基于数据包络法和向量夹角余弦的海绵城市建设绩效评价

刘 萍，张 楠

（1.河南建筑职业技术学院 土木工程系，河南 郑州 450064；2.黄河水利科学研究院，河南 郑州 450003）

近几十年来，我国城市下垫面硬化面积急剧增加，加之极端天气事件时有发生，使得一二线城市经常出现“城中看海”“小区孤岛”灾害情景［1］。据相关材料统计，1990—2019 年我国年均洪涝灾害直接损失高达1 522 亿元［2］。为降低洪涝灾害损失，打造自然蓄水、自然渗透、自然净化的海绵城市，提高城市抗洪涝能力，2015 年我国提出建设海绵城市，并选择近30 个城市作为试点［3］。随着首批海绵城市项目结束，开展海绵城市建设绩效评价，总结海绵城市建设经验，对于后续海绵城市建设具有重要指导意义。

近年来，国内外学术界在海绵城市概念及规划设计领域开展了深入讨论。Pickett 等［4］重点讨论前期设计阶段对海绵城市排水的影响；Loperfido 等［5］研究了分布式雨水管理和集中式雨水管理对城市雨水径流的影响，认为分布式雨水管理更能改善城市雨水径流，提升海绵城市排水能力。关于海绵城市建设绩效评价，翟慧敏等［6］以鹤壁市海绵城市建设为例，提出层次分析法和物元可拓模型的海绵城市建设绩效评价方法；张涵等［7］详细分析美国景观绩效评价中关于雨洪管理的成果，并结合国内《海绵城市建设评价标准》，整理汇总适合国内海绵城市建设绩效评价的指标体系；卢金山等［8］分析了6 种常见的海绵城市建设绩效评价方法，并指出每种方法的优缺点和适用范围；吴京戎等［9］以DPSIR 模型为基础构建海绵城市建设绩效评价指标，采用系统动力学动态评价和预测海绵城市建设绩效。为解决层次分析法赋权主观性对评价结果的不利影响，付永飞等［10］提出层次分析法和熵权法组合赋权的方式确定指标重要性，结合物元可拓模型评价海绵城市建设绩效。为解决指标模糊性问题，丁琨等［11］提出集对分析和可变模糊集的海绵城市建设绩效评价方法。综合以上研究可知，德尔菲法、层次分析法、系统动力学法、物元可拓法等常用的海绵城市建设绩效评价方法计算过程简单，适用范围广，但评价结果较多建立在专家主观评判合理、指标信息充分的基础上，评价过程缺乏数形结合，缺少直观性。此外，海绵城市建设在我国起步较晚，缺乏实践经验且理论体系不够完善，增加了评价过程的不确定性和模糊性，使得其绩效评价结果的客观性不够。已有研究成果表明［12－13］，海绵城市建设绩效评价指标具有一定的灰色性，指标信息不完整且以定性为主，而受制于专家主观认知能力差异和指标信息不完整等因素，造成现有海绵城市建设绩效评价方法难以解决专家主观评判任意性、指标灰色性对评价结果的干扰且评价过程不直观等问题，无法确定影响海绵城市建设绩效评价的敏感性指标。因此，为了在指标信息不充分、专家决策主观性强的情况下提升指标赋权的客观性，更加真实地反映指标重要性，需解决指标信息不完整对指标权重的干扰。数据包络法作为生产效率评价模型，起初在效率评价领域得到广泛应用，王玲［14］将其引入指标赋权领域，通过C2R 模型充分识别指标完整信息，可在指标信息不完整的情况下相较于层次分析法等主观打分法更客观地得到指标权重。向量夹角余弦以空间几何向量的形式描述目标向量与理想向量的贴近度，通过计算两者的夹角余弦值得到评价目标等级，使得相对抽象和复杂的评价数据经几何模型转换跳出数理模型本身，相较于数理方法评价过程更直观、简洁且契合人类思维逻辑，适用于多目标、复杂性问题评价［15］。

