数学眼光视角下一类大小比较问题的解析

广东省佛山市三水区实验中学(528100)李安

近年高考全国卷命制了一类形态奇异的数式大小比较试题,多数考生觉得数式怪异、无从下手,有种“只可远观而不可亵玩焉”的感觉.考生失败的核心原因是他们缺少一种数学眼光.

“数学眼光,就是观察数学世界和真实世界的一种意识,是在思考问题时数学方面的自觉意识、关注和思维习惯.它包括:数学科学视角下精确的眼光、严谨的眼光、简洁的眼光; 概括的眼光、统一的眼光; 数学化视角下理想化的眼光(将实体简化假设为几何模式或代数模式.比如,一个真实世界中的哥尼斯堡七桥问题被理想化为平面上的一笔画问题.)、共性化的眼光(对共同属性的敏感、直觉和发现,通俗地说,就是“事不过三”的意识.比如小学生观察纯数学世界中自然数的加法、偶数的分拆而发现加法交换律、哥德巴赫猜想).”[1]此类比大小的高考题,本质上考查的就是数学共性化的眼光.

下面,我们以2022年新高考Ⅰ卷第7 题为例,来分析、反思这一类大小比较问题的解法.

1.试题呈现

题目1(2022年高考数学新高考卷Ⅰ第7 题)设则( )

A.a

分析本题是数式大小比较问题,基于观察、分析数式结构特征进行转化与化归、构建函数模型,利用导数研究函数的单调性,再通过赋值比较大小.主要考查数学化、数学推理、数学运算、数学眼光、数学化归思想等核心素养.

2.试题解析

解法1将“0.1”作为共性“元”建立函数模型.因为所以比较a与b的大小:因为a >0,b >0,所以设f(x)=(1- x)ex,x ∈(0,1).f＇(x)=-xex,因为x ∈(0,1),所以f＇(x)<0,所以f(x)在(0,1)内单调递减,所以f(x)< f(0)=1,即所以a < b.比较a与c的大小:设g(x)=xex+ln(1-x),x ∈(0,1).g＇(x)=令h(x)=(x2-1)ex+1,h＇(x)=(x2+2x-1)ex=[(x+1)2-2]ex,当00,所以g(x)在(0,0.2)内单调递增,所以g(x)> g(0)=0,即a > c.综上述得c < a < b,故选C.

解法2将“0.9”作为共性“元”建立函数模型.因为所以比

较a与b的大小:因为a >0,b >0,所以设f(x)=xe1-x,x ∈(0,1).f＇(x)=(1- x)e1-x,因为x ∈(0,1),所以f＇(x)>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)< f(1)=1,即所以a < b.比较a与c的大小:设g(x)=(1- x)e1-x+ lnx,x ∈令h(x)=(x2-2x)e1-x+1,h＇(x)=-(x2-4x+2)e1-x=[-(x-2)2+2]e1-x,当0.80,所以h(x)在(0.8,1)内单调递增,所以h(x)< h(1)=0,则g＇(x)<0,所以g(x)在(0.8,1)内单调递减,所以g(x)> g(1)=0,即a>c.综上述得c

解法3比较a与b的大小:要比较的大小,只需要比较e-0.1与(1-0.1)的大小.将-0.1 换成x,设f(x)=ex -(1+x),x ∈(-1,0),f＇(x)=ex -1,当x ∈(-1,0)时,ex <1,所以x ∈(-1,0)时,f＇(x)<0,所以f(x)在(-1,0)单调递减,所以f(x)> f(0)=0,即ex >1+x,所以e-0.1>1-0.1,所以,即a

比较a与c的大小:由ex >1+x得0.1e0.1>0.1(1+0.1)=0.11,即a >0.11; 设x ∈(1,+∞),则g(x)在(1,+∞)单调递减,所以g(x)c.综上述得c

