大对称视场离轴三反系统设计

黄淮，林峰

（福建师范大学 光电与信息工程学院 医学光电科学与技术教育部重点实验室福建省光子技术重点实验室，福建 福州 350007）

引言

随着人类在大气遥感、海洋遥感、对地侦察领域的逐步深入，人们对光学系统的要求越来越高，空间光学也进入到新的领域。在复杂的空天环境下，经典的透射式光学系统存在许多难题，例如,为了校正色差需要多个镜片，导致轻量化困难；大口径玻璃镜片难以加工装调，复杂温度环境下热像差难以平衡。作为对比，反射系统不存在色差，工作波长宽，可采用低热膨胀系数材料加工，光学效率高，更符合实际应用要求。而其中离轴反射系统可以做到无中心遮拦，相比同轴系统可以做到更大视场[1]。

美国的UickBird-2 卫星[2]、日本的ALOS 卫星、法国的SPOT3S 以及英国的Top Sat 均搭载离轴三反光学系统[3]。传统的离轴系统会引入非对称像差，一般采用线视场，即偏轴方向（子午视场）视场较小（1°左右），大视场的像差难以校正。随着计算机计算能力以及数控加工能力的提升，引入自由曲面可以为离轴系统平衡对称性像差，扩大系统视场[4]。

本文在几何光学和像差理论的基础上，研究了离轴反射式系统的设计问题。计算得出同轴反射系统的初始结构，采用视场离轴的方式避免中心遮拦并逐步扩大视场[5]，引入Zernike 多项式自由曲面，实现了13°×13°的大对称视场，最后对其成像性能进行了分析评估。

1 光学系统设计

1.1 系统设计指标

卫星在轨高度H、地面覆盖宽度W、地面分辨率RGSD以及探测器像元尺寸α有以下关系式：

式中：f为光学系统焦距；ω为光学系统视场。假定卫星在轨高度H=650 km，地面覆盖宽度W=150 km，探测器像元尺寸为5 μm，则本文设计的离轴反射系统指标如表1 所示。

表1 光学系统指标Table 1 Optical system parameters

1.2 初始结构设计

离轴反射系统的初始结构通常在同轴系统的基础上进行离轴，最后达到中心无遮拦的效果[6]。对于同轴系统的初始结构计算，假定3 个反射镜均为二次曲面，物体在无穷远，如图1 所示，即l1=∞，u1=0。设次镜对主镜的遮拦比为α1，三镜对次镜的遮拦比为α2，次镜的放大率为β1，三镜的放大率为β2，则有：

图1 同轴三反系统结构Fig.1 Structure of common-axis three-mirror system

根据像差理论[7]可以计算出初始结构的球差SⅠ、彗差SⅡ、像散SⅢ和场曲SⅣ的像差系数分别为

联立式（4）～式（7），并使各项像差系数为0，本文选用无中间像面的同轴反射结构作为初始结构，利用Matlab 进行编程解方程组，输入符合条件的轮廓参数即可得到一组初始结构参数[8]，如表2所示。根据以上条件得到系统的同轴初始结构，如图2 所示。

图2 初始三反系统结构Fig.2 Initial structure diagram of three-mirror system

表2 初始结构参数Table 2 Initial structural parameters

2 优化思路

2.1 设计优化

在得到同轴初始结构后进行离轴处理，离轴方式分为孔径离轴和视场离轴。孔径离轴情况下光阑在主镜上，光学结构不对称，故视场角无法做得太大；视场离轴情况下光阑一般在次镜上，有利于视场角的扩展，所以本文采用视场离轴的方式[9]。

设置波长为400 nm～1 000 nm，主镜和三镜均为非球面。给定同轴结构一个起始离轴视场角，并设置视场，稍作优化，在保证光线不被遮拦的情况下满足像质要求，得到小视场的离轴初始结构[10]。视场设置为x方向-5°～5°，y方向由于离轴视场的不对称性，视场设置为6°～7°，此时视场为线视场，需要在此基础上扩展视场。

调整三反系统光线无遮拦后，进行优化。优化过程中，Zemax 的计算方式会使系统趋于共轴，所以尽量不将距离以及角度设为变量，手动进行调整。扩大视场的方式应遵循逐步扩大的方法[11]，以1°、0.5°，甚至0.1°的幅度增加视场。

采用DIMX 和DISC 操作数在优化过程中控制畸变，优化采用波前+PTV 的方式，以质心为参考。由于视场的离轴不对称特性，光瞳采样采用矩形阵列更为合适，本文设计采用12×12 网格。使用EFFL 操作数控制焦距为800 mm，TTHI 控制镜面间距以及整体尺寸，COGT 以及COLT 控制二次曲面系数在合理的范围内[12]。除此之外，优化过程中时刻注意避免视场扩大导致光线遮拦，可编写ZPL 宏语言对整个结构框架进行限制。设计优化思路流程图如图3 所示。