基于此，本文提出基于数据包络法（Data Envelopment Analysis，DEA）和向量夹角余弦（Vector Angle Cosine，VAC）的海绵城市建设绩效评价方法，试图利用数据包络法中C2R 模型计算指标权重，降低主观因素和指标灰色性对权重的影响；同时利用向量夹角余弦方法计算评价目标向量与理想向量的夹角余弦值，得到海绵城市建设绩效等级，运用单因素敏感性分析求得敏感性指标。最后，以鹤壁市海绵城市建设为例进行绩效评价，并将评价结果与常见的绩效评价方法所得结果进行对比，验证本文提出方法的科学适用性，以期为海绵城市建设绩效管理提供可行性建议。

1 评价指标的构建

海绵城市建设是指城市能够像海绵一样，在发生内涝灾害时能充分发挥吸水、渗水、蓄水等功能并将储存的水释放和利用。从海绵城市定义中不难看出，其包括雨水吸收调蓄和释放利用2 个方面［16］。雨水吸收调蓄是指通过城市排水系统和雨水处理系统实现雨水径流总量和城市面源污染的源头控制、过程传输、末端管理。在源头控制方面，主要与水生态、水环境指标相关，比如年径流总量控制率、年均地下水位稳定率等指标；在过程传输方面，主要考虑供水管网漏损控制率、河流管渠溢流污染控制率；在末端管理方面，主要与污水控制率、饮用水达标率、水环境质量达标率等关联。雨水释放利用指的是借助海绵城市建设为城市提供足量的水资源，主要包括水量和水质2 个方面，与河湖水质达标率、水环境质量达标率、饮用水达标率等相关。此外，海绵城市的建设制度及执行情况关乎海绵城市建设资金来源、政策支持和建设质量控制等方面，是不容忽视的指标。结合《海绵城市建设绩效评价与考核办法（试行）》相关规定和文献［1－10］成果以及已建成海绵城市情况，从水生态、水环境、水资源、水安全、制度建设与执行、显示度6 个维度构建海绵城市建设绩效评价指标体系。考虑到各指标量纲不同，对指标值进行归一化处理，结合文献［7］中关于海绵城市建设绩效等级划分的原则，本文将其划分为5 个等级，详见表1。

表1 海绵城市建设绩效评价指标体系及其分级标准

2 评价方法

2.1 数据包络法赋权

数据包络法作为效率评价方法，主要应用于投入和产出领域，用来评价投入效率［17］。经过学者亢磊磊等［18］、李孟刚等［19］深入研究和改进，将其创新运用在指标赋权方面，以决策单元输入、输出的权重为变量，利用线性规划方法计算指标权重，权重的确定取决于客观数据本身，相对于层次分析法、专家打分法等主观赋权方法更具客观性。此外，数据包络法无须决策者对指标信息深入了解，能够巧妙解决指标灰色性、不透明性难题，提高专家评估结果的准确性［14］。考虑海绵城市建设绩效评价指标的主观性和灰色性，采用数据包络法求解指标权重，可以在一定程度上解决指标灰色性、决策数据主观性对权重的干扰。

设指标ai（1 ≤i≤n）的决策单元为DMUi（Decision Making Unit，DMU），组成矩阵MA。每一个决策单元DMUi有g个输入变量和l个输出变量，即xi＝（x1i，x2i，…，xgi）＞0，yi＝（y1i，y2i，…，yli）＞0。xij和yij分别表示DMUj的输入和输出变量。根据评价目标对象不同，数据包络法衍生出C2R、BC2、FG、ST 等若干种模型。其中，C2R 模型相对于其他几种模型在整体有效性方面更具优势［20］，借鉴文献［21-22］将C2R 模型转化为显性线性规划模型。

式中：hi为指标ai的权重向量；μT为μi的置换向量，μi为ai的剩余变量；pT为pi的置换向量，pi为ai的松弛变量；p为松弛变量，p＝th，h为指标权重，t表示线性变换函数，t＝1/（hTxi），hT为权值的置换向量；μ为剩余变量。

C2R 模型作为多目标效率评价模型，有严格的输入和输出变量区分，比如可将本金作为投入，利润作为产出，而海绵城市建设绩效评价指标难以严格划分输入和输出两种变量。参考文献［19］中输入和输出变量划分原则，令输出变量为1，输入变量为指标规范化处理后的结果，得到输出变量为1 的C2R 模型。

