基于EMD-MF-DCCA方法的非对称多重分形相关性研究——以深圳、上海股市为例

张红梅, 王 沁, 汪 玲, 董 鑫

(西南交通大学 数学学院,四川 成都 611756)

0 引言

针对有效市场假说的弊端,PETTER[1]提出了更加符合市场的分形市场假说。分形由单分形发展到了多重分形,相较于单分形,多重分形具有局部Holder指数、多重分形谱等特征,能够对市场进行更加细致的分解。因此,近年来多重分形理论在金融系统领域受到了广泛的关注。

目前使用最广泛的分形方法是多重分形消除趋势波动分析法(MF-DFA)[2]和多重分形消除趋势交叉相关分析法(MF-DCCA)[3]。HASAN和MOHAMMAD用MF-DFA法分析了亚洲股票市场的特征[4],同时探讨了股票市场的量价关系[5],证实了亚洲股票市场的量价之间存在多重分形特征;DEWANDARU等[6]用MF-DFA法制定了有效的投资策略;MENSI等[7]使用MF-DFA和MF-DCCA法分析发现银行自身和银行间均存在多重分形特征;苏方林等[8]基于MF-DCCA法分析发现恒生指数和深圳成指间存在长程相关性。

作为金融市场的典型化特征,好坏消息冲击对资产价格波动影响的不一致性导致多重分形具有非对称特征。CAO等[9]提出用非对称多重分形消除趋势交叉分析法(MF-ADCCA)来研究多重分形关系的非对称性。GAJARDO等[10]使用分形方法研究了货币汇率、金属市场、原油市场之间的分形关系,发现任意两市场间多重分形关系均存在非对称性;苑莹等[11]使用MF-ADCCA法定量研究发现沪深300股指期现市场间存在非对称多重分形相关系。CHEN和ZHENG[12]使用MF-ADCCA法分析发现我国股票市场量价间交叉关系存在非对称性,且收益率在上涨时的波动总是大于下跌时的波动。总之,市场间多重分形相关性的非对称性研究得到了广泛的关注。

从已有研究可知,国内外学者主要采用MF-ADCCA法度量市场间的非对称多重分形相关性。该方法存在以下不足:①直接使用原始序列分析,未考虑序列非平稳性和异方差性特征的影响。②采用一元线性趋势来刻画序列非线性的动态变化趋势。③仅仅将市场分为上涨和下跌趋势来刻画非对称多重分形相关性。

为弥补上述不足,本文首先引入高低频索引值的经验模态分解法重构序列,以消除序列非平稳性和异方差性特征的影响,其次使用二次函数刻画市场的动态变化趋势,并首次提出将二次项系数和一次项系数作为“正负波动”的代理变量来划分上涨、振荡、下跌三种趋势,从而提出一种新的EMD-MF-DCCA法来度量三种趋势下的非对称多重分形相关性。

1 EMD-MF-DCCA方法

考虑到金融时间序列受噪声的影响,而高低频索引值的经验模态分解法(EMD)重构序列后,可以有效的解决噪声污染和非平稳化等问题。因此,基于高低频索引值的EMD法和MF-DCCA法,提出使用EMD-MF-ADCCA方法来分析金融市场的非对称多重分形关系。

1.1 高低频索引值的EMD法

EMD法[13]依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解,适用于任何信号的分析,因此被广泛应用于众多领域中[14]。

设s(t)为初始序列,对序列s(t)进行EMD分解的思路是迭代剔除其上下包络线均值获取新的序列,检验新的序列是否满足IMF的两个条件:序列极值点和零点的个数相差必须小于或等于1;序列中任意点的上下包络线均值都为零。

现设原始序列s(t)通过EMD分解后,得到如式(1)所示的n个频率由高到低的IMF和一个长期趋势r(t):

(1)

式(1)中,每个IMF都刻画了序列s(t)在某一特定频率尺度下的动态特征。

计算n个IMF和序列s(t)之间的相关系数,并设定相关系数门限值c,把所有相关系数大于c的值作为高低频索引值。将高低频索引值所对应的IMF和r(t)相加得到重构序列。

1.2 EMD-MF-DCCA法

设{x(1)(t)}和{x(2)(t)}为使用高低频索引值的EMD法重构的时间序列,t=1,2,…,N,N是时间序列的长度。EMD-MF-DCCA法步骤如下:

