破解极值点偏移问题的方法与技巧

■安徽省阜阳第一中学 董 晓

极值点偏移问题是近几年来高考数学中经常出现的一类热点与难点问题之一,往往以压轴题的形式出现,难度非常大,很多考生对此类问题无从下手、束手无策。熟练把握极值点偏移问题的基本特征与对应类型,掌握一些基本的破解方法与技巧,可以借助对称化构造辅助函数法来分析与处理,也可以借助比值代换法转化为单变量的函数不等式法来分析与处理,思维视角多种多样,切入方式各异,都能有效转化,巧妙应用,合理破解。

一、对称化构造辅助函数

例1已知函数f(x)=+1。

(1)若曲线y=f(x)在x=1 处的切线与直线x-y=0垂直,求函数f(x)在区间(0,1)上的最大值;

(2)当a=1时,设函数f(x)的两个零点为x1,x2(x12。

解析:(1)由题意得,函数f(x)=lnx-的定义域为(0,+∞),f′(x)=-ax。因为曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x-y=0垂直,所以f′(1)=1-a=-1,解得a=2。

点评:对称化构造辅助函数来破解极值点偏移问题,往往是用来解决与两个极值点之和、积等相关不等式的证明问题,结合条件确定函数并构建对称函数,将相关不等式加以等价转化并与函数加以联系,利用函数的单调性进行判断,进而比较大小与巧妙转化,从而实现问题的破解。

二、合理选取函数

例2已知函数f(x)=x-ea+x(a∈R)。

(1)若a=1,求函数f(x)的图像在x=0处的切线;

(2)若f(x)有两个零点x1,x2(x12。

解析:(1)当a=1 时,f(x)=x-e1+x,则f′(x)=1-e1+x,f′(0)=1-e,则函数f(x)的图像在x=0处的切线的斜率为1-e。又因为f(0)=-e,所以所求切线的方程为y=(1-e)x-e,即(e-1)x+y+e=0。

(2)设函数g(x)=x-lnx+a,则函数g(x)与函数f(x)具有相同的零点,g′(x)=易知函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则g(x)≥g(1)=1+a。当x→0时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g′(x)→1,g(x)→+∞。要使f(x),即g(x)有两个零点,只需g(1)<0,即1+a<0,解得a<-1。

设函数F(x)=g(x)-g(2-x)(1

由题意得02。

点评:合理选取函数是解决极值点偏移问题时最基本的切入点,不同函数的选取与应用,往往决定问题破解的难易程度与分析过程,选取最为合适的函数来处理,可以优化运算,简化过程,提升解题效益。

三、等价转化结论

例3(2022 年天津市滨海区高考数学模拟试卷(5月份)(三模))已知函数f(x)=lnx,

(1)当a=-1,b=0 时,求曲线y=f(x)-g(x)在x=1处的切线方程;

(2)当b=0 时,若对任意的x∈[1,2],f(x)+g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;

(3)当a=0,b>0 时,若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1,x2(x12。

点评:等价转化结论来破解极值点偏移问题,是分析法证明一些不等式成立问题中比较常见的思维方法,通过结论的等价转化,使得问题的破解更加接近于已知条件或更加吻合思路的历程,从而通过合理选取函数来等价转化与解决问题。

四、比值代换:化双变量为单变量

点评:比值代换来破解极值点偏移问题,是处理多参数(一般是两个)问题中比较常用的一个技巧方法,通过比值代换(有时也借助差值代换)化双变量为单变量问题,合理消参减元,进而转化为相应的函数问题来分析与处理。

熟练理解并把握极值点偏移问题的基本破解方法与技巧策略,抓住以上几种技巧策略的实质,合理化归与转化,以不同的策略巧妙构建函数,利用导数的运算与应用,以及函数的单调性、极值与最值等来综合应用,巧妙破解问题。