在迁移中探索 在变化中成长

文／江苏省盐城市鹿鸣路初级中学 成长

经过了本章的学习，我知道了全等三角形是图形变换的基础。利用全等三角形，能够解决大量图形中线段、角的相关问题。学好全等三角形对于发展我们的逻辑推理能力具有重要的意义。下面，我们来看这道题。

例题如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°，AB=3，CD=7。求四边形ABCD的面积。

图1

题目已经给出了∠B=∠C、PA=PD两个条件，所以我们只需要证另一个边或角相等即可。而本题明显无法证明边的相等关系，所以我们将目标定为证明角相等。可是该如何证明呢？

我们可以从条件出发，由∠B=90°结合“直角三角形两锐角互余”得到∠BAP+∠APB=90°；由∠APD=90°及平角的定义得到∠APB+∠DPC=90°；再根据“同角的余角相等”，易证∠BAP=∠CPD。从而可证△APB≌△PDC，所以AB=PC，BP=CD，再利用梯形面积公式求得ABCD的面积为50。

这类全等问题中的图形犹如字母K，我们不妨称之为“K”字型全等。这类问题虽然由多条垂线构成，看似烦琐，但只要挖掘出垂线所带来的条件，寻找“K”字型，即可成功解题。根据“K”字型全等，我们再一起尝试解答变式1吧。

变式1 如图2，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=BE，∠ABC=∠DBE=90°，连接AD、CE，过点B的直线分别交AD、CE于点N、M，MN⊥AD。求证：M是CE的中点。

图2

我第一眼见到这个图形，没有任何头绪，但是仔细一看，却能发现一丝“K”字型的影子：三角形顶点共直线，有垂直，有边相等。于是我毫不犹豫，选择过点C、E分别向直线MN作垂线，垂足为P、Q（如图3）。

图3

此时，熟悉的“K”字型就被我构造出来了。根据例题所求结论，易得△ANB≌△BPC、△DNB≌△BQE。但是，如何由两个全等关系得到“M是CE中点”这一结论呢？静心思考，我又发现了一丝“端倪”：要证中点，只需证两条线段相等，即证线段CM、ME分别所在的两个三角形（△CPM与△EQM）全等，问题迎刃而解！变式2 就留给同学们自己尝试一下啦！

变式2 在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=BE，∠ABC+∠DBE=180°，连接AD、CE，过点B的直线分别交AD、CE于点N、M，∠ANM=∠ABC。试问：M还是CE的中点吗？请自行画图并说明你得到的结论的正确性。

全等三角形的应用不仅仅停留在几何问题之中。解决复杂的全等三角形问题，只要寻找解决基本问题的方法即可。我想，这也是数学变化之美的一种体现吧！

教师点评：

全等三角形的学习，需要同学们在基本图形的变化中去探索、发现。图形变化之繁，思想方法之多，都是对同学们的考验。我们要学习成长同学善于思考、迁移、归纳总结的好习惯，理解数学的本质，举一反三，以不变应万变，积极思考，主动探究，就一定能学好数学，用好数学，将来为祖国做出更大的贡献。