基于再生制动能利用的高铁列车运行图优化

革新， 张玉召， 黄志鹏

兰州交通大学交通运输学院，甘肃 兰州 730070

高速铁路是现代化绿色交通的重要标志，是实现“碳达峰”和“碳中和”的关键领域，随着中国高速铁路网络规模的不断扩大，铁路能源消耗量也逐年增加，因此，研究如何降低列车运营能耗具有重要现实意义．

基于再生制动能利用的节能时刻表研究较多，如彭其渊等［1］以发车间隔和停站时间为变量，构建列车节能运行策略模型；张弛等［2］对牵引变电所的设置策略进行优化，并通过引力搜索算法求解列车运行图，使再生制动能利用率得到最大化；李灿等［3］构建节能时刻表的混合整数规划模型，并采用分解协调优化算法进行求解；郑亚晶等［4］以最大化列车产能阶段与用能阶段重叠时间为目标构建模型，并使用时空局域滚动优化方法和商业优化软件求解；步兵等［5-7］以列车净牵引能耗（总牵引能耗与再生能利用量之差）最低为目标构建模型，并使用遗传算法求解；冯瑜等［8-10］在节能时刻表研究中引入了列车区间操纵策略，将时刻表节能问题与列车操纵方法进行协同优化；冉昕晨等［11］通过分析客流变化引起的列车质量变化，进而研究地铁列车的能耗问题；YIN等［12］提出一种针对双向城市地铁线路列车调度问题的综合优化方法，以最小化能源消耗和乘客等待时间为目标，设计拉格朗日松弛算法进行求解；XIE等［13］构建以乘客和能耗为导向的列车时刻表和停站计划协同优化模型；LI等［14］以最小化能耗、乘客站台等待时间和乘客换乘等待时间为目标构建地铁列车时刻表模型．

以上文献均针对地铁节能展开研究，而以高铁节能为对象的相关研究数量较少．由于高铁列车具有较长的制动距离与较高的制动初速度，产生的再生制动能数量相当可观，若能将其合理利用，可以进一步降低列车运营能耗、节约电力资源．

在再生电能利用方面，高铁列车运行图与地铁相比具有以下不同：① 高铁的进出站时间占整个运行时间的比重较小，实际场景下往往需要对时刻表做较大幅度改动；② 高铁在再生制动能及储能利用方式方面，较地铁具有更好的现实条件．高铁通常有车载和轨旁两种储能设备安装方式．由于车载安装不仅占用列车空间，同时增加了列车重量，导致更高的牵引能消耗．此外，两种储能方式的设备购入、安装及保养成本均较大，因此，通过调整列车运行图实现再生能的直接利用经济效益更高，这也是本研究的必要性所在；③ 高铁的供电分区相对地铁距离更长，车与车之间的空间距离也较大，再生能在传输过程中具有较大损耗，因此，高铁的再生制动能利用需要考虑列车空间距离对再生电能传输效率的影响．

基于以上分析，本研究以高铁列车再生制动能利用最大化为目标，构建节能时刻表编制模型，采用Gurobi求解器求解模型，并通过实例对模型和求解方法的有效性进行检验．

1 再生制动能利用量计算

高铁列车在区间的运行过程可分为4 个阶段，分别是牵引、巡航、惰行及制动．其中，牵引阶段列车需要从牵引网汲取电能以供提速，是主要的耗能阶段；巡航阶段列车保持匀速运行，所消耗电能比牵引阶段少很多；惰行阶段列车在阻力作用下缓慢减速，无能源消耗；制动阶段优先采用再生制动技术，列车的电动机转变为发电机工况，将损失的动能转换为电能反馈至牵引网，产生的能源称为再生制动能．若供电分区内有列车正在制动，且此时同一供电分区内有其他列车正在牵引，则再生制动能可通过牵引网传输至牵引列车使用，进而降低牵引变电所的供电量，从而达到节能的目的．图1为列车运行过程中的速度距离曲线．

图1 列车运行各阶段的速度-距离曲线Fig.1 (Color online) The speed-distance curve of the train during operation.

尽管列车在电分相区及通过车站的道岔附近会有适当加减速，但主要的耗能与产能分别在牵引与制动阶段．由于巡航阶段能源消耗量较少，且再生制动能产生量有限，因此，本研究仅考虑牵引阶段的再生制动能利用．图2为列车运行时刻表再生制动能的4种使用方式．

图2 列车运行时刻表再生制动能利用方式 （a）同向列车前车牵引后车制动；（b）同向列车前车制动后车牵引；（c）对向列车同站利用；（d）对向列车异站利用Fig.2 (Color online) The utilization mode of regenerative braking energy about timetables of train. (a) The front train pulling and the rear train braking in same direction. (b) The front train braking and the rear train pulling in same direction. (c) The way in which the opposite train uses regenerative energy at the same station. (d) The way in which the opposite train uses regenerative energy at the different station. The triangle and square stand for traction stage and baking stage, respectively.