1)构造“轮廓线”:

(2)

3)消除轮廓线趋势。根据拟合优度选择恰当的多项式函数拟合轮廓线的子区间,消除趋势后的序列为:

(3)

其中多项式函数为:

(4)

k是横坐标,k=1,2,…,s,m为区间位置,m=1,2,…,2NS。

4)整体序列的q阶矩波动函数。通过协方差函数计算波动函数,公式如下:

(5)

其中协方差函数为:

(6)

(7)

6)不同趋势下的q阶矩波动函数。以{x(1)(t)}市场为例来计算上涨、振荡、下跌趋势下的q阶矩波动函数:

(8)

(9)

(10)

7)计算多重分形指标。计算不同标度s下的q阶矩波动函数,如果存在幂律相关性,则波动函数和时间标度s之间可如下表示,以整体情况为例(上涨、振荡、下跌趋势类似):

Fq(s)～sH(q)

(11)

通过双对数线性拟合计算序列的多重分形指标(下面简称分形指标),如下:

lnFq(s)=H(q)ln(s)+ln(A)

(12)

其中,H(q)为序列{x(1)(t)}与{x(2)(t)}在整体情况下的分形指标,类似的拟合得到三种趋势下的分形指标,分别记作H+(q),H～(q),H-(q)。若H(q)随着q呈非线性变化,说明序列间存在多重分形特征;类似的,也用非线性方法来判断其他趋势下的多重分形特征。

8)非对称性。假设存在d,当q>d时,若H*(q)都小于0.5,则两市场间在大波动时呈现反持续性的多重分形特征,反之如果H*(q)都大于0.5,在大波动时呈长呈相关性的多重分形特征。当q

2 实证分析

2.1 数据选取与重构

本文选取深圳综指(SZSC)和上证综指(SSE)作为沪深股市的代理变量。数据样本时间为2010年1月4日至2020年3月19日,共获得2418个交易日的收盘价格数据,数据来源于“通达信”交易软件。使用高低频索引值的EMD法对两指数进行重构,以此消除序列的非平稳性和异方差性。首先用EMD法对两指数进行分解,分别得到9个和8个IMF,计算每个IMF和原始序列的相关系数,结果见表1。

表1 IMF与原始序列的相关系数

取相关系数门限值c为0.1000,读表1可知,深圳综指的高频部分为IMF3-IMF5,低频部分为IMF6-IMF9,类似分析上证综指。将筛选保留的高低频IMF与趋势项RES的和作为重构序列,对重构序列在短期、中长期和长期三种时间尺度下的平稳性进行检验,并与原始序列进行比较,发现深圳和上证综指的原始局部短期序列具有非平稳性和异方差性,而重构局部短期序列是平稳的且不存在异方差性,局部中长期序列仍有同样的结论。而对于局部长期序列,重构序列能消除异方差性,但不能消除平稳性。说明基于EMD的重构法能消除序列在短期和中长期内的平稳性和异方差性,而处理长期序列的能力弱一些。

2.2 以深圳综指的涨跌趋势分析非对称多重分形相关性

从2.1节已经知道,重构序列的短期和中长期局部序列是平稳的且不存在异方差性的,所以选取s的范围为30～80,q的取值范围为-10～10,步长单位为1,使用EMD-MF-DCCA法计算得到沪深股市间在不同趋势下的分形指标。

从图1中可知,分形指标均随着q呈非线性变化,说明深圳综指在不同趋势下时,沪深股市间均存在多重分形特征;当深圳综指处于上涨期时,分形指标的变化趋势与下跌期和振荡期的变化趋势截然不同,上涨时期沪深股市间的分形指标先下降后上升再下降,呈现出一种在均值上下来回波动的现象;而下跌期和振荡期的分形指标一直呈下降趋势,但振荡期的变化趋势比下跌期的更弱,说明在不同趋势下,沪深股市间的多重分形强度变化趋势不同,存在非对称性。

