柔性空间机器人快速终端滑模容错抑振控制

雷荣华，付晓东，陈 力

（1.湖南工商大学 计算机学院，长沙 410205；2.清华大学 航天航空学院，北京 100084；3.福州大学 机械工程及自动化学院，福州 350116）

空间机器人是一类辅助航天员执行在轨任务的特种机器人，它在航天器捕获、太空资源开发、月球通讯基地建设等方面发挥着至关重要的作用[1-3]。随着深空探测进程的不断推进，传统的刚性空间机器人难以满足日益复杂的空间任务的需求，而柔性空间机器人在操作精细度和柔顺度等方面均表现出更优越的性能。为了缓冲捕获阶段空间机械臂与中心载体之间的力学冲击，位于二者连接处的基座被设计成具有一定伸缩功能的弹性结构，因而具有柔性；同时，为了增大空间机械臂的作业范围，其臂杆被设计为细长结构并采用轻质的合金材料制造，故其灵活性较高并具有柔性梁的结构特征。然而，高真空环境下空气稀薄，空间机器人柔性结构的振动难以衰减，从而导致系统操控稳定性的下降[4]。值得注意的是，空间机器人长时间工作在大温差、强辐射的恶劣环境中，其执行机构极易发生故障，这些故障轻则影响系统的飞控性能，重则导致系统的失联或解体，造成无法挽回的巨大经济损失。由此可知，空间机器人执行机构的操控性能直接关系航天任务成败[5,6]。

此外，受航天任务操作窗口时间限制，空间机器人需要在有限时间内完成在轨任务。有限时间容错控制策略具有收敛时间短、鲁棒性强及追踪性能好等优点，而目前针对柔性空间机器人的容错控制策略均未考虑系统能否在有限时间内完成在轨操作任务，故其适应性存在一定不足。

近年来，部分学者在地面机器人容错控制领域取得一些研究成果。针对存在执行机构故障的移动机器人，文献[7]提出一种基于最小特征值的自适应容错控制方案，保证了轨迹跟踪误差的渐近收敛。对于存在执行机构故障的气动连续机械手，文献[8]制定了一种基于误差转换法的鲁棒容错控制策略，确保了闭环系统的全局稳定性。针对存在执行机构故障的PUMA560机械臂，文献[9]提出了一种基于二阶滑模故障观测器的固定时间鲁棒容错控制器。对于存在执行机构故障的不确定机器人系统，文献[10]引入了一种固定时间滑模自适应容错控制方法；而文献[11]使用径向基神经网络来补偿执行机构故障和模型不确定项，并设计了一种非奇异快速终端滑模容错控制算法。上述研究成果有效地解决了执行机构故障情况下地面机器人系统的跟踪控制问题，对于空间机器人的容错控制研究亦具有一定的借鉴意义。然而，这些方法的应用对象均为地面刚性机械臂。柔性空间机器人作为一类多模态、强耦合、强非线性的非完整动力学系统，要将上述方法推广至对此类系统的运动控制存在较大困难。

对于执行机构故障情况下柔性机械臂的容错控制，部分学者给出了可行的控制方案。针对存在执行机构故障和传感器故障的柔性单连杆机械手，文献[12]设计了一种基于状态观测器的有限时间H∞容错控制器。对于存在执行机构故障和外部扰动的柔性机械臂，文献[13]设计了一种基于干扰观测器的自适应容错控制律，保证了闭环系统的一致有界稳定。针对存在执行机构故障的柔性单连杆机械手，文献[14]提出了一种基于事件触发机制的自适应容错控制策略，实现对关节的转动控制和臂杆的振动抑制。对于存在执行机构故障的刚柔耦合机械臂，文献[15]引入了一种径向基神经网络鲁棒自适应容错控制方法，并抑制了柔性结构的非线性振动。针对存在执行机构故障的柔性空间机械臂，文献[16]设计了一种基于奇异摄动理论的自适应H∞容错抑振控制方案。对于具有柔性帆板和执行机构故障的空间机械臂，文献[17]提出了一种基于Jourdain 速度变分原理和单向递归构造理论的自适应滑模容错抑振控制器。以上研究工作对于丰富柔性空间机器人动力学建模与容错控制的基础理论具有重要意义。需要指出的是，这些研究仅围绕具有单一柔性结构的空间机器人展开，并且未考虑系统跟踪误差的收敛速度。

