问题了，然在解方程组时很多学生却因运算困难而半途而废.

在数学解题中，不少看似简单的问题其运算并不简单，为此在解题训练时一定要关注解题的完整性，关注学生运算能力的培养.

2.3 提升思维活力

数学问题是灵活多变的，即使是同一个问题，其思考的角度不同也可能会有不同的解法.然在实际解题中，受思维定势的影响，学生的多角度观察和分析能力并没有得到良好的发展，致使解题思路单一，当思维受阻时不能灵活调整解题策略，最终影响解题效果.为此，在教学中，应为学生创造一定的条件，引导学生从不同的角度去思考和解决问题，从而对问题形成更加全面、深刻的认识.这样既能发散学生的数学思维，又能优化解题方案，有助于解题能力的提升.

例2 已知x2+y2=9，求2x+y的最大值.

解法1：局部换元法.

令z=2x+y，则y=z-2x，将其代入x2+y2=9中，可得x2+（z-2x）2=9.展开后化简，得5x2-4zx+z2-9=0.此方程有解，则Δ=（-4z）2-4×5×（z2-9）≥0，即z2≤45，解得-35≤z≤35.所以2x+y的最大值为35.

解法2：三角换元法.

令x=3cos θ，y=3sin θ，θ∈［0，2π］，

则2x+y=6cos θ+3sin θ=35sin（θ+φ），其中tan φ=2，故当sin（θ+φ）=1时，2x+y取最大值35.

以上两种解法是解决此类问题的常规思路，学生能够理解并掌握以上解法已经足够了，但为了拓展學生的数学思维，教师鼓励学生继续探究.

解法3：数形结合法.

令2x+y=z，作与直线l：2x+y=0平行的直线，若使目标函数z=2x+y取最值，则直线与圆x2+y2=9相切.于是可设与直线l平行的圆的切线方程为2x+y+C=0，则|2×0+0+C|22+12=3，得C=±35，所以2x+y的最大值为35.

当然还可以引导学生从目标函数的特点出发，联想数量积，通过构造向量求最值.令m=（2，1），n=（x，y），那么2x+y=m·n≤|m||n|=5×3=35.其实，应用构造向量法求函数最值，简洁巧妙，是一个非常好的解题方法.

这样，通过“多解”不仅优化了学生的解题方案，而且有效地沟通了各种数学知识，优化了学生认知结构；同时也开阔了学生的视野，培养了思维的灵活性，有助于分析和解决问题能力的提升.

2.4 注重解后反思

在日常教学中，教师需多鼓励并给学生一定的时间进行总结和反思，进而将解题方法、解题策略转化为解题经验，最终形成解题能力.同时，通过反思，将解一道题的经验推广至解一类题中，进而提升解题能力.

例3 已知函数f（x）=2x+1+1-x，求该函数的最大值.

解：函数f（x）的定义域为x-12≤x≤1，f′（x）=12x+1-121-x.

令f′（x）≥0，则-12≤x≤12，即函数f（x）在-12，12上单调递增.

令f′（x）≤0，则12≤x≤1，即f（x）在12，1上单调递减.

故f（x）的最大值为f12=322.

利用常规思路求解后，再鼓励学生对例3进行反思，重新观察函数的结构特点，发现除应用上面的求导思路外，还可以应用柯西不等式求解.对于一些基础较为薄弱的学生来说，应用导数法解决问题容易让学生出现畏难情绪，尤其例3求导后还需进行讨论，更容易造成思维障碍.为此，有必要带领学生进行反思，寻找另外一种解题方案.

由（ax+by）2≤（a2+b2）（x2+y2），得ax+by≤（a2+b2）（x2+y2），当且仅当ay=bx时等号成立.

于是有2x+1+1-x=2×x+12+1×1-x≤［（2）2+12］·x+12+（1-x）=322，当且仅当2×1-x=1×x+12，即x=12时等号成立.

在平时教学中，教师要鼓励学生经常“回头看”，对审题过程、解题方法进行再思考，这样不仅可以深化对知识的理解，有时还可以收获意外的惊喜.例如，对例3重新审题，发现其结构符合柯西不等式的求解条件，因而发现了另外的解题方法，优化了解题方案，提高了解题效率.

总之，学生解题能力的提升需要教师有目的、有计划、有针对性地进行培养，为此教师要充分发挥好其主导者的作用，有效引导和拓展，让学生的解题能力在观察、探究、反思中不断提升.