有质量的弹簧振子固有角频率求解方法研究

朱小飞 刘大鹏

摘 要：在大学物理机械振动教学内容中，弹簧振子的振动是重要的内容，其力学模型往往忽略弹簧的质量，而弹簧的质量对振子固有角频率的求解有一定的影响。本文在不忽略弹簧质量的条件下，用能量法和波动方程法分别求解了有质量弹簧振子的固有角频率，用python计算并讨论了这两种方法的计算精度及应用。

关键词：弹簧振子；弹簧质量；能量法；波动方程法；固有角频率

中图分类号：TB 文献标识码：A  doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.15.087

在大学物理机械振动教学内容中，弹簧振子的振动是重要的内容，其力学模型往往忽略弹簧的质量。而实际上弹簧是有质量的，本文在不忽略弹簧质量的条件下，介绍两种求解弹簧振子固有角频率的方法。本文讨论的问题，如图1所示，一根弹性系数为k的弹簧，长为 L，质量为m且均匀分布，弹簧各处横截面相等；弹簧上端点固定，下端点连接一个质量为M的质点构成弹簧振子，求此弹簧振子振动的固有角频率。

考虑弹簧本身的质量时，我们面对的就是一个分布质量系统的振动问题，下面分别介绍求解此问题的能量法和波动方程法，以供参考。

1 能量法

能量法的原理是机械能守恒，这种方法应用系统能量函数把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，先假定一个满足边界条件的系统振动模式，按照这一振动模式计算系统的哈密顿量，然后由哈密顿量守恒就可以求得对应模式的系统固有角频率。

我们假定系统振动模式是弹簧各截面在振动过程中同相位，在这种模式下，各截面的位移与它离固定点的距离成正比；因此，当质点M在某一瞬时的速度为v时，弹簧在l处微段dl的相应速度为lvL，动能为dTs=12mL（lvL）2dl。所以整个弹簧的动能为Ts=∫dTs=12mL∫L0（lvL）2dl=16mv2，系统的动能为：

T=Ts+12mv2=12（M+m3）v2

此时，若振子（弹簧连接振子端）偏离平衡位置的位移为x，则有v=dxdt；并且弹簧各截面的位移总和即弹簧形变总量亦为x。在保守力作用下，系统的势能和忽略弹簧质量时一样为：U=12kx2，系统的哈密顿量为：

H=T+U=12（M+m3）v2+12kx2=常量

两边对t微分得

（M+m3）d2xdt2+kx=0

对于简谐振动，有d2xdt2+ω2x=0，因此求得系统固有角频率ω为：

ω=kM+m/3（1）

（1）式結果说明，在不忽略弹簧质量时，若系统振动可以简化为单自由度的振动，则其固有角频率中振子的质量M要加上三分之一弹簧质量m/3，这个m/3称为弹簧的等效质量。

2 波动方程法

2.1 弹性细杆纵向振动方程的建立

把弹簧等效为长度为L、横截面为S、密度为ρ、杨氏弹性模量为Y（Y=kLS）的弹性直杆，原来的弹簧振子模型可用图2代替。

以u（x，t）表示杆上x处截面相对其平衡位置的位移，它是截面位置x与时间t的函数，x处微段dx的应变为：Δ（dx）dx=u+uxdx－udx=ux，截面上应力为：N=YSux，应力沿杆长方向变化率为：Nx=YS2ux2，对微段dx用牛顿定律得：ρSdx2ut2=Nxdx，整理得：

2ut2=a22ux2（2）

a=Yρ（3）

方程（2）是一维波动微分方程，令u（x，t）=U（x）T（t），用分离变量法得到下面两个常微分方程：

d2Tdt2+ω2T=0（4）

d2Udx2+ω2a2U=0 （5）

方程（4）、（5）的通解分别表示为：

T（t）=Csin（ωt+φ）（6）

U（x）=A1sinωax+B1cosωax（7）

（7）式称为振型函数，它描绘了杆以固有角频率ω作简谐振动时的振动形态，即振动模式（或主振型）。

波动方程（2）的通解为：

u（x，t）=（Asinωax+Bcosωax）sin（ωt+φ）（8）

式中A、B、ω、φ四个待定常数由边界条件和初始条件来决定。

2.2 由边界条件确定固有角频率

对于我们的问题， 弹簧上端固定，得：x=0处，u（x，t）=0，所以（8）式中B=0，得：

u（x，t）=Asinωax·sin（ωt+φ）（9）

弹簧下端连接质量为M的质点，则x=L处，拉力YSux=-M2ut2，将（9）式代入上式得：

YSωacosωLa=Mω2sinωLa（10）

由（3）、（10）两式和m=ρSL得：

mM=ωLa·tanωLa（11）

利用Y=kLS和（3）式，（11）式可整理得：

mM=ωm/Mω0·tanωm/Mω0（12）

（12）式中ω0=kM，是忽略弹簧质量时系统的固有角频率。

给定m/M比值，可由作图法或计算机数值计算求超越方程（12）的根，再求得固有角频率ω。显然，固有角频率有无限多个，最小者ω1是第一阶固有角频率（即基频），其他ωi随着i值的增加而增加，阶次依次为第二阶、第三阶……

3 计算和讨论

由（1）和（12）式，用python计算基频ω1并绘制ω1/ω0～m/M曲线。二分法计算并绘制曲线的主要程序为：

#二分法计算ω值def f（m）：list = []p1 = 0p2 = 0for i in np.arange（1，3，0.01）：x = f1（m）y = f2（m，i）p1 = p2p2 = x – y#交叉點if p1 * p2 < 0：list.append（i）return list

图3 ω1/ω0～m/M曲线

（1）当m/M很小时，tanωm/Mω0≈1/M，由（12）和（1）式，均可得ω=ω0，说明弹簧质量与质点质量相比很小时，求固有角频率时可以忽略弹簧质量。

（2）由（12）式经python数值计算得：m/M=0.1时，ω1≈0.983635ω0；m/M=1时，ω1≈0.860334ω0。可见：当m/M=0.1时，忽略弹簧质量的解与波动方程法精确解的相对误差为1.66%，因此，当m/M<0.1时，在要求不高的情况下可以忽略弹簧质量。

（3）用能量法求解的结果（1）式计算基频ω1，取m/M=0.1时，ω1=0.983739ω0，能量法与波动方程法精确解的相对误差为0.011%；取m/M=1时，ω1=0.866025ω0，与波动方程法精确解的相对误差为0.66%。可见，通常情况下能量法的精度是较高的。

4 结语

通过上述分析和讨论，我们在求解弹簧振子的固有角频率时，波动方程法的结果虽然精确，但是计算复杂，需要借助计算机求解超越方程，一般情况下，不便使用。能量法的结果是近似解，只能求基频，但简便实用。对于常见的弹簧振子，满足条件m/M<1，用能量法的结果（1）式计算基频，可以得到较好的近似值。

参考文献

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