一种基于GO法的多态反馈系统选择性维修模型

温 轶 群, 段 富 海

(大连理工大学 机械工程学院,辽宁 大连 116024 )

0 引 言

现代战争是时间的战争,飞机作为快速夺取制空权、建立有利战场态势的最佳手段,其作用不言而喻.战场环境分秒必争,为使飞机能够在最短时间实现再次出动,需要对飞机进行选择性维修.如何在最短时间对飞机进行选择性维修,同时保证装备具有较高的可靠性,并确保维修费用在合理的范围内,是值得探讨的热门问题.

选择性维修决策主要是对维修对象和维修行为进行优化选择,根据不同的任务需求,建立相应的选择性维修模型.Rice等[1]于1998年第一次提出选择性维修的概念,在考虑时间、费用、人员和备件等有限维修资源的约束下,根据任务需求,确定目标函数,从而建立选择性维修模型进行优化求解.自选择性维修概念提出以来,国内外许多学者对其展开了深入的研究.Bris等[2]以费用最小化为目标函数,将系统可靠度控制在阈值之内,建立选择性维修模型;Laggoune等[3]和Wang等[4]根据Bris等建立的选择性维修模型,采用不同求解算法进行优化;曹文斌等[5]假设部件维修后,其状态分布服从马尔可夫模型得出状态转移函数,并根据不同的任务需求,考虑维修费用、时间和系统可靠度等因素,建立相应的选择性维修模型;进一步地,曹文斌等[6]考虑多态反馈系统存在的共因失效问题,提出了一种模糊多态反馈系统选择性维修模型;王少华等[7]考虑在有限任务间隔时间的约束条件下,以最小维修、预防更换和事后更换为维修方案,以任务可靠度为目标函数,建立复杂串并联系统的选择性维修模型;陈兆芳等[8]考虑电梯系统可靠度、有效役龄以及维修费用和时间等因素,建立选择性维修模型,并运用粒子群优化算法进行优化求解;Pandey等[9]考虑役龄回退因子对元件役龄的影响,建立了以系统可靠度为目标函数、以维修费用和时间为约束条件的选择性维修模型;史海庆等[10]利用贝叶斯公式求出飞机处于各役龄完成下次任务的概率,构建未知役龄军用飞机的选择性维修模型,并利用遗传算法进行优化求解;王海朋等[11]考虑多维修人员对复杂系统进行不完全维修,建立选择性维修模型,并用粒子群优化算法进行求解.上述研究均取得了较好的成果,但在系统可靠度的研究上还需优化,且大多数文献采用可靠性框图法对串并联系统进行建模,未考虑反馈回路对系统可靠度的影响.

本文假设多态反馈系统各元件失效概率与时间的关系均服从韦布尔分布,以某一阈值为失效临界点,将元件正常状态的时间段按照元件的kij+1种性能状态等分为kij个时间段,并取时间段中可靠度的上界作为元件在某一状态的可靠度,运用GO法分析整个系统正常运行的可靠度;根据不同的维修行为推导得出各种维修方案所需的维修费用和时间;以时间最小化为目标函数,以维修后系统可靠度和维修费用为约束条件,建立选择性维修模型;最后采用粒子群优化算法对构造的选择性维修模型进行求解.

1 问题描述

1.1 假设分析

假设多态反馈系统由M个相互独立的子系统组成(M=1,2,…,m),每个子系统由N个相互独立的元件组成(N=1,2,…,n).元件Eij有kij+1种性能状态,其所处各性能状态可表示为gij={0,1,…,kij},其中0表示元件处于故障状态;1表示元件处于到达额定使用寿命的临界状态;2,…,kij-1表示故障与完好之间的多中间状态;kij表示完好状态.元件Eij处于各性能状态的可靠度可表示为rij={rij(0),rij(1),…,rij(kij)}.

假设系统所有元件在其全寿命周期中,其失效概率与时间t的关系均服从韦布尔分布,则元件Eij在时间t的可靠度rij可表示为

rij(t)=exp[-(t/ηij)βij]

(1)

其中ηij和βij分别表示元件Eij服从韦布尔分布的尺度参数和形状参数.

元件在服役过程中,其性能状态随着时间不断退化,可靠度不断下降.当元件Eij处于故障状态或可靠度下降至阈值ω0(即元件到达额定使用寿命)时,为保证整个系统正常运行,并处于较高的可靠性水平,根据工程实际,需要对元件Eij进行更换.