2.2 向量夹角余弦

海绵城市建设绩效评价的主要目的是明确海绵城市建设绩效等级，确定海绵城市建设绩效的敏感性指标，其本质是计算评价目标向量与理想目标向量的贴近度。向量夹角余弦方法通过计算空间向量的余弦值大小，判定两个主体的差异性，通过敏感性分析确定敏感性指标，被广泛运用在效益和安全评价领域［23］。此外，作为一种检验一致性的纯数学方法，利用数学几何思维，通过空间非零向量的夹角余弦值确定两者的贴近度，相对于灰色关联和TOPSIS 等方法，在直观性和简洁性方面具有突出优势［15］。因此，将向量夹角余弦引入海绵城市建设绩效评价，两者在方法论上具有一定的相通性。

利用向量夹角余弦将海绵城市建设绩效评价问题从代数问题转化成空间几何问题，通过数和形的转化，可巧妙解决海绵城市建设绩效评价的多指标、多层级问题，并可从根本上克服因数据线性相关而难以计算的困难［24］。

1）设评价目标向量Xi＝［xi1，xi2，…，xin］，理想目标向量，评价目标与理想目标的夹角余弦为

2）考虑到海绵城市建设绩效评价指标较多，为快速确定影响建设绩效的敏感性指标，为决策者提供可行性建议，提高决策效率，参考文献［24］在向量夹角余弦计算中引入单因素敏感性分析，通过敏感性系数确定指标敏感性。单因素敏感性分析指的是通过单一指标变化而其他指标均保持不变，来分析该指标对评价目标的影响程度［20］，常用敏感性系数α表示，其计算公式为

式中：ρi－Vj为去掉指标Vj后的余弦值。

若α＞0，则指标对评价目标具有负向作用，构成敏感性指标；若α＜0，则对目标具有正向作用，不构成敏感性指标。

3）对定性和定量指标进行初步处理，得到决策向量Xi＝［xij］。

4）指标归一化处理。将海绵城市建设绩效评价指标划分为成本型和效益型两类（成本型指标值越小越好，效益型指标则相反），然后按照式（6）进行无量纲化处理，得到新的向量＝［］。

结合数据包络法得到的指标最优权重对新向量加权处理，得到加权矩阵Y。

5）确定理想目标。令理想目标为加权矩阵Y的最优解，即取值1。

3 案例分析

以我国首批海绵城市建设试点之一的鹤壁市为例，运用数据包络法和向量夹角余弦对其进行绩效评价。按照规划要求，鹤壁市2015—2017 年需建设落地317 个海绵城市项目，项目内容包括河道整治、道路提升、雨污水分流改造等。通过对已建成的鹤壁市海绵城市建设绩效评价，确定影响海绵城市建设绩效的敏感性指标，为后续其他海绵城市建设项目绩效管理提供可行性建议。

3.1 指标转化

1）定性指标。对于定性指标采用专家投票打分法，参考五级评定原则确定重要性。考虑到不同指标的量纲不同造成无法计算，利用满分为1 分制，根据重要性排序，每降低一个等级减少0.25 分，所有专家打分均值即指标i最终得分εi。五级评定等级及对应的分值见表2。

表2 五级评定等级及对应的分值

2）定量指标。对于定量指标，按照等宽度区间法进行无量纲化处理，即把最大值Tmax和最小值Tmin之间均分5 个区间L，则定量指标区间为［Tmin，Tmin＋L），［Tmin＋L，Tmin＋2L，），［Tmin＋2L，Tmin＋3L），［Tmin＋3L，Tmin＋4L），［Tmin＋4L，Tmax］。

3.2 指标权重计算

以A2维度的4 个指标为例，参考经典的9 标度打分规则，得到判断矩阵MA。

利用式（1）计算权重：

maxh41＝0.231，maxh42＝0.387，maxh43＝1，maxh44＝0.277，其值均小于等于1，表明专家决策数据科学，无须重新测算。

同理，一级指标最优权重：h∗＝（0.173，0.235，0.217，0.203，0.168，0.094）。二级指标最优权重：h∗1 ＝（0.311，0.283，0.185，0.311）；＝（0.326，0.238，0.279，0.157）；h∗3 ＝（0.423，0.346，0.231）；＝（0.189，0.267，0.174，0.235，0.135）；＝（0.195，0.193，0.323，0.289）。