有鉴于此，针对基座与臂杆同时存在柔性且执行机构发生故障的自由漂浮空间机器人，本文研究了其动力学建模及有限时间容错抑振控制。基于等效力学模型，利用拉格朗日方程构建了柔性基、柔性臂空间机器人的动力学模型；基于双幂次非奇异快速终端滑模，为系统设计了有限时间容错控制器；在此基础上，引入混合轨迹对容错控制器进行修正，进而构造出基于虚拟控制力的有限时间容错抑振控制器，实现对系统载体姿态与关节轨迹的快速跟踪控制，以及基座与臂杆柔性振动的有效抑制。

1 系统动力学建模

将可伸缩变形的柔性基座等效为无质量线性弹簧，可得简化后的柔性基、柔性臂空间机器人系统结构如图1 所示。图中符号定义如下：B0表示系统载体平台，sB表示系统柔性基座，B1与B2分别表示系统的刚性臂杆与柔性臂杆。{OXY} 为系统惯性坐标系，{oi xi yi}(i=0,1,2)为分体Bi的局部坐标系，且其原点与旋转中心Oi重合；C0与C1分别为基座与刚性臂杆的质心，其在惯性坐标系中的位置矢量分别为r0与r1；P为柔性臂杆中的任意一点，其在惯性坐标系中的位置矢量为r2，v(,t) 表示柔性臂杆在P处的弯曲变形，为P在x2轴上的投影坐标；C为系统总质心，其在惯性坐标系中的位置矢量为rC；θ0表示载体姿态角，θi为臂杆Bi(i=1,2)的关节转角；xb为基座弹性位移；l0为旋转中心O0到弹性基座所在载体平面的垂直距离，l1与l2分别表示刚性臂杆与柔性臂杆的轴向长度；d1=l1/2为旋转中心O1与质心C1之间的轴向距离。

图1 柔性基、柔性臂空间机器人系统Fig.1 The flexible-base flexible-link space robot system

结合欧拉-伯努利梁理论和假设模态法，利用拉格朗日方程可推导出执行机构故障下柔性基、柔性臂空间机器人系统的动力学方程为：

2 非奇异快速终端滑模容错控制器设计

为了得到全驱动形式的刚性运动子系统模型，式(1)可改写成：

由于矩阵Dff可逆，从式(2)第二行中解算出f，并将其带入式(2)第一行，经整理可得：

假设2：混合故障项Fa(t)有界且满足||Fa(t)||≤lg，lg为正常数。

定义轨迹跟踪误差为e1=xd-x1和e2=d-x2，由式(4)可得空间机器人的刚性轨迹跟踪误差方程：

传统的终端滑模和快速终端滑模可分别用以下非线性方程描述[18,19]：

式(6)(7)中，α、β＞0，0＜γ＜1，i=1,2,3，sign(∙)为符号函数。

两者所对应的收敛时间分别为：

分别将式(6)(7)对时间t求导，可得：

为了解决传统终端滑模存在的系统跟踪误差收敛速度较慢及控制输入奇异问题，引入如下双幂次非奇异快速终端滑模[20]：

式(12)中，χ为3 维向量，α、β为正常数，γ＞λ，1＜λ＜2 。

由于λ-1＞γ-1＞0，基于式(12)所得滑模面si=0避免了在e1i＜0或e2i＜0情况下因系统误差产生复数解而导致的控制输入奇异。

将式(12)对时间t求导，可得：

定理1 对于柔性空间机器人刚性轨迹跟踪误差方程(5)，设计如下双幂次非奇异快速终端滑模容错控制器：

式中，η为正常数，

证明 选择如下Lyapunov 函数：

将式(14)带入式(5)的第二行，可得：

将式(15)对时间t求导，并结合式(12)(16)及假设2，得到：

(1)当si=0时，表明系统跟踪误差=[e1i,e2i]T已经在有限时间内到达滑模面si=0。

(2)当si＞0且e2i=0时，根据式(12)(17)，可分别得到e1i＞0和＜0。

(3)当si＜0且e2i=0时，根据式(12)(17)，可分别得到e1i＜0和＞0。

图2 为相平面上系统轨迹跟踪误差的收敛曲线。由图可知，情形(2)与(3)表示在相平面内存在无穷小标量εi＞0，使得当si＞0且e2i∊[-εi,εi]时，系统跟踪误差=[e1i,e2i]T将从e1i轴向相平面的第二象限移动。当si＜0且e2i∊[-εi,εi]时，系统跟踪误差=[e1i,e2i]T将从e1i轴向相平面的第四象限移动，并在有限时间内达到滑模面si=0。由此可知，相平面内任何位置所代表的系统跟踪误差状态都将在容错控制器（式(14)）的作用下在有限时间内到达滑模面si=0，且到达时间Tri满足[21]：