评析上述解法都是基于观察、分析问题情境中的数式结构特征,基于共性化眼光建立相应的函数模型,利用导数研究函数的单调性获得大小关系.对于这三个数,它们的结构各异,内含的“数字”不同,但仔细观察会发现这三个数字之间有着密切关联.譬如:以“0.1”为共性元,则也就是上述解法1 构建函数模型的着力点; 又如:以“0.9”为共性元,则也就是上述解法2 构建函数模型的依据.聚焦于数学化归思想,考查学生从纯数学世界中简化出数学模型的能力,将不动的数字0.1 或0.9 赋予动态的变量x,函数模型自然显性出来.解法1 和解法2 在比较a与b的大小时,都采用了“商比较法”,这也是在进行大小比较时要甄别的地方.解法3 是通过对数式的变形,建构常见函数型不等式进而比较简便获取结果.上述三种解法都没有进行b与c的大小比较而选出了正确答案,这是命题者对选项的一种设计.事实上,b与c的大小比较可建构函数模型f(x)=(x-1)-lnx,x ∈(1,+∞),当x ∈(1,+∞),f＇(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)> f(1)=0,即x-1>lnx.因为故b>c.

3.考题链接

题目2(2022年高考数学全国甲卷理科第12 题)已知则( )

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

分析a,b,c是三个结构看似单一的数式,但三者之间无明显的大小之分,a与b、a与c的数式结构特征差异显著,仔细分析问题情境中数字特征,这三个数式中b,c都含数字,考虑以作为共性元去探索数学模型,事实上.将换成x,则即可建立数学模型其中x ∈(0,1).应用导数研究上述函数的性质可得:x ∈(0,1)时,即a

4.教学反思

4.1 把握数学本质,创设适切的教学情境培养学生的问题解决能力

情境是实现“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”综合考查的载体,教学中要把握内容的数学本质,创设适切的教学情境引发学生认知冲突,激发学生主动探究和积极思维.这类数式大小比较问题情境一般隐蔽、开放,教学中要引导学生通过观察、分析、识辨,发现问题情境中各数式中内含的数字规律,据此选取合适的参数,建立函数模型来描述相应问题情境的数学模式.培养学生用数学眼光观察现实世界和数学世界,从中简化出数学模型,利用数学方法求解模型的问题解决能力.

4.2 于问题解决中发展核心素养,培养思维品质和关键能力

数学推理和数学运算是求解数学模型的关键.其中导数作为研究上述函数模型的必备工具,其应用的准确度、熟练度和高度直接关系到模型的求解.在问题求解实践中我们发现,有些函数模型需要进行“二次”甚至“三次”求导才能达到目的,有些函数模型应用导数求解,其运算、推理很复杂甚至受阻,这就需要改进、优化所建立的函数模型.同时,考生要在考场有限的时间对此类大小比较问题进行推理、判断确有挑战性,加之该试题又是以选择题出现,因此,教学中要培养学生基于问题情境的分析、判断能力,引导学生“储备”一些常见函数型不等式模型,建构必备知识体系.如切线型不等式:ex≥x+1(x=0 时取等号),lnx≥x-1(x=1 时取等号); 自然对数型不等式:在问题解决中发展数学核心素养,培养学生的思维品质和关键能力.

4.3 拓展学生的认知视野,践行数学的育人功能

在教学中若能引导学生拓展认知视野,适切地获取一些高等数学的工具性知识,在高观点视角下剖析初等数学问题,能拓宽学生知识的广度、培养学生思维的深度、点燃学生求知的激情、丰富学生的数学文化.上述呈现的高考题应用泰勒公式解答尤为简便(此处不再赘述应用泰勒公式解答的过程).其实,泰勒公式在人教A 版(2019年)普通高中教科书《数学》必修第一册第256 页第26 题已有这样的表述:“英国数学家泰勒发现了如下公式:①②其中n!=1×2×3× ··· × n.这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可确保显示值的精确性.比如用前三项计算cos 0.3,获得0.9553375,试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较.”教材编入这一习题是一个“引子”,一方面引发学生的好奇心、求知欲,进一步去追寻泰勒公式:③④⑥有了这些公式,此类数式大小比较问题的解答就成了“妙手”;另一方面,学生可以自主探究有关泰勒公式的相关知识体系,比如微积分、中值定理等,自然地把学生带入了数学的新天地.