对与惠斯通电桥相关电路的深入剖析

王伟民 辛存良

摘   要：用初中物理知识解答一个与惠斯通电桥相关的电学问题。将惠斯通电桥电路中相邻两臂替换为滑动变阻器线圈电阻两部分的情形，用逻辑推理的方法导出电桥对角线电流与滑动变阻器线圈中一端电阻之间的函数关系式，再利用求导的方法确定函数的增减性，结合相关条件，进而可以确定在滑片滑动过程中对角线电流的变化范围；设计虚拟实验和实物实验，对电流表读数的变化规律进行实验验证。

关键词：惠斯通电桥；电流表；正向偏转；滑动变阻器；单调增加

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）8-0056-3

惠斯通电桥又称单臂电桥，是一种可以精确测量电阻的仪器，比用欧姆表测量未知电阻阻值的结果要精确的多。实际上，利用惠斯通电桥不仅可以测量电学元件的电阻，在已知条件改变时也可以相对精确地测量其他相关的电学量。

电桥平衡是高中物理教辅资料电学竞赛板块经常出现的一类问题，此类问题可以考查學生对闭合电路的欧姆定律、电势等知识点的掌握情况和综合运用物理知识解决复杂物理问题的能力。解决与电桥平衡有关的问题，往往需要涉及到电势这一高中物理才出现的电学物理量［１］。那么，与电桥平衡相关的物理问题如果在初中物理教学中呈现，在不补充高中物理内容的情况下，可否利用初中学生已有的物理知识进行解决呢？

1    运用初中知识如何解决与电桥有关的电学问题

例题1 如图1所示的电路，已知定值电阻R1=2 Ω，R2=6 Ω，R3=3 Ω，R4=4 Ω，电源电压U=3.6 V保持不变，不计电源和电流表内阻，求当S闭合时电流表的读数。

我们尝试绕开电势这一高中物理知识点，仅用初中物理知识进行解答。

分析 因为不考虑电流表的电阻，电流表可视为导线，因此整个电路的连接方式为：R1与R3并联，R2与R4并联，这两个并联部分分别作为整体再串联。当开关S闭合时，通过R1和R2的电流方向均为向右，而通过电流表的电流有三种可能：大小为零、方向向上或方向向下。设通过电阻R1与R2的电流大小分别为I1和I2，通过电流表的电流大小为IA，当通过电流表的电流方向向下时（图2），有IA=I1-I2；当通过电流表的电流方向向上时（图3），有IA=I2-I1；当通过电流表的电流为零时，上面的两个等式均成立。综合以上三种情况，仅从通过电流表电流的大小角度考虑，无论通过电流表电流方向如何，都有IA=I1-I2。当开关S闭合时，整个电路的总电流为

并联电路中，干路电流在各支路电流的分配与各支路电阻成反比，可得

将题目所给已知条件代入可得IA=0.2 A。这样，我们仅用初中物理知识就解决了与电桥相关的这个物理问题。

如果以向下的方向为通过电流表电流的正方向，那么，通过电流表的电流可以表示为

我们不妨以此为基础来推导电桥平衡时（即通过电桥对角线电流表的电流为零时）各臂电阻应该具备的关系条件。

这说明，电桥两组对边的四个电阻中，对边电阻的乘积相等时，电桥平衡。显然，这一结果与利用电流表两端电势相等为条件推理的结果是一样的。

2    电桥问题中电流最值的讨论

例题2  如图4所示的电路，滑动变阻器线圈AB的电阻R0=60 Ω，两个定值电阻的阻值分别为R1=20 Ω，R2=30 Ω，电源电压U=30 V保持不变，量程为-3 A～+3 A的电流表按图4所示方式接入电路（图示电路图中，电流从电流表上方进入时，其指针正向偏转，电流从下方进入时，电流表指针反向偏转），在滑片P由A端滑至B端的过程中，试确定：

