函数零点巧创设,导数工具妙应用

■江苏省上冈高级中学 洪 郑

导数及其应用作为高中数学的重点知识之一,有其自身的知识框架体系,也是解决一些函数及其相关问题的重要工具之一,成为新高考数学试卷压轴题的首选知识之一。而函数零点问题的巧妙创设,为导数及其应用构建更加丰富多彩、形式多样的问题场景,成为考生学习的一个难点与瓶颈。

一、抓住一个定理——零点存在性定理

函数的零点存在性定理可以结合函数在给定区间(a,b)上的单调性,以及在区间的端点处的函数值情况,确定函数在相应区间上存在唯一的零点,而不需要直接求解具体的零点值,“弯道”解决。

例1(2023 年广东省广州市高考数学模拟试卷)已知函数f(x)=ex+sinxcosx,f′(x)为f(x)的导函数。

(1)证明:当x≥0时,f′(x)≥2;

(2)设g(x)=f(x)-2x-1,证明:g(x)有且仅有2个零点。

解析:(1)由f(x)=ex+sinx-cosx,求导得f′(x)=ex+cosx+sinx。设h(x)=ex+cosx+sinx,则h′(x)=ex-sinx+cosx。当x≥0 时,设p(x)=ex-x-1,q(x)=x-sinx,因为p′(x)=ex-1≥0,q′(x)=1-cosx≥0,所以p(x)和q(x)在[0,+∞)上单调递增,所以p(x)≥p(0)=0,q(x)≥q(0)=0,所以当x≥0时,ex≥x+1,x≥sinx,则h′(x)=ex-sinx+cosx≥x+1-sinx+cosx=(x-sinx)+(1+cosx)≥0,所以h(x)=ex+cosx+sinx在[0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=2,即当x≥0时,f′(x)≥2。

(2)由已知得g(x)=ex+sinx-cosx-2x-1。

①当x≥0时,因为g′(x)=ex+cosx+sinx-2=f′(x)-2≥0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,又因为g(0)=-1<0,g(π)=eπ-2π>0,所以由函数的零点存在性定理可知g(x)在[0,+∞)上仅有1个零点。

综上所述,g(x)有且仅有2个零点。

点评:巧妙利用导数研究函数的单调性与最值,综合考查不等式的证明及函数零点存在性定理的应用,考查分类讨论思想与逻辑推理能力等。以函数的零点存在性定理为突破口,结合分类讨论探究在不同区间上各自仅有1个零点,从而实现问题的分析与证明。

二、构造一类函数——新函数

合理构建新函数模型,为一些复杂的函数解析式的正负取值判断提供更加精准的条件,特别是涉及复杂积式或分式问题,经常可以通过分解成一部分比较简单容易判断与另一部分不易操作的情况,合理构建该部分为新函数来化归与转化。

点评:借助新函数的构建与求导处理,利用导数求解函数的单调性,函数零点的个数判定,以及利用分离法求解参数的取值范围问题。以构造新函数为主,借助导数及其应用,综合函数的零点的相关知识来综合与应用,多层面化归,多视角转化,合理应用,从而得以分析与判断函数的零点个数问题。

三、借助一种思维——极限思维

对于一些无法直接确定函数值的正负情况问题,借助极限思维,往往可以进一步拓展思维,从而解决函数在x→a时对应的函数值情况,为函数零点的分析与判断提升更加广阔与深远的思维。

点评:综合导数及其应用来解决涉及函数的零点与方程的根的综合应用问题。巧妙借助极限思维,可以用来解决一些连续函数具有单调性,而对应的函数图像不明确,但相应的函数值可以极限取值的相关问题,极限思维是拓展思维与应用的一个有效手段。

在利用导数及其应用解决函数中的零点问题时,特别涉及一些零点不可求的相关问题,往往可以采取适当措施,抓住“一个定理”加以试探,构造“一类函数”加以应用,借助“一种思维”加以拓展,有时一种策略独领风骚,有时多种策略齐心协力,多措并举,合理化归与转化,综合函数与方程思想,或数学运算,或逻辑推理,探究函数零点的相关情况,从而达到巧妙解题的目的。