基于马尔科夫模型的教学效果评价体系构建

蒋飞翔

（南京铁道职业技术学院 运输管理学院，江苏 南京 210031）

衡量专任教师的教学效果的优与劣通常做法是以学生的期末考试成绩作为评价教师教学效果的依据。显然，用这样的标准去评价教师的教学效果是片面的，也缺乏相应的公平性。实际上，高等院校各个专业学生的入学成绩相差比较大，如果单以某学科的期末考试成绩来考量该学科教师的教学水平显然是不合理的。考虑到高考的入学成绩与所考察成绩的相关性，既应看到学生现在的成绩又要注意到以前的学习基础，着眼于现在，期望于未来，即：衡量教师的教学效果要以全体学生的学习进步程度作为基准。

近年来，关于教学效果评价的学者颇多。宋晓丽等构建了基于学生满意度的高校线上教学模式评价体系[1]，傅丽容等从培养学生的实践技能、科学思维和创新能力等方面构建了“三平台、三阶段、三层次”的实验教学评价体系[2]，任源等提供了环境工程微生物学全英课程的教改探索及评价体系[3]，白晓东提供了评价模型的理论依据[4]，郭智莲等给出了应用马尔科夫链评价教学质量的基本方法[5]，杨玉华提出了“进步度”的概念，在此基础上采用一步转移概率矩阵给出了一种有效的评价方法[6]，裴钰鑫等提出了“惩罚因子”的概念[7]，明确了转移概率矩阵中的区分度，提升了评价教学效果的科学性。

考虑到高等院校学生的每一次课程都是一次知识的积累，每一次课程都视为一次状态的转移，这一现状符合马尔科夫链的极限状态要求，因此可利用马尔科夫模型来确定学生的最终学习效果，结合教学效率期望及加权教学效率期望，科学地构建教学效果评价体系以便评价专任教师教学效果的优与劣。

1 马尔科夫过程的原理

1.1 马尔科夫链的定义

过去只影响现在，过去不会影响将来，这种随机过程称为马尔科夫过程。状态离散的马尔科夫过程被称为马尔科夫链[8]。

定义1 设{Xn,n≥0}是定义在概率空间上的随机过程，状态空间为S,若对于任意的n≥1及任意的整数0 ≤t1

则称{Xn,n≥0}为马尔科夫链，简称马氏链。显然，马氏链具有无后效性。

定理1 随机过程{Xn,n≥0}是马尔科夫链的充要条件，是对任意的n≥1及任意的i1,i2,…,in,j∈S,有

1.2 转移概率

定义2 设{Xn,n≥0}是状态空间S的马尔科夫链，称

为系统在时刻m处于状态i的条件下经n步转移到j的n步转移概率，显然，对于转移概率(m)具有：

定理2 设是马尔科夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率，则任意的i,j∈S,m,n≥0,有

定理3 马尔科夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率pij可以确定所有的n步转移概率p(n)ij。

定理4 设{Xn,n≥0}是马尔科夫链，则其任意有限维概率分布完全由初始分布和一步转移概率决定[9]。

2 马尔科夫模型

2.1 建立合理的指标体系

选取考察样本，将样本按照一定的规则排序后分为n个等级，算出所有等级在所选样本中的比例，得到初始状态向量，即

2.2 构造转移概率矩阵

2.3 求出稳态概率向量

经过若干次的状态转移之后，每一等级的总数量在样本中的比例趋于稳定[10]。设稳态概率向量为，则有，即

3 马尔科夫模型教学效果评价体系构建

3.1 惩罚因子

学生期末考试成绩的变化，涉及到“进步”与“退步”两种作相反的结果。学生成绩进步一个等级与学生成绩进步两个等级所产生的效果有显著不同。为区分这些结果，本文将原有转移概率矩阵p转加以修正：将每一元素都乘以“2(i-j)”作为惩罚因子[11]。令