3.3 向量夹角余弦

1）利用式（6）处理指标初始数据，得到向量X′i；然后与指标最优权重合成，利用式（7）得到加权矩阵Y。Y＝［0.654，0.324，0.543，0.658，0.973，0.695，0.735，0.485，0.864，0.694，0.684，0.853，0.749，0.925，0.848，0.849，0.863，0.784，0.736，0.698，0.465，0.439，0.563，0.764］T。

2）利用向量夹角余弦方法计算评价目标与理想目标相似度之前，应明确理想向量X∗，参考文献［23］中理想向量选择的原则，结合项目实际情况，取各指标值为1，则有：X∗＝［1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1］T。

3）计算向量夹角余弦值。利用式（4）计算向量夹角余弦值：ρ＝cos〈X，X∗〉＝0.512。参考表1 得出鹤壁市海绵城市建设绩效等级为Ⅲ级，属于中等。该结论与鹤壁市海绵城市建设中期国家发展改革委考核结果基本一致。

4）为进一步挖掘海绵城市建设绩效的敏感性指标，为管理者提供更具针对性的决策参考依据，利用式（5）计算指标敏感性系数，结果见图2。

图2 指标敏感性系数

5）结果分析。由图2 可知：A14城市热岛效应缓解情况、A21河湖水质达标率、A31污水再生利用率、A43污水控制率、A52蓝线绿线划定合理性等5 个指标的敏感性系数大于0，表明这5 个指标对海绵城市建设绩效影响较大，构成敏感性指标。

6）不同方法对比验证分析。为验证本文提出的海绵城市建设绩效评价方法的优势和评价结果的合理性，在赋权方法上选择与层次分析法对比，在结果直观性方面选择与灰色关联法对比，同时采用绩效评价领域经典的模糊数学理论综合评价鹤壁市海绵城市建设绩效，结果见表3（其中实际值取自国家发展改革委对鹤壁市海绵城市建设绩效考核的结果）。

表3 不同绩效评价方法的评估结果及误差对比

由表3 可知：4 种评价方法结论基本一致，验证了数据包络和向量夹角余弦方法运用于海绵城市建设绩效评价是可行的。从相对误差来看，数据包络和向量夹角余弦方法相对误差仅为1.73%，小于其他3 种方法的相对误差值，表明该方法的计算结果与鹤壁市海绵城市建设绩效实际情况更为贴近，且向量夹角余弦相对于灰色关联法更加直观和简洁地展示了计算过程，数据包络法能有效规避专家决策的主观性和指标信息不完整带来的结果失真，提升了评价结果的科学性。另外，层次分析法认为城市热岛效应缓解情况、河湖水质达标率、污水再生利用率、污水控制率、蓝线绿线划定合理性在同级别指标中所占权重较大，与单因素敏感性分析结果相符，证明了单因素敏感性分析结果的科学性。

4 结论

1）本文建立了基于数据包络法和向量夹角余弦的海绵城市建设绩效评价方法，对鹤壁市海绵城市建设绩效进行评价，并与模糊层次分析法、灰色关联法、层次分析和向量夹角余弦法所得的评价结果对比分析。实例证明，本文提出的方法与常用的海绵城市建设绩效评价方法所得结论基本一致，且相对误差值较另外3 种方法更小，体现了数据包络法和向量夹角余弦运用在海绵城市建设绩效评价中具有可行性，且结果更合理。

2）利用向量夹角余弦方法计算评价目标向量与理想目标向量的贴近度，通过空间几何的形式更加直观地确定目标等级。结果表明，鹤壁市海绵城市建设绩效等级为Ⅲ级，属于中等水平。根据敏感性分析结果可知：城市热岛效应缓解情况、河湖水质达标率、污水再生利用率、污水控制率、蓝线绿线划定合理性5 个指标构成海绵城市建设绩效评价敏感性指标。

3）利用数据包络法中C2R 模型计算指标权重，相对于层次分析法较好地降低了专家主观因素和指标灰色性对权重计算的不利影响，提升了指标赋权的科学性。但是，考虑到海绵城市建设绩效评价指标的复杂性，单一赋权方法难免偏颇，在后续指标赋权时可根据指标情况，适当采取组合赋权的方式，进一步提升赋权的合理性。