基于轮对系统的激变及多稳态动力学研究

张凯旋　乐源

摘要：以两自由度铁道机车轮对自治系统为研究对象，得到行进过程中随速度参数变化的横移分岔图进行数值模拟。基于Floquent乘子刻画周期解稳定性，利用Lyapunov指数刻画混沌运动。将滞后环与多稳态现象联系起来，在滞后环内部，系统存在多稳态共存；在滞后环外部，多稳态共存消失，滞后环边界处产生边界激变现象，边界激变是由于不稳定周期轨道与稳定周期轨道相接触导致分岔图产生的跳跃现象。基于吸引域图，对滞后环内外多稳态共存现象的出现和消失进一步解释并求解了边界处的Floquent乘子和混沌区域的最大Lyapunov指数。

关键词：轮对系统；滞后分岔；激变；多稳态；Floquent乘子

中图分类号：O322；U27                           文献标志码：A                  doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.08.001

文章编号：1006-0316 （2023） 08-0001-07

Crisis and Multistability of Railway Wheelset System

ZHANG Kaixuan，YUE Yuan

（ Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province， School of Mechanics and Aerospace Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China ）

Abstract：Taking a two-degree-of-freedom railway wheelset autonomous system as the research object， the transverse bifurcation diagram varying with the speed parameter during the traveling process is obtained for numerical simulation. The stability of periodic solution is described based on Floquet multipliers， and chaotic motion is described by Lyapunov exponents. The hysteresis loop is connected with the phenomenon of multistability. Inside the hysteresis loop， there is the coexistence of multistability in the system; outside the hysteresis loop， the coexistence of multistability disappears， and the boundary crisis phenomenon occurs at the boundary of the hysteresis loop. The boundary crisis is the jumping phenomenon resulted from the bifurcation diagram， which is caused by the contact between the unstable periodic trajectory and the stable periodic trajectory. Based on the basin of attraction， the appearance and disappearance of the multistability coexistence phenomenon inside and outside the hysteresis loop are further explained. The Floquet multipliers at the boundary and the largest Lyapunov exponents of the chaotic region are solved.

Key words：wheelset system；hysteresis bifurcation；crisis；multistability；Floquet multiplier

列車行进过程中时常会有蛇行运动现象，蛇行运动会导致列车轮对与轨道之间出现碰撞接触，长期的碰撞接触会使轮对和轨道产生磨损消耗，极易发生脱轨、倾覆等安全问题，并且这种不规律的往复横移会极大影响乘坐舒适性。蛇行运动的横移幅值和频率受到很多参数的影响，因此需要对轮对系统进行动力学研究，使在列车设计和安全检测的过程中，有理论根据地进行参数优化，避免很多安全隐患。

在国外研究中，Huilgol^[1]对铁道车辆动力学进行了分岔分析，并发现了系统中的非对称运动，但没有进行更加深入的分析和解释。其后，Isaksen^[2]在机车动力学系统中发现了混沌，Meijaard等^[3]通过对正弦轨道上滚动轮对的研究，得出混沌是由于受迫振动产生的结论。近代对动力学的研究中，Knudsen等^[4]用延续算法求解了非线性车辆系统的分岔问题。Hoffman^[5]数值模拟出欧洲双轴客车的周期解和混沌吸引子共存的动力学现象。Zboinski等^[6]研究了车辆系统中的不同参数对列车在曲线轨道上运动的稳定性的影响。在国内研究中，高学军等^[7]提出合成分岔图，将系统在升速和降速时绘制的分岔图合成在一张图中，发现车辆系统在经过拟周期运动后进入混沌。董浩^[8]采用范式法证明了高速动车组在简单轮轨接触关系下均存在亚临界和超临界Hopf分岔。杨绍普等^[9]考虑非线性滞后弹簧对转向架系统的Hopf分岔现象的影响，表明转向架系统蛇行运动的本质是一种Hopf分岔现象。缪鹏程^[10]对含干摩擦阻尼的轮对系统进行全局动力学分析，发现轮对系统存在大量多稳态现象。