图1 深圳综指不同趋势下沪深股市间的分形指标图

从表2可知,在振荡时期,当q<4时分形指标大于0.5,当q>4时分形指标小于0.5,说明两指数间在小波动时存在长呈相关性的分形特征,大波动时具有反持续性的分形特征;在下跌时期,两指数间在不同波动幅度下的多重分形特征与振荡趋势一样;在上涨时期,q>0时分形指标全大于0.5,而q<0时分形指标既有大于0.5的,也有小于0.5的,说明沪深股市间在上涨趋势下存在时变波动的多重分形特征。综上所述,当深圳综指处于上涨、振荡、下跌不同趋势时,沪深股市间呈现非对称多重分形特征。

表2 深圳综指不同趋势下沪深股市间的分形指标

2.3 不同趋势下沪深股市间的多重分形

从图2中可知,在上涨时期,沪深股市间的分形指标在均值附近来回波动,形态相似,均呈时变波动的特征。在振荡期时,沪深股市间的分形指标均单调递减,当上证综指处于振荡期时,沪深股市间分形指标的变化趋势更剧烈。在下跌期时,沪深股市间的分形指标均单调递减,当q<0以深圳综指下跌趋势探讨时,沪深股市间分形指标的变化趋势更剧烈,q>0时,变化趋势相似。

(a)上涨趋势 (b)振荡趋势 (c)下跌趋势图2 不同趋势下沪深股市间的分形指标图

总之,无论是在何种涨跌趋势下,沪深股市间存在非对称多重分形关系。且在振荡和下跌趋势下,沪深股市在小波动时表现出长呈相关性的多重分形关系,在大波动时存在反持续性的多重分形特征,而在上涨趋势时,具有时变波动的多重分形特性。

3 方法对比

为检验EMD-MF-DCCA方法的优越性,本文将其与传统MF-ADCCA进行对比分析。以深圳综指的涨跌趋势为例分析两指数间的多重分形关系,从表3可知,在上涨趋势时,EMD-MF-DCCA法得到的值H(q)和均值都比MF-ADCCA法的大,说明MF-ADCCA法低估了上涨趋势下的多重分形强度;在下跌趋势时,EMD-MF-DCCA法得到的H(q)值和均值都比MF-ADCCA法的小,说明MF-ADCCA法高估了下跌趋势下的多重分形强度。

表3 两种不同方法下沪深指数间交叉关系的Hurst指数

为进一步证实上述现象的普遍性,将总体样本区间分成三个样本区间进行分析,样本区间段为:2010年1月至2013年12月,2014年1月至2017年12月,2018年1月至2020年3月。

从表4的结果可知,在不同时间样本区间内,MF-ADCCA法低估了上涨趋势下的多重分形强度。类似的分析下跌趋势,可得到同表3一样的结论。这是因为MF-ADCCA方法在研究分形特征时,忽略了序列外部噪声的影响,且只考虑了市场具有上涨和下跌两种趋势,这导致在使用MF-ADCCA法研究市场特征时,会出现对上涨时期信息捕捉不足、对下跌时期给予过多信息的现象,从而出现低估上涨时期分形强度和高估下跌时期分形强度的情况。

表4 上涨趋势下不同时间段内交叉关系的Hurst指数

4 结论

本文运用高低频索引值的EMD法对序列进行重构,并基于重构序列提出EMD-MF-DCCA方法,从整体、上涨、振荡、下跌三种趋势下分析序列间的非对称多重分形关系。且运用该方法对沪深股市进行了实证分析,并通过与传统方法对比证实了EMD-MF-DCCA方法的优越性。虽然本文只对沪深股票市场进行了实证检验,但是该模型理论上能适用于任何一个具有分形特征的市场。

与经典的MF-ADCCA法[10-12]相比,本文所提出的EMD-MF-DCCA方法首次提出从上涨、振荡、下跌三种趋势下来分析市场的分形特征。另外,在刻画市场的非对称多重分形关系时,同时考虑了市场在大小不同波动时的非对称性特征。从实证部分的结果也可以看见,MF-ADCCA法低估了上涨趋势下的多重分形强度,高估了下跌趋势下的多重分形强度,而EMD-MF-DCCA的提出能弥补MF-ADCCA法的不足。除此外,EMD-MF-DCCA法还能够提供更多不同趋势下的分形参数,而这些分形参数是刻画市场间关系的重要工具,因此该方法的提出具有重要的意义,能为深入研究市场间复杂的非线性依赖关系提供合理的建议。