基于两阶段局部抽样策略的结构可靠性分析

肖甜丽, 马义中, 林成龙

(南京理工大学 经济管理学院,江苏 南京 210094)

0 引言

不确定性广泛存在于实际工程系统中,如材料特性、几何尺寸、荷载、环境等。忽略这些不确定性的影响,将导致工程结构无法满足其功能性和完整性。可靠性分析方法通过将上述不确定性看作功能函数的随机输入,以功能函数值未能满足预定目标的概率(即失效概率)作为工程结构安全水平的估计。实际应用中,功能函数通常是非线性甚至隐式的。这将导致失效域的识别和失效概率的直接积分计算难以进行。因此,如何有效权衡失效概率估计的精度和效率是可靠性分析的主要任务和挑战。

失效概率估计常用方法包括近似解析法和蒙特卡洛仿真(Monte Carlo Simulation, MCS)法[1]。近似解析法中,一阶可靠性法[2]和二阶可靠性法[3]分别以最可能点(Most Probable Point, MPP)处的一阶和二阶泰勒展开式近似功能函数。该方法较适合线性或中等非线性问题,但当功能函数呈现高度非线性时,难以提供失效概率的精确估计。不同于近似解析法,MCS利用大量的随机样本保证估计精度,对问题类型和维度均具有较高稳健性[4]。然而,由于昂贵功能函数的大量调用,常导致较高的计算成本。为兼顾失效概率估计的精度和效率,基于代理模型的可靠性分析方法受到了越来越多的关注。

在常用代理模型中,Kriging模型由于能够同时提供未观测点处的精确插值和局部不确定,在可靠性分析中获得广泛应用[5-7]。该模型常与序贯抽样策略相结合,从而可在尽可能小的样本量下获得真实功能函数的精确近似。BICHON等[8]基于Kriging模型提出高效全局可靠性分析法,但对于候选样本大小缺乏系统分析;ECHARD等[9]通过逐步增加蒙特卡洛仿真候选样本,提出自适应Kriging蒙特卡洛仿真(Adaptive Kriging with Monte Carlo Simulation, AK-MCS)法,有效提升了对候选样本量的系统分析能力。以上方法均采用基于整个设计空间的全局抽样策略。事实上,并非所有候选样本都能有效提升模型精度。WEN等[10]认为具有小概率密度的候选样本对失效概率精确估计的影响可忽略,提出基于局部抽样的改进序贯Kriging可靠性分析(Improved Sequential Kriging Reliability Analysis, ISKRA)法;LI等[11]以极限状态边界附近区域作为局部抽样区域,提出基于MPP的可靠性分析(MPP Method for Reliability Analysis, MPPRA)法。以上基于局部抽样策略的可靠性分析方法中,ISKRA法以输入变量均值点为抽样中心,根据所构造的失效概率与样本概率密度关系,自适应地调整局部抽样区域大小,但当均值点远离极限状态边界且抽样区域较小时,可能导致极限状态附近区域外的样本点更新;MPPRA法可将更多的极限状态面包含在抽样区域内,但当所更新样本不足以确保对极限状态面良好近似时,基于Kriging模型确定的MPP可能与实际偏离较大,导致不精确的失效概率估计。

为避免不必要的样本点更新,同时保证失效概率估计精度,本文将失效概率置信区间考虑在内,提出两阶段局部抽样的可靠性分析(Two-stage Local Sampling for Reliability Analysis, TLSRA)法,以更好地权衡失效概率估计的效率和精度。

1 Kriging模型介绍

Kriging模型又称为高斯过程回归模型,其假设预测函数值为一个回归模型和一个随机过程的线性组合。一般表示形式为:

y(x)=f(x)Tβ+z(x)

(1)

式中,f(x)Tβ,用于近似全局趋势,f(x)=[f1(x),f2(x),…,fp(x)]T表示基函数向量,β=[β1,β2,…,βp]T为回归系数向量;z(x)为中心化的平稳高斯过程,z(xi)和z(xj)之间的协方差为:

(2)

(3)

(4)

其中,F为已知训练点处基函数f(x)的矩阵。

假设给定预测点为x0,该点与已知训练点x1,x2,…,xn之间相关向量表示为r=[Rθ(x0,x1),Rθ(x0,x2),…,Rθ(x0,xn)]T。则在预测点x0的最优线性无偏预测和Kriging方差估计值为:

(5)

2 基于Kriging模型的TLSRA法

代理模型的预测精度很大程度上依赖于试验点的设计。所提TLSRA法综合ISKRA法和MPPRA法的不足和优势,采用两阶段抽样策略自适应调整局部抽样区域,并在所确定区域序贯地选择新点,获得试验设计样本集。