图3 设计优化思路流程图Fig.3 Flow chart of design optimization ideas

2.2 自由曲面的应用

自由曲面区别于传统球面和非球面，具有非旋转对称性的特点，因此也拥有更高的优化自由度，对校正离轴系统的非对称性像差有天然的优势。自由曲面通常有两种数学方式进行描述：一是用离散点拟合描述，二是多项式组合描述。离散点拟合得到的自由曲面可以是任意形状的，但是在加工制造、检测等方面存在工艺性不足等问题。多项式组合描述方式具有较高的精度，所得到的自由曲面为连续平滑曲面，并且易于检测加工[13]。

在光学设计领域中，通常使用Zernike 多项式和XY多项式进行自由曲面设计[14]。本文采用Zernike 多项式进行设计，以二次曲面作为基底，用以下形式表示：

Zernike 多项式与像差理论吻合较好，其各项指标与Seidel 像差可以很好地对应，有利于我们在优化过程中平衡像差。Zemax 设计中常用Zernike Standard 和Zernike Fringe 两种形式，本文采用Zernike Fringe 形式。

在y方向大于10°以后，普通非球面已经很难平衡不对称性像差[15]，此时引入自由曲面，将主镜和三镜设置为Zernike Fringe 矢高形式的自由曲面。主镜和三镜优化后，在归一化半径为400 mm 情况下，Zernike Fringe 多项式系数如表3 和表4 所示。

表3 主镜Zernike 系数Table 3 Zernike coefficients of primary mirror

表4 三镜Zernike 系数Table 4 Zernike coefficients of tertiary mirror

表3 和表4 中并未选择所有的Zernike 系数进行优化，而是选择了与x视场方向（弧矢方向）无关的系数进行优化，这样x方向视场便可设置为对称视场。本文设置x方向视场为0°～6.5°对称视场以及y方向视场为6°～19°，二者组合形成矩形视场。最终得到焦距800 mm、相对孔径1∶5、视场角13°×13°的大对称视场的离轴三反光学系统，具体结构参数如表5 所示，光路图如图4 所示。系统中次镜为孔径光阑，无中间像面，主镜和三镜为Zernike 多项式自由曲面，次镜为二次曲面。

图4 光学系统光路图Fig.4 Optical path diagram of optical system

表5 系统优化后结构参数Table 5 Optimized structural parameters

3 像质评价

由奈奎斯特频率计算公式N=1/2α（α为探测器像元）可得，该系统的光学传递函数(MTF)参考频率为100 lp/mm，如图5 所示。光学传递函数是评价光学系统各项性能的综合体现[16]，由图5 可知，该系统在100 lp/mm 处光学传递函数大于0.5，符合设计要求。

图5 系统光学传递函数Fig.5 Modulation transfer function of system

点列图的RMS（均方根）半径能够很好地反映光斑的能量集中度[17]，本系统点列图如图6 所示，具体数值如表6 所示。本系统的艾里斑半径为4.276 μm，各个视场的最大弥散斑半径为3.105 μm，均小于艾里斑半径，且小于一个像元尺寸5 μm，满足清晰成像的要求。由于反射系统不产生色差，由图6 也可以看出，相同视场不同波长的光斑形状一致。图7 为本系统的能量集中度曲线，可以看出80%以上的能量集中在5 μm，也小于一个像元尺寸。图8 为该系统的场曲及畸变曲线图，可以看出畸变均在5%以内。

图6 系统点列图Fig.6 Spot diagram of system

图7 能量集中度曲线Fig.7 Energy concentration curves

图8 系统场曲及畸变图Fig.8 System field curvature and distortion diagram

表6 各视场RMS 光斑半径Table 6 RMS spot radius of each field of view μm

4 公差分析

公差分析是评判光学系统可行性的重要流程，公差如果过于严格，会导致成本上升甚至无法制造，公差过于宽松将会使成像质量下降严重。一般公差主要包括设计残余误差、加工误差和装调误差[18]。利用Zemax 软件进行公差分析，将公差分配成若干个公差类别，随机作用于光学系统。以100 lp/mm 处的衍射MTF 为标准，进行200 次蒙特卡洛分析，使用后截距进行公差补偿，根据实际加工装调状况对公差默认项进行适当地增添删改。最终公差分配结果如表7 所示[19]。从表7 可知，公差在可加工范围之内，满足实际生产状况。表8 为蒙特卡罗分析结果。

表7 离轴反射系统的系统公差Table 7 System tolerances for off-axis reflection system

表8 蒙特卡罗公差分析结果Table 8 Monte Carlo tolerance analysis results

5 结论

本文针对离轴反射系统在航空航天领域的优势，基于成像光学理论，计算出同轴反射系统的初始结构，再利用Zemax 软件对同轴系统进行视场离轴，引入Zernike 自由曲面并扩大视场，最终设计完成了一个视场为13°×13°，相对孔径为1/5，焦距为800 mm，波长为400 nm～1 000 nm 大对称视场的光学系统。该系统成像质量优良，MTF 接近衍射极限，在100 lp/mm 处大于0.5，RMS 光斑半径小于像元尺寸5 μm。系统公差分析结果表明，公差在可加工范围内，工艺性良好。