显然，当i

3.2 教学效果期望值

由本文的2.3部分求出稳态概率向量后，引入教学效果期望概念。

定义3 设，则

称为教学效果期望值[12]。其中，Xi为第i等级学生的平均成绩。之后，比较不同班级的E(π稳)的大小，当E(π稳)较大时，表明该班教师的教学效果较好。

3.3 关于马尔科夫模型教学效果评价体系的说明

（1）模型评价体系的条件

该模型评价体系是以学生的期末考试成绩作为指标向量，则模型中的最初成绩及最终成绩均应服从正态分布[13]。

（2）模型评价体系的优点及缺点

优点：排除了因学生的学习基础差异而对教学效果评价造成的不公正影响，也排除了因试卷难度的差异而对教学效果评价造成的不公正影响，较为客观地反映出教师的教学效果。

缺点：影响学生学习成绩的因素比较多且错综复杂，但该模型评价体系只考察了教师的教学效果这一因素对学生学习成绩的影响，具有一定的局限性。

4 实例分析

为了较为清晰地阐释马尔科夫模型教学效果评价体系的应用，引例如下：

2021年9月，南京市某高校运输管理学院开设8个班的城市轨道交通运营管理专业，共计368名学生。我们选取城轨交通2101班（记为甲班，共计46名学生）、城轨交通2102班（记为乙班，共计38名学生）、城轨交通2103班（记为丙班，共计40名学生）和城轨交通2104班（记为丁班，共计42名学生）这4个班级的学生群体在2021～2022学年度《高等数学》课程的考试成绩作为研究对象来考察这4个班级的高等数学任课教师的教学效果（表1、表2）。

表1 第一学期末《高等数学》考试成绩各等级人数Table 1 Number of students in each level of Higher Mathematics examination at the end of the first semester

表2 第二学期末《高等数学》考试成绩各等级人数Table 2 Number of students in each level of Higher Mathematics examination at the end of the second semester

为排除因试卷难度的差异而对教学效果评价造成不公正影响，现处理如下：（1）成绩排序 将城市轨道交通运营管理专业全体8个班级学生第一学期末的《高等数学》考试成绩按照由高到底的顺序排列；（2）确定成绩等级 将城市轨道交通运营管理专业全体368名学生第一学期末的《高等数学》考试成绩排名前10%（含10%）视为等级1，排名前10%（不含10%）至排名前32%（含32%）视为等级2，排名前32%（不含32%）至排名前68%（含68%）视为等级3，排名前68%（不含68%）至排名前90%（含90%）视为等级4，排名前90%（不含90%）至排名前100%（含100%）视为等级5，此时各个成绩的等级人数完全服从状态分布；（3）确定第一学期末各班的各等级人数 将第一学期末甲班、乙班、丙班和丁班《高等数学》考试成绩按照步骤（2）的要求来确定各班的等级1～等级5的具体人数（详见表1）；（4）确定第二学期末各班的各等级人数 依照步骤（1）至（3）的顺序，确定第二学期末各班的等级1～等级5的具体人数（详见表2）；（5）确定转移概率矩阵 依据步骤（3）和（4），确定甲班、乙班、丙班和丁班《高等数学》考试成绩的各个等级的转移概率矩阵，具体如下：

设最终甲班的稳态概率向量为π稳(甲班) =,由本文的2.3 部分知：π稳(甲班)*P转(甲班) =π稳(甲班)，即：

同理可得

4.1 基于稳态概率向量的教学效果期望

将等级1至等级5的成绩分别取各自等级的中位数（在全体368名学生中），即：95.21,84.14,78.02,63.22,53.23，参照稳态概率向量，这4个班级的教学效果期望分别为

显然，丙班的教学效果最好，乙班的教学效果次之，丁班的教学效果再次，甲班的教学效果最差。

4.2 基于惩罚因子的教学效果期望

将原有转移概率矩阵p转的每一元素都乘以惩罚因子“2(i-j)”，则

显然，丙班的教学效果最好，乙班的教学效果次之，丁班的教学效果再次，甲班的教学效果最差。由上述分析可知，基于稳态概率向量的教学效果期望与基于惩罚因子的教学效果期望的评定结果相同。

5 结语

基于马尔科夫模型的教学效果评价体系是一种立足于动态的评价体系，更加注重不同成绩等级的学生在各个成绩等级之间的转移情况，排除了不同学生因学习基础的差异以及因试卷难度的差异而对教学效果评价造成的不公正影响。该评价体系比惯常的以学生考试分数平均分及考试合格率为标准的教学评价模式具有更高的科学性和实用性。