文艺复兴，是数学精神的复兴

蔡天新

布鲁内莱斯基的探索

文艺复兴时期德国最重要的画家丢勒（Albrecht Dürer，1471—1528）的木刻《为躺着的妇人作画》，告诉我们画家是如何作画的。右边是画家本人，左边是他的模特。画家在中间放置了一块玻璃屏板，上面描好方格子，同时他的画布上也用铅笔描好方格子。模特透过玻璃屏板，会有一个轮廓呈现。例如，鼻子在点A上，膝盖在点B上，而肚脐又在点C上。画家只需依样画葫芦，便又轻松又准确地把人物描绘到平面上。

这就是透视原理（perspective principal），但它不是丢勒的首创和发现。丢勒出生于纽伦堡，小时候在作坊里学习绘画，后来又拜名师学艺。从18岁开始，丢勒到处旅行，先是去尼德兰和瑞士，后来两次长期旅居意大利，既丰富了生活阅历，又学到了包括意大利画家的透视原理在内的绘画技巧。事实上，早在丢勒出生前半个多世纪，意大利就有一位艺术家致力于透视法的探索和实践。

大约在1413年，布鲁内莱斯基（Filippo Bruneleschi，1377—1446）展示了后来的艺术家广泛使用的透视技法的几何原理。布鲁内莱斯基出生在佛罗伦萨，他的父亲是公证人，小时候他接受父母的安排，学习文学和数学，希冀子承父业，做一名公仆。后来他依照自己的意愿改行学做金匠和雕刻师，然而由于某种原因，在一次有把握获胜的雕刻竞赛中他没有成功，一气之下又改行从事建筑设计，那时候文艺复兴运动已经开始了。

布鲁内莱斯基最重要的作品是佛罗伦萨主教堂（1420—1436），迄今它仍是包括作者在内的各国游客的必到之地，也使得他成为文艺复兴时期意大利最重要的建筑师。正是在他建筑生涯的初期，布鲁内莱斯基重新发现了原本为希腊人所知晓后来却在欧洲中世纪失传的透视原理。据说他用两块描绘佛罗伦萨街道和建筑的油画证明了他的发现，可惜这两块画板现已遗失。

從布鲁内莱斯基用来举证的两块画板上的油画是街道和建筑这件事来看，他所重新发现的透视原理很可能是没影点。所谓没影点（vanishing point），是指三维空间里两条平行的直线其延长线在视觉印象里相交于无穷远点。举例来说，铁道线的两条铁轨向无限方向延伸时，在无穷远处是相交的。这一现象并不是孤立的，又如茶杯的杯沿通常是圆形的，但看起来却像是椭圆，无论我们站在近旁还是远处。

可以说布鲁内莱斯基创立了科学绘画，他的学生和后辈中，乌切洛（Ucelo，1397—1475）、德拉·弗 朗 切 斯 卡 （dela Francesca，1416—1492）、马萨乔（Masacio，1401—1428）都对透视学作出了重要贡献。马萨乔是第一个运用老师引入的透视法的画家，他的《纳税钱》比任何早期作品都更具有写实主义气息，同时表现出了距离感。16世纪的艺术史家瓦萨里（GiorgioVa-sari，1511—1574）认为，马萨乔是第一个达到完全真实地描绘事物的艺术家。

从流传下来的作品来看，乌切洛并非最杰出的艺术家，他表现透视学方面的佳作随着时间的流逝被严重毁坏，已经无法复原了，不过仍然显示出景物的表面、线条和曲线的复杂性。他生前潜心于透视学这门“十分可爱的学问”之中，常常在妻子的催促下才上床睡觉。瓦萨里记载，“为了研究透视学中的没影点，他曾经通宵达旦”。

德拉·弗朗切斯卡使得透视学变得成熟，他对几何学抱有极大的热情，每个位置都事先安排得非常精确，以保持与其他图形的比例关系，同时使作品的整个部分一体化。他喜欢弯曲光滑的曲面和完整性，甚至对人物身体的每个部位及其服饰都运用了几何形式。他的作品《耶稣复活》和《鞭笞》是透视学的两幅佳作，同时也是艺术史上的珍品。