多稳态共存现象是指，一个参数作为变量、其他参数固定的情况下，赋予动力学微分方程不同初值，会得到不同稳态解。欧阳茹荃等^[11]利用胞映射方法观察到船舶系统的吸引子共存和周期倍化等非线性特性，黄羽等^[12]观察到一个单自由度自治系统在时滞反馈控制的影响下产生多吸引子共存等现象，稳态不同，系统的求解结果会有很大差异，这对研究系统的运动稳定性有很大影响。Erazo等^[13]为计算Filippov系统的吸引域，提出一种改进胞映射算法。吴鑫等^[14]使用胞映射方法寻找悬臂梁振动系统的吸引子和吸引域，揭示了系统由周期运动到混沌的过程，同时发现分岔图中出现激变现象。

激变现象是指分岔图中稳态解在很小的参数范围内发生激烈变化。分岔图中混沌区域突然变大的现象称为内部激变，对应吸引域图形中混沌吸引子突然变大；混沌区域突然消失的现象称为边界激变，乐源等^[15]在一类碰撞振动系统中发现两个共轭的混沌吸引子与对称不动点接触，导致激变的发生和阵发性。张惠等^[16]在一类分段光滑碰撞系统中发现，吸引子的消失与混沌吸引子和吸引域边界碰撞产生的内部激变有关，一般情况都是由混沌运动突然变为周期运动，对应吸引域图形中混沌吸引子突然消失，有时边界激变会伴随着滞后分岔现象。

滞后分岔是平衡点的一种基本分岔，常出现在非线性系统中，在很小的参数范围内，稳定解发生很大改变，在分岔图中表现为跳跃现象，分岔曲线在发生滞后分岔的位置不连续，且会有上下两支，两个滞后分岔点之间会有一条不稳定的周期轨道，两支分岔曲线组成一个类似平行四边形的图形，称为滞后环^[17]。

1 单轮对模型运动微分方程

2 融合激变与多稳态

由Floquent乘子的理论可知，在四维系统中，发生音叉分岔的点的乘子应该为两个1，其中一个1是自治系统本身具有的特征乘子，其余的乘子模长应不大于1，与表中A₁的乘子对应较好，进一步验证A₁点的音叉分岔性质。发生周期倍化分岔的点的乘子应该为一个1，一个-1，同样的，1是自治系统本身具有的特征乘子，其余的乘子模长也不大于1，与表中B₁、D₁的乘子对应较好，进一步验证B₁点和D₁点的周期倍化分岔性质。

对于图2的C₁点，采用Lyapunov指数^[20]进行验证。Lyapunov指数是表征状态空间中相邻轨道的平均指数发散率或收敛率，是数值识别混沌运动的有力工具。计算出C₁点的Lyapunov指数如图3所示。可以看出，C₁点的最大Lyapunov指数大于0，对应于此时分岔图中系统的混沌运动。

由图2可以看出，系统此时具有多稳态现象，为进一步说明此时系统的全局动力学特性，对取不同参数时的吸引域进行分析，分岔参数v如果取在A₁C₁范围内，系统存在多稳态共存现象，如果取在A₁C₁范围外，系统多稳态现象消失。在A₁C₁范围内时，系统的吸引域和吸引子如图4所示。