列车区间运行过程中纵向受到的合力为

其中，v为列车运动速度；F(v)和B(v)分别为牵引力和制动力（单位：kN），根据动车组的牵引制动特性曲线取值；w0、wi、wr及ws分别为单位基本运行阻力、单位坡道附加阻力、单位曲线附加阻力及单位隧道附加阻力（单位：N/kN）；m为列车质量（单位：kg）；g为重力加速度（单位：m s2）．

将区间运行时分划分为多个极小的等时长区间，每个区间内的列车运动看作匀加速运动，以此为基础构建列车运动学方程为

其中，an为第n个时间步长的加速度（单位：m s2）；为第n个时间步长列车受到的合力；vn为第n个时间步长的初速度（单位：m s）；yn为第n个时间步长内的列车走行距离（单位：m）；ε为时间步长，取ε= 1 s；γ为回转系数，取γ= 0.06［15］．

列车在每个时间步长下的牵引能耗与再生制动能产生量为

其中，en和wn分别表示第n个时间步长的列车消耗能量与再生能产生量（单位：kW⋅h）；F(vn)与B(vn)分别表示第n个时间步长下的牵引力与制动力（单位：kN），其根据该步长下的速度，通过动车组牵引制动特性曲线确定；θ为区间运行时间（单位：s）；θ(tr)和θ(br)分别为牵引持续时间与制动持续时间（单位：s）．

高铁列车供电分区距离较长，再生能在传输过程中具有一定损耗，因此，在计算再生制动能利用量时有必要考虑传输效率的影响．传输效率与列车前后距离的相关函数为［16］

其中，f(s)为再生制动利用率百分比；s为前后车距离（单位：km）．

计算时刻表再生制动能利用量的步骤如下．

步骤1通过式（3）计算每个时间间隙内的具体能耗数值，通过式（2）计算列车在时间间隙下的走行距离．

步骤2将运行图以时间间隙ε和供电分区为界划分为多个时空网格，输入列车时刻表数据，以时间间隙和列车所处位置为索引，将牵引能耗与再生制动能分配到时空网格内．

步骤3 统计每个时空网格内牵引能耗的消耗量与再生制动能产生量，分别为

其中，K和k分别表示列车集合与索引；T和t分别表示除天窗外的时刻集合与索引；P和p分别表示供电分区的集合与索引；和分别表示在时间间隙[t，t+ε]内，列车k所处位置为[h(t)，h(t+ε)]下牵引能的消耗量和再生能的产生量．p、P及之间关系可通过扫描文末二维码查看补充材料图S1.

步骤4确定时空网格内再生制动能的传输效率．由于高铁线路供电分区距离长，因此，在1个时空网格内可能存在多辆列车牵引制动的情况，故将电能传输距离简化为牵引列车与制动列车的平均距离，再根据式（4）计算平均传输效率．

引入变量(k)和(k)分别判断列车k在时空网格内是否有牵引能耗和再生能产生，计算为

然后，确定牵引列车与制动列车的在供电分区内的平均里程位置，分别用和表示，计算为

步骤5累加所有供电分区再生制动能利用量，获得时刻表再生制动能总利用量为

2 节能时刻表模型

2.1 问题描述

以再生制动能利用为目标的节能时刻表编制原理如图3，在满足列车安全运行条件下，通过合理调整列车始发站发车时刻与停车站停站时间，使再生制动能利用最大化．本模型主要假设如下：①基于开行方案与动车组交路计划已知的条件下，制定1 d的节能运行图；② 不考虑由于客流变化引起列车质量变化，以及对能耗计算产生的影响；③站间运行时分及牵引制动持续时间已知．

图3 多列车再生制动能利用优化时刻表Fig.3 (Color online) Optimization of the timetables by regenerative braking energy utilization for multiple trains. The upward triangles, downward triangles and squares stand for up train traction stage, down train traction stage, and baking stage, respectively.