图2 相平面跟踪误差收敛曲线Fig.2 The convergence curve of the tracking error in the phase plane

式中，si(t0)为双幂次非奇异快速终端滑模（式(12)）的初始值。

当si=0时，由式(12)可求得系统跟踪误差收敛时间为：

3 基于虚拟控制力的非奇异快速终端滑模容错抑振控制器设计

以上设计的双幂次非奇异快速终端滑模容错控制器仅能保证柔性空间机器人系统轨迹跟踪误差的有限时间收敛，无法对基座及臂杆的柔性振动进行抑制。本节引入虚拟控制力，对原有的期望轨迹进行调整，生成能同时刻画柔性广义坐标qf和刚性轨迹跟踪误差e1的混合轨迹qh。在此基础上，采用上节设计的双幂次非奇异快速终端滑模容错控制器跟踪新的混合轨迹，则柔性结构的振动亦可得到相应的抑制。

定义空间机器人刚性运动子系统的虚拟误差为eh=qd-qh，据此进一步定义如下虚拟误差动力学方程：

式(20)中，F为虚拟控制力，a∊R3×3和b∊R3×3为正定对角矩阵。

定义混合误差er=qh-qr，据此设计如下基于虚拟控制力的双幂次有限时间容错抑振控制器。

将式(21)带入式(3)，可得空间机器人刚性运动子系统的混合误差动力学方程为：

将式(22)带入式(20)，可得空间机器人刚性运动子系统的跟踪误差动力学方程为：

由式(23)可求得刚性广义坐标的二阶导数为：

由式(2)可求得空间机器人的柔性振动子系统为：

将式(24)带入式(25)，可得：

结合式(23)(26)，可得如下状态方程：

显然，式(27)能同时刻画柔性广义坐标qf和载体姿态与臂杆关节的跟踪误差e1。

将非线性时变矩阵E视为干扰项，当E=0 时，可直接为状态方程(27)设计线性二次全局最优控制器。以柔性空间机器人系统的有限时间容错抑振控制为优化目标，构造如下性能指标函数：

式中，M∊R12×12与N∊R3×3依次为状态矩阵z和控制项F的加权矩阵。

根据线性最优控制理论，为了使得性能指标函数（式(28)）取得最小值，虚拟控制力F可设计为如下状态反馈形式：

式中，G为如下Ricatti 方程的正定解。

将式(29)带入式(27)，可得：

如果E=0，则状态反馈最优控制器（式(29)）可确保系统（式(27)）渐近稳定，将此最优控制器作用于式(20)，可以生成同时刻画柔性广义坐标qf和刚性轨迹跟踪误差e1的混合轨迹。如果E≠0，选择Lyapunov 函数V(z)=zTGz，有

则闭环系统（式(27)）依然稳定。

综上，采用基于虚拟控制力与双幂次非奇异快速终端滑模（Non-singular Fast Terminal Sliding Mode，NFTSM）的有限时间容错抑振控制器（式(21)）来跟踪混合轨迹，可保证载体姿态与臂杆关节的跟踪误差有限时间收敛，并实现对基座与臂杆柔性振动的主动抑制。基于虚拟控制力的控制系统结构如图3 所示。

图3 柔性空间机器人基于虚拟控制力的控制系统结构Fig.3 The control system structure of the space robot based on the virtual control force

4 仿真校验

为了验证所设计的有限时间容错抑振控制方法的有效性，对图1 所示柔性基、柔性臂空间机器人系统进行数值仿真。系统物理参数为：l0=1.5m，l1=1.5m，l2=1.5m，d1=0.75m，kb=500 N/m ；载体质量m0=40kg，刚性臂质量m1=3kg，柔性臂轴向线密度ρ=1.1kg/m，截面抗弯刚度EI=100 N∙m2；载体中心转动惯量J0=30kg∙m2，刚性臂中心转动惯量J1=3kg∙ m2。

柔性空间机器人的期望轨迹为：qd=[π/10,π/7,π/4]T(rad)；系统初始构型为：qr(0)=[0.1,0.5,0.9]T(rad)，(0)=[0,0,0]T(rad/s)。

基于虚拟控制力的有限时间容错抑振控制器（Fault-Tolerant Vibration-Suppression Controller,FTVSC）的控制参数为：α=0.5，β=0.8，γ=2，λ=1.5，lg=1，η=1，a=diag(4,4,4)，b=diag(4,4,4)，M 为12 阶单位矩阵，N 为3 阶单位矩阵。