由于元件在不同时间处于不同的性能状态,将元件Eij在可靠度下降至阈值ω0前的时间长度L(t)离散化,根据元件Eij的kij+1种性能状态,将L(t)等分为kij个时间段,每个时间段长度为L(t)/kij,取每个时间段可靠度的上界作为该状态的可靠度[10].元件各性能状态对应的韦布尔分布图如图1所示.

图1 元件各性能状态对应的韦布尔分布图

韦布尔分布中,t=L(t)(kij-gij)/kij,代入式(1),可得元件Eij处于全部kij种性能状态(即gij={1,2,…,kij})时所对应的可靠度:

rij(gij)=exp[(-L(t)(kij-gij)/kijηij)βij]

(2)

1.2 系统可靠性分析

系统可靠性分析方法主要有可靠性框图法、故障树法、GO法等[12],其中故障树法使用时间最长,发展也相对完善,但其对复杂系统的分析有较多的难点,特别是对多状态、有时序、有信号反馈等复杂系统的可靠性分析尤其困难,而GO法却能有效解决以上问题.

GO法是一种有效的多态复杂系统可靠性分析方法,首先,根据系统各元件特点匹配相应的操作符,然后分析系统结构和工作原理,构建系统GO图;其次,基于其操作符相关运算规则,遵循特定的信号流序列,对每个操作符逐步进行运算,完成系统各状态的概率计算;最后,可获得系统成功运行的精确概率[13].

2 维修行为、费用和时间

为方便研究的开展,这里作以下假设:

(1)维修行为只发生在任务间隔期,任务过程中不进行维修;

(2)系统各元件的可靠性均服从韦布尔分布;

(3)系统在任务结束时,各元件的性能状态已知;

(4)各元件的维修行为可以使元件的性能状态修复至更好状态;

(5)仅考虑维修行为所需的费用和时间这两类维修资源,人员、备件等其他资源充足.

2.1 维修行为

已知任务结束时,元件Eij性能状态为Xij,若对元件Eij进行维修,维修行为记作lXij,Yij,维修后元件Eij的性能状态为Yij,维修所需的费用和时间分别记作cXij,Yij、tXij,Yij.Xij∈{0,1,…,kij},Yij∈{2,3,…,kij},且Yij≥Xij.

当Xij∈{0,1}时,为节省维修时间并确保系统处于较高的可靠度,需要对元件Eij进行更换,这样更符合工程实际,且更换后Yij=kij,其维修行为对应的性能状态转移图如图2所示.

图2 更换维修行为对应的性能状态转移图

当Xij∈{2,3,…,kij}时,可选择不修、更换、不完美维修等维修方案,各维修行为对应的性能状态转移图如图3所示.

图3 各维修行为对应的性能状态转移图

当Yij=Xij时,表示不对元件Eij进行维修;当Yij=kij时,表示对元件Eij进行更换;当Yij>Xij时,表示对元件Eij进行不完美维修.

2.2 维修费用和时间

元件Eij维修前的性能状态为Xij,维修后的性能状态为Yij,对于维修方案lXij,Yij,若Yij越大,则表示维修的水平越高,消耗的费用越多.

当Xij∈{0,1}时,Yij=kij,需要对元件Eij进行更换,则维修费用的表达式为

(3)

当Xij∈{2,3,…,kij-1}时,若Yij=Xij,表示不对元件Eij进行维修;若Yij>Xij,表示对元件Eij进行不完美维修;若Yij=kij,表示对元件Eij进行更换.相应的维修费用表达式为

(4)

当Xij=kij时,Yij=kij,表示不对元件Eij进行维修,则维修费用的表达式为

cXij,Yij=0

(5)

系统总维修费用为

(6)

同理,当Xij∈{0,1}时,对元件Eij进行更换,维修消耗的时间只有拆装元件等固定时间,则维修时间的表达式为

(7)

当Xij∈{2,3,…,kij-1}时,元件Eij的维修方案为不修、不完美维修、更换,维修时间的表达式为

(8)

当Xij=kij时,Yij=kij,表示不对元件Eij进行维修,则维修时间的表达式为

tXij,Yij=0

(9)

假设人员充足,维修设备状态良好,所有元件同时进行维修,则系统总维修时间Ts为系统各元件维修时间中的最大值:

Ts=max(tXij,Yij)

(10)

3 多态反馈系统选择性维修模型

3.1 选择性维修模型

在有限维修资源条件下,如何提高飞机的可用性,让其能够在最短时间实现再次出动,占据战场优势,对战争的发展尤为重要.

