鸽巢问题的典型例题

刘玲

鸽巢原理又叫抽屉原理。

抽屉原理一：如果将n+1（n≥1）个物体任意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有两个或两个以上的物体。如，将5个苹果任意放进4个抽屉里，那么至少有一个抽屉里要放2个苹果。

抽屉原理二：如果将多于m×n个物体任意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有m+1个物体或更多的物体。如，将17朵鲜花插进3只花瓶，那么至少有一只花瓶中插有6朵或更多的鲜花。

【例1】幼儿园买来了很多小白兔、长颈鹿和小熊玩具，如果每个小朋友从中任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？

【分析与解】解问题的关键是确定物体和抽屉。这里应该把选择的两件玩具作为一个抽屉，而在玩具中挑选两件，所有的选择有如下几种情况：（兔，兔），（兔，鹿），（兔，熊），（鹿，鹿），（鹿，熊），（熊，熊），把每一种选择方式看作一个抽屉，共有6个抽屉，而将幼儿园的小朋友看作物体，如此问题可转化为把若干个物体放进6个抽屉中去。根据抽屉原理一，要保证至少有两人取得的玩具相同，就至少要有7个小朋友。

解：6+1=7

答：至少要有7个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同。

【例2】六（1）班一共有21个同学参加体育活动，有打篮球、跳绳、踢毽子和打羽毛球4个活动项目。如果每个同学都参加活动，那么至少有多少个同学参加同一个活动项目？

【分析与解】这是一个“抽屉问题”，也称为“鸽巢问题”。如果把打篮球、跳绳、踢毽子和打羽毛球看作4个抽屉，再把21个同学看作21个物体，又因为21=5×4+1，且由抽屉原理可知，至少有5+1=6（个）同学参加同一个活动项目。

解：21=5×4+1

5+1=6（个）

答：至少有6个同学参加同一个活动项目。

【例3】学校食堂中午有5种不同的菜和4种不同的汤，每人只能打一种菜和一种汤。六年级有165人在学校吃饭，他们中至少有多少人买的菜和汤是完全一样的？

【分析与解】在5种不同的菜和4种不同的汤中，买一种菜和一种汤，共有5×4=20（种）不同的买法。我们把20种不同的买法看成20个鸽巢，把六年级在校吃饭的165个人的买法看成是165个物体。

165÷20=8……5，因为165=8×20+5，由抽屉原理可知，至少有8+1=9（个）人买的菜和汤一样。

解：165=8×20+5

8+1=9（个）

答：他们中至少有9个人买的菜和湯是完全一样的。