由图4可以看出，当取v＝75 m/s时，系统为两个周期一吸引子共存，其中红色周期一吸引子对应的吸引域为蓝色区域，蓝色吸引子对应的为黄色区域，黄色吸引域和蓝色吸引域之间相互嵌套渗透，呈现出复杂的分形结构，如果给初值加以扰动，系统会从一个吸引子吸引到另一个吸引子上，从而产生多种稳态共存现象。当v增加到83 m/s时，系统发生周期倍化分岔，由周期一运动倍化分岔为周期二运动，此时系统为两个周期二吸引子共存，其中红色周期二吸引子对应的吸引域为黄色区域，蓝色周期二吸引子对应的吸引域为蓝色区域。随着v增加到90 m/s，系统经过周期倍化分岔通向混沌，此时系统周期吸引子经历周期倍化分岔演变为混沌吸引子，其中蓝色混沌吸引子对应的吸引域为黄色区域，红色混沌吸引子对应的吸引域为蓝色区域。从吸引域的图形可以看出，此时两种颜色的吸引域相较于之前速度参数下的吸引域图分形程度变小，两种吸引域开始融合在一起，在v增加到95 m/s时，系统的两种吸引域融合为同一个吸引域，单个吸引子使得吸引域分形结构消失，呈现出光滑结构。这是由于音叉分岔产生的不稳定周期轨道A₁C₁接触到C₁点的稳定轨道，导致系统发生融合激变，在分岔图上表现为两个不同稳态下的混沌区域在C₁点之后融合交織为一个混沌区域，系统由两种不同的稳态融合成为一个稳态，多稳态现象消失。

3 边界激变与多稳态

滞后环A₂B₂C₂D₂内部有两个稳定的周期轨道和不稳定的周期轨道共存，蓝色的周期轨道存在完整的周期倍化序列，分岔图中依次出现红色周期一轨道和蓝色周期一轨道共存、红色周期一轨道和蓝色周期二轨道共存、红色周期一吸引子和蓝色混沌吸引子共存的现象。由图7可以看出，取v＝60 m/s时，分岔图中为两个周期一轨道，有两个周期一吸引子共存，其中红色吸引子对应吸引域中的蓝色区域，蓝色吸引子对应黄色区域；取v＝73 m/s时，分岔图中对应一个周期一轨道和一片混沌区域，有一个周期一吸引子和一个混沌吸引子共存，其中红色吸引子对应吸引域中的蓝色区域，蓝色吸引子对应黄色区域，吸引子和吸引域的形状及大小较之前并无太大变化，但是混沌吸引子的出现使得系统的全局稳定性降低，继续增加速度参数到A₂点，系统分叉图中发生跳跃现象，在很小的速度变化后，分岔图由A₂点跳跃到B₂点，吸引域由两种共存的吸引域变为一个周期一的吸引域，混沌吸引子突然消失，原来的混沌吸引子和周期一吸引子共存变为仅剩一个周期一吸引子，分岔图中表现为混沌区域突然消失，与之共存的周期一轨道继续随参数增加而延伸，此时系统发生边界激变，这是由于从C₂点出发的不稳定周期轨道接触到蓝色混沌区域，形成临界点A₂，导致其跃迁至稳定焦点B₂，在滞后环左边界处，不稳定周期轨道与稳定的红色周期一轨道接触，产生临界点C₂，导致其跃迁到稳定的焦点D₂，多稳态共存现象因此被破坏，故而在滞后环内部存在多稳态现象，而在滞后环外部多稳态共存消失。

4 结论

本文通过研究单轮对系统的全局动力学行为，揭示了列车轮对系统在列车行进过程中，随着速度参数改变，从周期运动到混沌运动的动力学行为，其中包含音叉分岔、倍周期分岔、滞后分岔、融合激变、内部激变、边界激变、多稳态共存等多种动力学现象。结合Floquent乘子和Lyapunov指数对发生音叉分岔、倍周期分岔、滞后分岔以及发生混沌的不动点性质进行阐述，通过胞映射方法，结合吸引域和吸引子图形对多稳态共存现象的出现和消失解释说明，以滞后环为边界，发现系统在滞后环内部存在周期吸引子和周期吸引子共存，周期吸引子和混沌吸引子共存，在滞后环外部，系统由于发生边界激变，不稳定周期轨道接触稳定轨道，改变系统多稳态的稳定性，使共存的吸引子突然消失。本文采用列车系统的参数和动力学方程进行数值模拟，对列车行进安全性，稳定性和舒适性的优化设计有一定的参考价值。

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