2.1 两阶段局部抽样策略

2.1.1 基于置信区间的抽样阶段划分标准

(6)

(7)

(8)

2.1.2 第一阶段局部抽样

第一阶段有效抽样集以概率密度大于阈值ρthr随机样本点构成。由于小概率密度候选样本对失效概率估计的可忽略性,WEN等[11]通过有效抽样区域的序贯抽样,有效减小了对真实模型的调用次数。在该方法中,阈值ρthr通过下式确定:

P(ρ(x)<ρthr)=Pt

(9)

为便于阈值ρthr的计算,以候选样本集S作为随机点集,计算对应的概率密度集ρ(x)={ρ(x1),ρ(x2),…,ρ(xNmcs)},则ρthr可表示为:

ρthr=QPt(ρ(x))

(10)

其中,QPt(ρ(x))表示概率密度集ρ(x)的Pt分位数。

进一步地,第一阶段局部抽样集S1可确定为:

S1={x|ρ(x)≥ρthr}

(11)

2.1.3 第二阶段局部抽样

ZHAO等[12]建议将超球面半径设置为目标可靠度指数βt的nc倍。nc则由极限状态函数的非线性度确定。CHEN等[13]提出利用测试点梯度值的方差量化极限状态函数的非线性系数nc:

(12)

Lr=(1.2+0.3nc)βt

(13)

(14)

其中,xMPP为最可能的失效点。进而,第二阶段的局部抽样集S2可确定为:

(15)

2.2 期望可行性函数

序贯抽样中,新加点常根据所构建的学习函数来选择。期望可行性函数(Expected Feasibility Function, EFF)[9]是结构可靠性分析中的代表性学习函数之一。该函数基于有效全局优化(Efficient Global Optimization,EGO)中的期望改进思想[14],可提供新加点处功能函数真实值在所定义区域内接近极限状态面的程度度量。通过最大化该函数,能够获得最大程度提升代理模型的新样本点。类似于EGO中的期望改进函数,EFF利用对极限状态邻近区域的积分,获得可行性函数期望值,其一般形式表示为:

(16)

2.3 基于两阶段局部抽样的可靠性分析算法实施步骤

所提算法具体步骤如下:

步骤1利用拉丁超立方抽样(Latin hypercube sampling, LHS)产生样本大小为Nmcs的候选样本集S,并从中随机选择n个样本点作为Kriging模型初始训练样本。

步骤2以高斯核函数为Kriging模型相关函数,基于训练样本构建常Kriging模型。

步骤4给定阶段划分的阈值εithr(εithr≤0.15),利用式(8)判断局部抽样阶段。当εi>εithr时,转至步骤5,反之转至步骤6。

步骤5根据式(9)-(11)计算样本低概率密度阈值ρthr及对应的局部抽样集S1。

步骤6根据步骤2所构建Kriging模型,计算极限状态边界的MPP点。以MPP作为局部抽样中心,利用式(12)-(15)获得局部抽样集S2。

步骤7在所确定的局部抽样集中,最大化式(16)的EFF学习函数,获得新点x*。

步骤8当max(EFF)≤0.001时,学习停止并转至步骤9;反之,计算x*对应的真实功能函数值,更新训练集,返回步骤2。

步骤9利用式(7)计算所估计失效概率的变异系数CVPf。当CVPf大于0.05时,重新生成新的候选样本集S,转至步骤3;反之,转至步骤10。

2.4 基于所提策略的计算精度及效率分析

基于代理模型的可靠性分析中,失效概率估计精度主要取决于代理模型对于极限状态面的拟合质量,而拟合质量主要与试验点的设计有关。有效的试验设计能够实现以较少的真实模型评价次数达到较高的估计精度。本文所提的两阶段局部抽样策略根据代理模型预测信息序贯选择具有最大信息的设计点,可获得代理模型预测精度和计算效率的更好权衡。该策略的优势主要体现在:(1)传统的一次性试验设计仅关注设计变量的空间分布,而所提策略除此之外还利用了代理模型的预测信息,与前者相比所设计的样本点对模型精度提升的贡献更大;(2)设计点的序贯填充过程中,除添加最有信息的样本点提升精度和效率外,通过缩减抽样空间来提升新加点的选择效率,进一步提高总计算效率;(3)两阶段的抽样策略一方面通过过滤低概率密度样本点提高抽样效率,另一方面抽样中心由设计变量均值处转移到最可能失效点处,使选择的样本点位于极限状态面附近,进一步提升了代理模型的估计精度和效率。

3 所提方法验证分析

采用非线性度、纬度等复杂程度不同的三个案例,并以AK-MCS,ISKRA法及MPPRA为比较,验证所提方法的性能。MCS法所估计的失效概率为真实失效概率参考值。为保证方法之间的可比性,同一案例不同方法的实施均基于相同的初始样本和候选样本。其中,设计变量以均值的正负五个标准差为取值范围。