假如你有机会欣赏到古典油画，画中有家具或天花板的话，那一定是有平行线的。你将会发现，把每组相互平行的线各自朝一个方向延长，都会相交于同一点，那也正是vanish这个动词的原意，即“消失”。

阿尔贝蒂的无解之问

在布鲁内莱斯基27岁那年，另一位杰出的意大利建筑师阿尔贝蒂（Leone Alberti，1404—1472）出生于热那亚，比同城出生的航海家克里斯托弗·哥伦布早了将近半个世纪。阿尔贝蒂是佛罗伦萨一位银行家的私生子，自小他就跟着父亲学习数学，后曾在帕多瓦念书，再到博洛尼亚大学深造，获得法学博士学位。之后，他随一位红衣主教游历了法国、比利时和德国，1432年定居罗马，担任教皇的秘书。

阿尔贝蒂多才多艺，他曾用拉丁文创作喜剧，在他的文艺著作《论绘画》中，首次引入了投影线和截景等概念，阐明了从三维物体到平面画布的透视原理。阿尔贝蒂也是文艺复兴时期最伟大的建筑理论家，著有十卷本的《论建筑》，此书用拉丁文写成，他认为建筑必须实用、经济、美观，尤以前两者为先决条件。在阿尔贝蒂看来，建筑物的美是客观存在的，美就是和谐和完整。

阿尔贝蒂还从人文主义出发，用人体的比例来解释古典柱式。他像哲学家一样提出他的思考：“一个人只要想做，他就能做成任何事情。”“我希望画家通晓全部自由艺术。但我首先希望他们精通几何学。”“借助数学的工具帮助，自然界将显得更为迷人。”不过，《论建筑》要等到阿尔贝蒂身后13年才得以出版。五个多世纪过去了，他留下的建筑仍有佛罗伦萨的鲁奇拉府邸、新玛利亚教堂，里米尼的圣弗朗西斯科教堂，曼图亚的圣安德烈亚教堂等，其风格雄伟有力。

丢勒的故乡纽伦堡在德国的巴伐利亚，他的父亲是个成功的首饰匠，出生在匈牙利东南靠近罗马尼亚边境的久洛（Gyula）附近，28岁那年移居纽伦堡。丢勒的姓氏Ajtos原本对应于德语里的Turer，而按照纽伦堡人的发音习惯，才改为Durer。起初，家人也想把他培养成家族的继承人，但他在作坊里学会了绘画，并在13岁时照着镜子逼真地画出自己的肖像画。

丢勒请求父亲让自己学作画，结果父亲答应了，他的一个兄弟继承了家业。父亲送丢勒进了当地一家画室，三年学徒期间，他学到了各种绘画技巧，尤其是木刻插图和铜板技巧，之前他的同胞谷登堡发明了活字印刷。出师以后，丢勒走出画室，漫游了四年，沿着莱茵河到达法兰克福、科隆和巴塞尔，并远至尼德兰（荷兰）。23岁那年，他与故乡的一位音乐家的女儿阿格列萨结了婚，那年他曾为新娘画过一幅素描。

丢勒第一件伟大的作品是《启示录》，这是由14幅版画组成的杰作。《启示录》是《圣经》里最后一篇充满恐怖奇想的经文，告诫信徒若不笃信基督，将会遭受惩罚。其中最有代表性的一幅是《四骑士》，骑士们或拉弓射箭或举剑挥砍，举起的空天平象征饥饿，而枯瘦的老人代表死亡，胯下的战马正无情地践踏倒下的人群。这是当时德国真实生活的反映，正是在这种历史气候下，16世纪初马丁·路德开始了宗教改革。