2.2 参变量界定

定义集合与索引如下：S与s分别为车站集合与车站索引；K为列车集合；k和l为列车索引；Ku和Kd分别为上行列车和下行列车集合，Ku∪Kd=K；Sk为列车k的停车站集合；Pk为列车k途经的中间站集合；R和r分别为动车组交路的集合和索引；C和(c，c′)分别表示动车组交路中所有列车接续组合集合与索引．

定义参数如下：表示列车k从s-1 站运行至s站的站间运行时分；tr表示交路r的全线总运行时间；表示列车k的总旅行时间上限；o(k)和d(k)分别表示列车k的始发站与终到站；表示列车k在s站的发车时刻；表示列车k在s站的到达时刻；σ和η分别表示列车起停时附加时分；表示列车k在始发站的发车时间窗；表示列车在车站s的停站时间范围；和表示车站s的最小发车时间间隔和最小到达时间间隔；Φs表示车站s的最小发到时间间隔或最小到发时间间隔；和分别表示交路r的最大与最小运行时间；和表示接续车次组合(c，c′)的最小和最大接续时间间隔．

定义决策变量如下：为整数变量，表示列车k在始发站的发车时刻；为整数变量，表示列车k在s站的停站时间．

上述涉及时间的单位均为s.

2.3 模型表达式

模型的目标函数为

变量上下限约束为

其中，式（13）为始发站发车时间窗约束；式（14）为停站时间范围约束．

将始发站发车时刻和停站时间作为决策变量，站间运行时分作为已知输入数据，则其他站的发车时刻和到达时刻为中间变量，中间变量需满足计算规则约束．其中，到达时刻计算约束为

发车时刻计算约束为

为保证旅客服务质量，有必要将列车总旅行时间控制在一定范围，列车总旅行时间上限约束为

以下为运行图安全约束．其中，到达时间间隔约束为

发车时间间隔约束为

不同时到发及发到间隔约束为

同向列车站间运行线无交叉约束为

考虑到动车组的合理使用，有必要对动车组交路进行约束．其中，动车组交路车次接续时间间隔约束为

交路总运行时间上下限约束为

变量整数约束为

上述模型为整数规划模型，在Python环境下可通过直接调用Gurobi求解器求解．

3 算例分析

3.1 算例介绍及参数设置

以中国宝兰高速铁路以及CRH2和CR400AF动车组为例进行算例验证．线路全长400.644 km，沿途设有8 个车站，设计速度为250 km/h，供电分区划分的线路示意如图4．列车的开行对数、停站设置、动车组交路信息及动车组牵引制动特性参数等由于篇幅限制在此不一一列出．

图4 宝兰高速铁路供电分区划分情况Fig.4 The division of power supply partitions on the Baoji-Lanzhou high-speed railway.

设[，]=[120 s，600 s]，在个别越行站设根据动车组交路信息情况设置、、及的数值．需要说明的是，给定线路供电分区的划分可能与实际情况不符，但并不影响算例测试．

3.2 算例求解

将模拟退火算法与Gurobi求解器的计算结果进行对比，其中模拟退火算法计算时间为6.23 h，所得最终解为14 352.430 kW⋅h，而Gurobi 求解器计算时间为1.23 h，最终解为14 967.622 kW⋅h．可见，两种算法的最终解相差不大，但Gurobi求解器在求解速度上明显优于模拟退火算法．考虑到中国正在推广的“一日一图”列车运行图编制方法对时效性要求较高，故选用Gurobi 求解器可满足现实需求．

图5 为采用Gurobi 求解器求解出的列车节能运行图．其中，横坐标表示时间；纵坐标表示各个车站；上行为兰州西至宝鸡南方向；下行为宝鸡南至兰州西方向；斜率为正的曲线为上行列车；斜率为负的曲线为下行列车．图5中各列车均满足预先设定的时间间隔约束，列车排列较为均衡．最终计算得到再生制动能的产生量为30 360.288 kW⋅h，利用量为14 967.622 kW⋅h，利用率为49.3%，能耗减小效果显著，实现了预期节能目标．

图5 宝兰高速铁路动车组列车节能运行图Fig.5 (Color online) Energy saving timetables of Baoji-Lanzhou high-speed rail EMU trains.

结 语

本研究以再生制动能利用为目的，提出高铁列车运行图编制模型，并以宝兰高铁线进行实例验证．通过Gurobi求解器与模拟退火算法的计算效果可知，Gurobi求解器计算精度和计算效率均优于模拟退火算法．所得到的节能运行图再生制动能利用率达49.3%，节能效果显著，实现了列车运行图的节能优化编制目的．目前再生制动能利用技术在城市轨道交通领域应用比较成熟，随着反馈电能利用技术在高铁应用中的不断普及，高铁列车再生制动能也将会大量利用，这符合“绿色”、“低碳”的发展理念，本方法可为高铁运营部门编制节能运行图提供参考．