分数阶RLαCβ电路的多变量域综合方法研究

梁贵书,周安东

(华北电力大学 电气与电子工程学院,河北 保定 071003)

0 引 言

电气设备与器件的分数阶电路模型构建离不开电路综合理论。由于自然界中的材料固有的分数阶本质[1],电气设备与器件实际上也具有分数阶的特性。在电气与电子工程领域中,分数阶理论已经广泛应用于单相逆变器的分数阶建模[2]、分数阶控制[3-4]、分数阶混沌系统的研究[5]。分数阶电路综合即利用分数阶元件与传统整数阶元件构建电网络来实现分数阶策动点阻抗函数。其综合方法通常存在两种方式,一种是通过整数阶电路以逼近拟合的方式来实现分数阶电路,另一种是直接通过分数阶元件构建电路模型来实现。相比之下,后者得到的电路模型更为简洁,因此可有效降低元件的冗余度,且精确度更高更易于仿真分析。随着材料科学的发展与制造水平的提升,已经可制造出分数阶元件[6],因此可直接使用分数阶元件来实现分数阶电路。电路实现的关键环节就在于选择合适的电路综合方法,考虑到无源网络在仿真过程中的稳定性要优于有源网络,因此研究探索分数阶电网络的无源综合理论方法具有重要意义。

由于分数阶电路的策动点阻抗函数复杂度较高,国内外目前难以有一个通用的实现方法。文献[7-8]研究了由整数阶二端口RLC阻抗网络端接分数阶电容与分数阶电感元件来实现特殊的分数阶电路,但该方法对超过两个分数阶电抗元件的情形并不适用。基于双变量达林顿综合方法,文献[9]解决了分数阶双元次阻抗网络的综合问题,然而该综合方法的缺点是必须借助多口变压器,不利于分数阶电网络的建模与分析。文献[10]提出了一个三端口电阻网络端接两个分数阶电抗元件的的最少储能元件综合方法,但该方法可适用的范围太小。

目前,尚未见分数阶三种元件电路综合的相关报道。文章对分数阶RLαCβ三种元件电路的综合问题进行了探索。首先,基于特勒根能量函数的多变量域表达形式,推导出RLαCβ三种元件电路的Foster综合方法以及Cauer综合方法,其中,Foster综合方法是基于部分分式的展开的思想来实现电路,Cauer综合方法基于连分式的展开的思想来实现电路。进一步,给出了分数阶RLαCβ三种元件电路阻抗函数的一般表达形式,最后,以一个具体的实例计算与仿真,验证了文中电路综合方法。与以往综合方法相比较,所提出的综合方法不必使用多口变压器来实现电路,计算方法且较为简单实用,因此更有利于分数阶电路系统的建模与分析。

1 分数阶电抗元件

分数阶电抗元件主要是指分数阶电感与分数阶电容。分数阶电感的时域特性方程为[11]:

(1)

分数阶电感的电感值与阶次一般表示为(Lα,α),电感值单位为H/s1-α,其中,0≤α≤1。

分数阶电容的时域特性方程为[11]:

(2)

分数阶电容的电容值与阶次一般表示为(Cβ,β),电容值单位为F/s1-β。其中,0≤β≤1。对式(1)与式(2)取拉式变换,得到分数阶电感与分数阶电容的频域特性方程为:

U(s)=LαsαI(s)

(3)

(4)

图1给出了分数阶电感与分数阶电容的电路符号。其中u(t)表示分数阶电感或分数阶电容的端电压,i(t)表示流过分数阶电感或分数阶电容的电流。且u(t)与i(t)为关联参考方向。

图1 分数阶电抗元件的电路符号

2 分数阶RLαCβ电路多变量域综合

2.1 RLαCβ电路阻抗函数的多变量域Foster电路实现

包含RLαCβ三种元件的一般支路如图2所示。基于特勒根定理及其能量函数,得到图2所示的单端口策动点阻抗函数为:

图2 分数阶RLαCβ的一般支路

(5)

基于变量代换sα=p1,sβ=p2,式(5)变为:

(6)

进一步对式(6)整理得到:

(7)

根据式(6)与式(7)可知Rk=Rk1+Rk2,对于式(7),由于Rk,Lk,Ck均为实常数,令:

(8)

进一步,令:

(9)

将式(8)与式(9)带入式(7),从而可使得式(7)可简化整理为:

(10)

显然,在式(10)中,Z(q)是一个关于变量q的奇函数,其表达式为:

(11)

根据文献[12]的结论,具有式(11)形式的Z(q)为q域的电抗函数,其可写为式(12)所示的部分分式展开的形式为:

(12)

Z(q)可实现为梯形电抗网络,在式(12)中:k∞,k0是q平面上Z(q)在无穷远与原点处的留数;ki表示q平面Z(q)在虚轴上极点留数之和,k∞,k0,ki均为非负实数。根据式(8)～式(12),得到RLαCβ三种元件电路分数阶阻抗函数多变量域的展开式为:

(13)

在式(13)中,k∞,k0,ki为:

(14)

显然,根据式(13)可知,第一项可以实现为电感串联电阻的形式,第二项可以实现为电容串联电阻的形式,剩余的其他项可以实现为电感串联电阻之后整体并联电容串联电阻的形式,之后将每一项所实现的部分依次串联起来,最终整体阻抗函数所实现的Foster形式的电路如图3所示。

图3 RLαCβ阻抗函数的Foster电路

此外,可以完全对偶地推出RLαCβ电路的导纳函数多变量域部分分式展开式为:

(15)

2.2 RLαCβ电路阻抗函数多变量域Cauer梯形实现

RLαCβ电路多变量域阻抗函数为Z(p1,p2),假定其在p1→∞处有一极点,则可以得到:

Z(p1,p2)=k∞1(p1+a)+Z2(p1,p2)=k∞1(p1+a)+

(16)

移去Z(p1,p2)在p1→∞处的极点,根据式(16)可知,k∞1(p1+a)可以实现为电感k∞1p1串联电阻k∞1a的串联支路形式,且余函数Z2(p1,p2)仍然为RLαCβ电路的阻抗函数,进一步,根据式(13)可知,Z2(p1,p2)在p2=-b-1处,有:

(17)

根据式(17)可知Z2(p1,p2)在p2=-b-1处有一零点,所以Y2(p1,p2)在p2=-b-1处有一极点,根据式(15),得到:

(18)

(19)

(20)

重复进行式(16)～式(20)的极点提取过程,每提取一次p1→∞处的极点便得到一个电感串电阻的串联支路,每提取一次p2=-b-1处的极点一个电容串电阻的并联支路,最终阻抗函数Z(p1,p2)的Cauer梯形电路的实现如图4所示。

图4 RLαCβ阻抗函数的Cauer电路

需要说明的是,以上推导过程首先假定在p1→∞处为阻抗函数Z(p1,p2)的极点,若在p1→∞时,RLαCβ阻抗函数Z(p1,p2)→0,此时首先对Y(p1,p2)进行极点的移出,其电路实现步骤与式(16)～式(20)的过程是完全相同的。

根据式(16)～式(20),我们可以得到图4所对应的阻抗函数Z(p1,p2)的连分展开式为:

Z(p1,p2)=k∞1(p1+a)+

(21)

2.3 分数阶RLαCβ电路阻抗函数s域一般表达式

根据式(12),Z(q)为q域的电抗函数,所以Z(q)为奇函数,分两种情况讨论并最终得到分数阶RLαCβ阻抗函数s域的一般表达形式:

(1)当Z(q)在原点处有零点时,由于q域网络仅由电感和电容组成,所以,Z(q)可表示为[12]:

(22)

式中ci,di(i=0,1,2,…),k均为正实数,且要求有[12]di

Z(s)=(sα+a)·

(23)

式中A0,…,AM,B0,…,BN>0。

(2)当Z(q)在原点处有极点时,由于q域网络仅由电感和电容组成,所以,Z(q)可表示为[12]:

(24)

式中c′i,d′i(i=0,1,2,…),k均为正实数,且要求有[12]c′i

(25)

同理可知,A0,…,AM,B0,…,BN>0。

综上所述,分数阶RLαCβ电路的阻抗函数s域表达形式必然为式(23)或式(25)的形式。

3 算例验证与仿真

如式(24)所示的分数阶s域的阻抗函数:

(26)

对式(26)重新整理,得到:

(27)

将式(27)与式(25)对比可知,二者形式一致。因此式(27)一定可以实现为图3与图4所示的RLαCβ电路。对式(26)变量代换s0.1=p1,s0.2=p2,进而得到式(26)的多变量域表达形式为:

(28)

(1)Foster电路实现

根据式(13)与式(14)得到式(28)的部分分式展开式为:

(29)

根据式(29),得到其Foster电路如图5所示。

图5 阻抗函数的Foster电路

(2)Cauer电路实现

根据式(16)～式(20)的过程,移去式(28)在p1→∞处与p2=-1处的极点,得到式(28)的连分式展开:

(30)

根据式(30),得到其Cauer电路如图6所示。

图6 阻抗函数的Cauer电路

为验证图5与图6所得到的分数阶电路的正确性,我们进行频域仿真验证,将图7所示的正弦稳态电压激励与阶跃暂态电压激励应用于式(26)的分数阶阻抗函数与图5与图6的分数阶阻抗网络,进行数学计算与电路仿真两方面的互相印证,从而得到图8所示的端口电流响应。其中,数学计算是基于端口阻抗频域表达式U(s)=Z(s)·I(s),计算稳态与暂态电压激励下的电流响应,之后通过快速傅里叶变换得到端口电流时域响应曲线;电路计算是通过借助分数阶电抗元件的分数阶微积分定义以及L1插值法得到分数阶电抗元件的离散化模型,进一步,通过改进节点法编写程序软件对得到的分数阶电路进行离散仿真。由图8可知,其电路仿真曲线与数学计算曲线是相吻合的,因此图5与图6所得到的分数阶电路实现是正确的。

图7 电压激励

图8 电流响应

与传统综合方法相比,文中所提出的分数阶电路综合方法有以下显著的特点与优势:

(1)与传统的双变量达林顿电路综合法相比,文中所提出的电路综合方法大大降低了计算量与计算难度。传统双变量达林顿综合法必须借助双变量矩阵的谱分解理论来实现电路,计算难度较高,因此不利于计算机的编程分析;

(2)与传统的基于阻抗换标思想的电路综合方法相比,文中所提出的综合方法适用于分数阶RLαCβ三种元件电路,因此具有更广的适用范围;

(3)在电路结构的实现方面,传统的分数阶电路综合方法必须使用多口变压器来实现电路,得到的电路模型复杂度较高,因此不利于对电气设备的分数阶电路模型进行仿真分析。文中所提出的综合方法克服了这一缺点。

4 结束语

基于特勒根定理与RLαCβ单端口网络的能量函数,推导出了分数阶RLαCβ阻抗函数的部分分式展开形式的Foster电路综合方法,以及连分式展开形式的Cauer电路综合方法。通过具体算例的计算与仿真,验证了所提出的电路综合方法。文中提出的综合方法计算方法简单且实用性更强,更有利于分数阶电路系统的建模与分析,同时进一步完善了分数阶电路综合的理论体系。