极点极线视角下一类“定点、定线及定值”问题的解法与命制

张宏江 舒华瑛

[摘  要] 圆锥曲线中的定点、定线及定值问题都有着深刻的高等数学背景——圆锥曲线的极点极线. 文章通过对圆锥曲线的极点极线的相关定义及性质的介绍与结论的推导，帮助师生从更高的观点理解圆锥曲线中一类定点、定线及定值问题的本质，快速找到解题方向，拓宽试题命制思路，提升高中数学的圆锥曲线的教学效率.

[关键词] 极点极线;调和共轭;定点;定线;定值

从近几年关于圆锥曲线的高考题来看，对定点、定线及定值问题的考查频次很高. 究其原因，笔者认为有以下两点：

（1）教材中的圆锥曲线的定义就是定点、定线及定值问题：椭圆（或双曲线）的第一定义是到定点（焦点）的距离的和（或差的绝对值）为定值的点的轨迹;圆锥曲线的第二定义是到定点的距离与到定直线（定点不在定直线上）的距离之比为定值的点的轨迹;二次曲线（圆、椭圆、双曲线）的统一定义是到两定点的连线的斜率之积为定值（需要补充若干个点）的点的轨迹.

（2）《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：教师实施课程标准应理解与高中数学关系密切的高等数学的内容，能够从更高的观点理解高中数学知识的本质. 圆锥曲线中的定点、定线及定值问题都有着深刻的高等数学背景——圆锥曲线的极点极线. 极点与极线是高等几何中一个基本且重要的概念，虽然在中学教材中没有具体介绍，但以它为背景命制的高考题却经常出现.

思考

圆锥曲线的极点极線是高等几何中的基本且重要的概念，以它为背景命制的高考题经常出现. 高中解析几何中的定点、定线及定值问题一般都是以极点极线为知识背景，掌握极点极线的相关概念与基本性质，可以从更高的观点理解定点、定线与定值问题. 应用极点极线的相关结论不仅可以直接解决定点、定线与定值问题，还可以给常规法提供解题方向. 学生解决解析几何运动与变化问题时，常用“动中求静”“变中求定”的思想，圆锥曲线中的这个“定”往往可以通过极点极线获得. 命制试题是教师面临的一大难点，但若教师清楚与高中数学关系密切的高等数学知识，能够从更高的观点理解高中数学知识的本质，则命制试题能做到游刃有余.