对比算法选择为基于虚拟控制力的计算力矩抑振控制器（Computed-Torque Vibration-Suppression Controller,CTVSC），该方法保留了计算力矩控制器的基本特征，即无故障容错机制且无法实现跟踪误差的快速收敛，以便于与本文所设计控制方法进行对比。CTVSC 算法的数学表达式为[22]：

式中，kp∊R3×1与kd∊R3×1为正定对角矩阵。

CTVSC 算法的控制参数为kp=0.5，kv=0.6，a=diag(4,4,4)，b=diag(4,4,4)，M 为12 阶单位矩阵，N 为3 阶单位矩阵。

柔性空间机器人的执行机构分别在如表1 所示的三种不同模式下运行，两种控制方案的仿真结果如图4-9 所示。其中，图4 与图5 分别表示在FTVSC 方法和CTVSC 方法作用下柔性空间机器人的载体姿态与臂杆关节的轨迹跟踪曲线；图6 与图7 分别表示在FTVSC 方法和CTVSC 方法作用下基座的弹性位移曲线；图8 与图9 分别表示在FTVSC 方法和CTVSC 方法作用下柔性臂的模态坐标曲线。

表1 执行机构运行模式Tab.1 The operating mode of the actuator

图4 轨迹跟踪曲线(FTVSC 方法)Fig.4 Trajectory tracking curves (FTVSC method)

图5 轨迹跟踪曲线(CTVSC 方法)Fig.5 Trajectory tracking curves (CTVSC method)

图6 基座弹性位移(FTVSC 方法)Fig.6 The elastic deformation of the flexible base (FTVSC method)

图7 基座弹性位移(CTVSC 方法)Fig.7 The elastic deformation of the flexible base (CTVSC method)

图8 柔性臂模态坐标(FTVSC 方法)Fig.8 The modal coordinate of the flexible link (FTVSC method)

图9 柔性臂模态坐标(CTVSC 方法)Fig.9 The modal coordinate of the flexible link (CTVSC method)

由图4-5 可知，当执行机构未发生故障时，FTVSC方法与CTVSC 方法均能实现对载体姿态与臂杆关节的轨迹跟踪控制；由于FTVSC 方法可确保跟踪误差的有限时间快速收敛，故其在2.5 s 内即可实现对系统期望轨迹的跟踪控制；而CTVSC 方法仅可保证跟踪误差的渐近收敛，故其跟踪耗时高达8 s；由此可知，所设计算法的误差收敛速度较对比算法提升了68.75%。当执行机构处于不同的故障模式时，FTVSC方法仍可在2.5 s 内实现对柔性空间机器人期望轨迹的跟踪控制；CTVSC 方法由于不具备故障容错功能，故系统跟踪误差随着故障程度的加深而逐渐加大；考虑到故障引发的跟踪误差会由载体向机械臂关节传递，以及末端机械臂自身柔性的影响，导致关节角θ2偏离期望轨迹的程度最高。由图6-9 可知，无论执行机构是否发生故障，FTVSC 方法均可将柔性基座与柔性臂杆的振动幅度抑制在较低水平，其对基座的抑振精度始终维持在1.1×10-4m 的范围内；CTVSC 方法仅能在健康模式下实现相同的抑振效果，而随着故障程度的加深，柔性结构的振动情况表现得更加显著，在故障模式2 下基座的振幅高达5×10-4m；由此可知，所设计算法的抑振精度较对比算法提高了78%。这是由于CTVSC 方法不具备故障容错功能，从而无法保证柔性空间机器人轨迹跟踪误差的收敛，进而影响基于虚拟控制力的控制方案的抑振效果。仿真结果与理论分析吻合，校验了所设计有限时间容错抑振控制方案的有效性与优越性。

5 结论

针对基座与臂杆存在柔性且执行机构发生故障的自由漂浮空间机器人系统，建立了其动力学模型，结合双幂次非奇异快速终端滑模及虚拟控制力设计了一种有限时间容错抑振控制方法，实现对载体姿态与关节轨迹的快速跟踪控制及基座与臂杆柔性振动的有效抑制。值得注意的是，对于此类多重柔性影响下的空间机器人系统，所提方法的收敛性及适用性仍有进一步提升的空间，故未来的研究工作包括：（1）对系统模型及控制方法进行适当的矢量和矩阵拓展运算，将该方法应用于对三维柔性空间机器人的运动控制；（2）针对多柔性空间机器人系统开发出固定时间容错抑振控制方法，进一步提升误差收敛速度及系统机动性；（3）开展半物理实验研究，进一步验证所设计控制方法的有效性与可行性。