（1）滑动变阻器AP段的电阻多大时，电流表的读数为零？（2）电流表读数的变化范围？

分析 该题目的第一问比较简单，根据电桥的平衡条件，只需列出一个以AP段电阻为未知数的方程，即可方便地确定满足条件的滑动变阻器AP段的电阻值。题目第二问的求解相对麻烦，在滑动变阻器的滑片P滑动过程中，电桥相邻两臂PA段和PB段的电阻都在发生变化。由于二者电阻之和已知且固定，所以其中一段的电阻可以用另一段的电阻来表示。又因为电桥另外两臂的电阻值也已知，电源电压确定，因此，如果把滑动变阻器整个线圈中一段的电阻视为自变量，而把通过电流表的电流视为因变量，那么利用在例题1解题过程中推出的通过电流表电流的表达式，即可建立一个电流表读数与滑动变阻器线圈中一端电阻关系的函数［２－３］。如果能够确定函数的增减性及函数单调变化时自变量的范围，那么就可以根据题目条件确定电流表读数的变化范围。

解析 （1）根据电桥的平衡条件，电流表读数为零时，有

R1RPB=R2RPA

代入数据解得RPA=24 Ω，即滑动变阻器AP段的电阻RPA=24 Ω时，电流表的读数为零。

（2）设滑动变阻器PA段电阻RPA=R3=x时，电流表的读数为IA，则此时PB段的电阻RPB=R4=60-x。所以（这里增添R3和R4两个字母的用意是想利用在例题1后面推理出来的通过电流表电流的公式）

为了解函数的增减性，需确定函数的驻点，对x求导，并令其导数等于0，可得

这个关于x的一元二次方程根的判别式为：

对于该函数，当滑片P在A端时，x=0，有

这种情况下，电桥电路演变为R2与整个滑动变阻器的线圈并联之后接入电源，而电流表与R2是串联的，所以电流表的读数等于电源电压除以R2的阻值（数值为负说明电流是反向的）。

当滑片P滑至B端时，x=R0=60，有

这种情况下，电桥电路演变为R1与整个滑动变阻器的线圈并联之后接入电源，而电流表与R1串联，所以电流表的读数等于电源电压除以R1的阻值（数值为正说明电流是正向进入的）。

所以，滑动变阻器的滑片P由A端滑至B端的过程中，电流表读数的变化范围是-1 A～1.5 A。电流表的读数在单调增加。

3    实验验证

筆者用“中学电路虚拟实验室”软件设计了如图5所示的电路进行实验验证，也利用实验室的实物元件进行了类似的实验（实物实验选择的是阻值不等的两个定值电阻。图5所示的虚拟实验，选择L1，L2两灯泡串联的用意是，它们串联的整体视为一个电阻，因为这个虚拟实验给出的实验器材，灯泡的规格都是相同的）。选择这个软件做实验的突出优点是，该软件中的各元件都是理想元件——导线、电流计、电池等元件没有内阻，电源电压恒定，灯泡电阻也不受温度变化的影响，因此在滑动变阻器滑片滑动的整个过程中，实验现象不受这些元件电阻和电源电压变化及灯泡灯丝电阻变化的影响。图5用电流计来显示电桥对角线通过的电流，可以看出滑动变阻器的滑片从一端移动到另一端的过程中，电流计的读数在做单调性变化，虚拟实验的实验结果和真实元件做实验的实验结果都跟上面推理的结论完全相符。

4    结  语

由以上分析可以看出，对于和惠斯通电桥有关的电学问题，如果我们采用特定的方法，绕开电势这一高中物理知识点，仅利用初中物理已有的电学知识也是可以解决的。在惠斯通电桥问题中，对相邻两臂为滑动变阻器线圈电阻两部分的情形，这两臂电阻之和保持恒定，通过建立对角线电流与其中一部分线圈电阻之间的函数关系，利用对函数求导的方法确定函数的增减性，结合相关已知条件，进而可以确定在滑动变阻器滑片滑动过程中对角线电流的变化范围。

参考文献：

［1］沙育年.不平衡式仪器作交流电桥平衡检测的实验研究［J］.物理教学探讨，2010，28（8）：3-5.

［2］陈玉奇.物理竞赛中不平衡电桥电路的几个分析方法［J］.中学物理，2013，31（5）：39-42.

［3］姚春贤.物理竞赛中含有非平衡电桥的复杂电路问题研究［J］.物理教师，2019，40（1）：94-97.

（栏目编辑    蒋小平）