本文以维修时间最小化为目标函数,考虑不同维修行为对系统各元件性能状态的影响,以系统成功运行的可靠度和维修费用为约束条件,建立选择性维修模型.

目标函数:

minTs=min(max(tXij,Yij))

(11)

约束条件:

Cs≤C0

(12)

Ps≥ωs

(13)

目标函数(11)表示系统维修时间最小化;约束条件(12)表示系统总维修费用小于或等于预算费用;约束条件(13)表示维修后系统的可靠度大于或等于系统正常运行的最低要求.

3.2 选择性维修决策优化

针对3.1节建立的优化模型,当元件的性能状态较少时,可以采用枚举法等进行优化求解,但随着元件性能状态的增加,解空间出现空间爆炸,求解难度过大[14].粒子群优化算法是模拟鸟群捕食行为特点,对当前搜索的最优解进行迭代,从而寻找全局最优解的智能算法,具有操作简捷、收敛速度快等特点[15],因此本文采用粒子群优化算法进行求解.

3.2.1 粒子群优化算法 多态反馈系统选择性维修决策问题用粒子群优化算法可以描述如下:假设一个D维空间由粒子容量为N的种群Y组成,Y=(Y1…Yz…YN),粒子Yz可表示为D维向量Yz=(Yz1…Yzd…YzD),Yz代表系统的一个潜在维修方案,同时也是所求模型的一个潜在解,其中Yzd代表系统某一元件进行选择性维修后的性能状态,Yzd越大,代表维修的水平越高,且2≤Yzd≤kij.每个Yz都对应一个与模型相关的适应度函数值.粒子通过有限次的迭代寻找最优解,在每次迭代中,粒子通过跟踪其历史个体极值Pz(w)和所经历的适应值最好位置Pg(w)更新自己,最终收敛于全局的最优位置.其中,Pz(w)=(Pz1(w)…Pzd(w)…PzD(w)),Pg(w)=(Pg1(w) …Pgd(w) …PgD(w)),Pg(w)即为系统选择性维修模型的最优方案.在第w次迭代时,各粒子的位置可以表示为Pz(w)=(Pz1(w)…Pzd(w)…PzD(w)),Pzd(w)∈[2,kij];各粒子的运动速度可以表示为vz(w)=(vz1(w) …vzd(w) …vzD(w)),其中vzd(w)∈[vmin,vmax];在找到Pz和Pg前,粒子根据式(14)、(15)更新自己的速度和位置:

vzd(w+1)=vzd(w)+c1r1(Pzd(w)-Yzd(w))+

c2r2(Pgd(w)-Yzd(w))

(14)

Pzd(w+1)=Pzd(w)+vzd(w+1)

(15)

式中:w为迭代步数,c1、c2为学习因子,r1、r2为[0,1]内的随机数.

3.2.2 算法流程 算法流程步骤如下:

步骤1初始化粒子种群,设定种群规模为N、迭代步数为w,学习因子为c1、c2;设置各项参数,包括元件数量和维修前各元件的性能状态.

步骤2计算各粒子的适应度函数值.

步骤3更新粒子的速度和位置,找到对应各元件的性能状态Yzd,计算系统成功运行的可靠度Ps,得出各元件实施以上维修方案所需维修费用矩阵为(c11c12…c1nc21c22…cij…cmn),其中cij为元件Eij的维修费用,由式(6)计算出系统总维修费用Cs.

步骤4判断进化后的粒子是否满足约束条件.若满足,则更新粒子的性能状态,重新计算进化后粒子的适应度函数值,执行步骤5;若不满足,则转至步骤3.

步骤5更新粒子的历史个体极值和所经历的适应值最好位置.

步骤6更新粒子群的历史个体极值和所经历的适应值最好位置.

步骤7判断是否满足终止条件:若迭代步数小于w,则转至步骤3;否则输出最优的决策方案.

4 案例分析

某舰载机折叠翼控制系统原理图[16]如图4所示.假设系统各元件的失效概率与时间的关系均服从韦布尔分布,根据式(2)及各元件服从韦布尔分布的尺度参数和形状参数,可计算出各元件在不同性能状态下的可靠度,见表1.