3.1 四边界串联系统

案例1为一个四边界的串联系统[9,10],包含两个独立且均服从标准正态分布的随机变量。功能函数表达形式为:

(17)

候选样本集S大小为106,初始DOE样本量为12,α值为0.2,抽样阶段的划分阈值εithr取0.15。可靠性分析结果见表1和图1。

(a)AK-MCS+EFF (b)MPRRA

(c)ISKRA (d)TLSRA

表1 案例1的结构可靠性分析结果

由表1系统可靠性应用的比较可知:(1)基于全局抽样策略的可靠性分析方法AK-MCS具有较好的失效概率估计精度,但对真实函数的调用次数较大,具有较高的计算成本;(2)与AK-MCS相比,基于局部抽样策略的后三种可靠性分析方法所需的Ncall值较小,具有更好的计算经济性,尤其是对于一次调用较耗时的问题;(3)MPPRA尽管可大大节省计算成本,但所提供的失效概率估计精度非常差,说明该方法不适合串联系统;(4)与其他方法相比,所提TLSRA法可以较少的真实函数调用次数达到较准确的估计精度。如计算成本方面,所提方法与AK-MCS相比,减少了57.14%,与ISKRA相比将少了41.56%;估计精度方面,与ISKRA相比提高了33.33%,与MPPRA相比提高了99.24%。

由图1可明显看出:(1)与其他局部抽样方法相比,利用AK-MCS+EFF法的全局抽样中包含较多远离极限状态面的点,导致一定的成本浪费;(2)基于MPPRA的序贯抽样仅集中于极限状态面的部分区域,所构建Kriging模型对极限状态面的近似较差,无法提供良好的失效概率估计精度;(3)基于ISKRA的序贯抽样,由于对于低概率密度样本的过滤,新添加的试验设计点更加集中于极限状态面,从而避免了无效抽样;(4)基于本文所提TLSRA的序贯抽样,能够克服以上方法不足,以较少的试验设计点提供较好的极限状态近似,从而可兼顾计算经济性和失效概率估计准确性。

3.2 复杂高非线性函数

案例2为一个具有高度非线性且多峰值的复杂问题[8,10],其功能函数表达式为:

(18)

其中,x1～N(1.5,1),x2～N(2.5,1)。

设置候选样本集S大小为106,初始DOE样本量为12,α值为0.15,抽样阶段的划分阈值εithr分别取0.05,0.10,0.15。可靠性分析结果见表2。

表2 案例2的结构可靠性分析结果

3.3 非线性振荡器

案例3为一个包含6个随机变量的非线性无阻尼单自由度系统[9],见图2。功能函数表示为:

图2 非线性振荡器

(19)

表3 案例3中随机变量分布

设置初始候选样本集S大小为7×104,初始DOE样本量为12,α值为0.05,抽样阶段划分阈值εithr取0.15。可靠性分析结果见表4。

表4 案例3的结构可靠性分析结果

由表4比较发现:(1)估计精度方面,TLSRA与AK-MCS相比提高了71.43%,与MPPRA相比提高了66.67%,与ISKRA相比提高了77.78%,说明了所提方法可保证较高的失效概率估计精度;(2)计算成本方面,TLSRA对功能函数的调用次数与AK-MCS相比降低了14.29%,与ISKRA相比降低了12.90%,与MPPRA相当,说明了所提方法具有较好的计算经济性;(3)与其他方法相比,该例中MPPRA在计算成本和预测精度方面都具有优势,说明在该问题中基于初始DOE的Kriging模型对极限状态面的近似已达到一定精度,进而导致初始迭代就能获得较准确的MPP。

4 结论与展望

针对失效概率估计时难以有效平衡精度和效率问题,本文利用失效概率的置信区间提出了两阶段的局部抽样策略。数值和工程案例表明:(1)与全局抽样策略AK-MCS相比,TLSRA可有效减少对真实模型的调用次数,尤其是对于高计算成本的可靠性分析问题效果更显著;(2)与局部抽样策略ISKRA相比,TLSRA通过第二阶段抽样中心的调整,提高了在极限状态面的抽样效率;(3)与局部抽样策略RAMPP相比,TLSRA通过第一阶段局部抽样的全局探索,避免了初始迭代中Kriging模型近似精度不足导致的高估计误差。与以上三种方法相比,所提方法可更好地兼顾失效概率估计的精度和效率。

抽样阶段划分是本文所提方法关键,文中仅给出了阈值范围,未来将集中于最优阈值的公式化。此外,还可结合其他抽样方法,如重要性抽样,子集模拟等进一步提高计算效率。