之后又有12年时间，丢勒携家侨居国外，期间两次在意大利长住。从意大利画家那里，他学到了透视法并进行了一番研究，画出了多幅木刻来说明如何利用截景绘画。除了上一节介绍的《为躺着的妇人作画》，还有《为坐着的男子作画》，以及《画罐》《画琵琶》等。后来，他把意大利人的发明带回到德国，使之流行于欧洲的北方。

为此，丢勒写作了一本广为流传的小册子《直尺圆规测量法》。这本书是关于几何学的，但也谈到了透视法。他认为，创作一幅画的透视基础不是信手涂画，而应该依据数学原理构图。在丢勒的影响下，18世纪初的英国数学家泰勒（以发明泰勒公式和泰勒级数闻名）、法国数学家兰伯特（证明圆周率是无理数）都撰写过透视学的权威著作。

1505年，丢勒再次来到意大利，这次他不仅为了学习取经，也为了他的作品被人抄袭讨个公道。74岁高龄的威尼斯画派领袖贝里尼（提香的老师）接见了他，询问比自己年轻40岁的德国才俊能否给一支他用过的画笔。在那个年代艺术家还带有手工特技和师徒传艺的风俗，画家自制的绘画工具和材料常常带有保密的性质，就像达·芬奇用左手反写“反字”的笔记本一样。

原来，贝里尼（Giovanni Belini，1430—1516）见到丢勒画的人物须发特别纤细流畅，故而认为他一定有特殊的画笔。没想到丢勒拿出一大把很普通的画笔，让老画家随意挑，并当场画出“一缕柔软纤细波浪式的女性秀发”。事实上，丢勒本人的自画像里也有卷曲优雅的头发。目睹此情此景，贝里尼大为赞叹，出高价购买丢勒的画作，这等于帮丢勒做了很大的宣传广告。

丢勒可能是文艺复兴时期所有艺术家中数学造诣最深的人。在《直尺圆规测量法》一书中，他谈到了空间曲线及其在平面上的投影，还介绍了外摆线，即一个圆滚动时圆周上一点的轨迹。更有甚者，丢勒考虑到了曲线或人影在两个或三个相互垂直的平面上的正交投影，这个想法极其前卫，直到18世纪才由法国数学家蒙日发展出一门数学分支，叫画法几何，蒙日并以此在数学史上奠定地位。

1514年5月17日，丢勒深爱的母亲病故，他陷入一种悲哀。当年晚些时候，丢勒创作了铜版画《忧郁》寄托哀思，画面前方有个左手扶额作沉思状的坐着的青年女子，背景里有球、多面体等几何图形和一束光芒，右边房屋的窗子实为一个四阶幻方，即各行、各列和两条对角线元素之和均为34。

事实上，此幻方九个二阶小矩形中，有五个（四个角和中央）的元素之和也为34；还有四个顶点和任意三阶矩形或任意斜矩形的顶点之和也为34。幻方的出现无疑加重了画面的抑郁气氛和神秘感，也帮助它成为一幅世界名画。更有意思的是，幻方的最后一行中间两个数恰好组成了画作的完成年份，即1514（还有研究者发现5和17在其中的隐秘关系）。由此可见，丢勒对如何构筑幻方已经游刃有余。

虽说在中国，13世纪的南宋数学家杨辉的幻方更早出现，印度克久拉霍（Khajrāho，10—11世纪月亮王朝的故都）耆那教寺庙墙上的幻方更为完美，但因为丢勒同时也是著名的画家，所以他的幻方最为著名。丢勒以其观察的精微和构思的复杂，将其丰富的思维与热烈的理想结合在一起，产生了一种独特的效果。晚年的丢勒致力于艺术理论和科学著作的写作，包括绘画技巧、人体比例和建筑工程，并且他亲自为这些书制作插图。

丢勒在书中写道：“出自一切作品的东西，要数漂亮的人体最能使我们感到愉快，所以我就从人体比例写起。”他还曾经这样说过：“求知，以及通过求知去理解一切事物的本质，这是一种天赋……而真正的艺术，是包含在自然之中的，誰能发掘它，谁就掌握它。”

（摘自2021年7月21日《中华读书报》）