表1 各元件性能状态及可靠度

图4 舰载机折叠翼控制系统原理图

根据GO法原理,结合17类操作符特点,按照信号流的序列,构建系统GO图,如图5所示,其中图形内前后的数字分别表示操作符类型和编号,箭头表示信号的流向,箭头上的数字表示信号流的序号.各操作符所代表的操作符编号和类型等见表2.

表2 舰载机折叠翼控制系统操作符数据

图5 舰载机折叠翼控制系统GO图

图5中,信号流10为反馈信号,假设各元件的布尔变量为Ci,信号流的布尔变量为Si,则关键信号流对应的布尔方程如下:

(1)信号流2

S2=1-(1-C1)(1-S10C9)

(16)

(2)信号流4

S4=S2C2C3

(17)

(3)信号流10

S10=C4C5C6C7C8[1-(1-S4)(1-S10C10)]

(18)

将式(16)、(17)代入式(18)中,整理得

S10=S10{C4C5C6C7C8[C2C3(C9-C1C9-

C1C10-C9C10+C1C9C10)+C10]}+

C1C2C3C4C5C6C7C8

(19)

根据布尔方程X=μX+β,解得X=μ+β或X=β,可得

S10=C4C5C6C7C8[C2C3(C9-C1C9-

C1C10-C9C10+C1C9C10)+C10]+

C1C2C3C4C5C6C7C8

(20)

S′10=C1C2C3C4C5C6C7C8

(21)

因为系统的可靠性是指其成功运行概率的最大值[17],所以式(20)满足条件,换算成相应的概率为

PS10=PC4PC5PC6PC7PC8[PC2PC3(PC9-

PC1PC9-PC1PC10-PC9PC10+

PC1PC9PC10)+PC10]+

PC1PC2PC3PC4PC5PC6PC7PC8

(22)

若不考虑反馈回路,直接断开反馈回路进行定量计算,则关键信号流的计算过程如下:

(1)信号流2

PS2=1-(1-PC1)(1-PC9)

(23)

(2)信号流4

PS4=PS2PC2PC3

(24)

(3)信号流5

PS5=1-(1-PS4)(1-PC10)

(25)

(4)信号流10

PS10=PS5PC4PC5PC6PC7PC8

(26)

将式(23)～(25)代入式(26)中,整理得

PS10=PC2PC3(PC1+PC9-PC1PC9)(1-PC10)+PC10

(27)

假设该系统完成上一任务后,各元件的性能状态已知,各元件可靠度阈值ω0=0.65,系统可靠度阈值ωs=0.89,系统维修费用的约束值C0=6.5×105元.完成上一任务后,系统各元件的性能状态及对应的可靠度见表3.

表3 完成上一任务后,各元件性能状态及可靠度

将表3数据代入式(22)中,得出上一任务完成后,系统正常运行的可靠度Ps=0.434 612,低于系统可靠度阈值ωs=0.89,影响下一任务的正常实施,所以需要对系统进行选择性维修.

表4 各元件维修参数

分别以式(22)、(27)作为可靠度约束条件,将表4数据代入建立的选择性维修模型(11)～(13),运用粒子群优化算法进行求解,结果见表5.

表5 选择性维修方案

由表5可知,当考虑反馈时,系统总维修费用为6.3×105元,总维修时间为5 h,维修后的可靠度为0.900 572;不考虑反馈时,系统总维修费用为3.36×105元,总维修时间为1.5 h,维修后的可靠度为0.995 154.将考虑反馈与不考虑反馈所得结果进行对比,误差较大.当系统的逻辑连接关系改变后,系统的可靠性分析结果也会有一定误差,同时也验证了直接断开反馈回路降低了系统可靠性分析的可信度,从而验证了本文考虑系统反馈回路建立的选择性维修模型及优化算法可信度更高.

5 结 论

(1)本文提出一种针对多态反馈系统的选择性维修模型,根据元件可靠度随服役时间的变化,以某一可靠度阈值为有效临界点,将阈值范围内的时间长度进行等分,对应不同的性能状态.对不同的性能状态考虑不修、更换和不完美维修等维修方案,更加符合工程实际.

(2)相比于可靠性框图法,运用GO法对系统可靠性进行分析,不仅可以有效解决反馈回路对系统可靠性的影响,而且对于多状态、有时序复杂系统的可靠性评估更加准确有效.

(3)以某舰载机折叠翼控制系统为例,验证了所提模型和优化算法切实有效可行,能够为多态反馈系统提供一种行之有效的选择性维修决策方案.