基于优化GM(1,1)模型的安徽省GDP预测

贾静丽

(安徽文达信息工程学院 通识教育学院,安徽 合肥 231201)

国内生产总值(Gross Domestic Product,GDP)是国民经济核算的核心指标。为了使经济保持长期、稳定、健康、快速的发展,就必须对国民经济的发展状况进行研究,找出其内在的发展规律并做出正确预测,为政策的制定和实施提供依据。

灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授于1982年首次提出来的[1],目前在经济、农业、军事、工业、医学等领域有非常广泛的应用,并已经渗透到自然科学和社会科学等许多其他领域[2]。灰色系统理论体系中最为活跃的分支是灰色预测模型,其从最原始的、最经典的灰色GM(1,1)模型发展到DGM(1,1)离散灰色模型,再到灰色Verhulst 模型、GM(1,N)模型、近似非齐次指数NGM(1,1)模型等众多新的预测模型,在实际检验中预测精度良好[3-7]。

传统的灰色GM(1,1)模型适用于低增长的指数序列,谭冠军等[8]提出了背景值重构的灰色GM(1,1)模型,分别给出了适用于低增长和高增长指数序列的背景值计算公式,经验证有比较好的预测精度。关于背景值优化[9]的灰色预测模型的研究有很多,都提高了传统的灰色GM(1,1)模型的预测精度,促进了灰色预测模型在很多领域的应用。

灰色预测模型的参数估计方法一般采用的是最小二乘法,而最小二乘法是以误差平方和最小的原则寻找最优解,当拟合数据存在波动较大的点或异常点时,最小二乘法原理中的误差平方和会扩大在异常点处的拟合误差,从而降低灰色预测模型的可信程度。而最小一乘法[10]是基于误差绝对值之和最小的原则,只是误差的一次幂,因而在进行决策预测时受异常值的影响较小。针对传统灰色模型建模时的不足,本文给出了基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型,并将传统GM(1,1)模型、背景值优化的GM(1,1)模型和本文提出的基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型应用于安徽省GDP的模拟与预测。

1 传统的GM(1,1)模型

1)灰色GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘法下的参数满足:

(1)

(2)

3)GM(1,1)的白化响应式为:

(3)

4)初始数据序列的还原值(k=1,2,3,…,n)为:

(4)

2 改进的GM(1,1)模型

2.1 背景值优化的GM(1,1)模型

(5)

n为待定常数,对于低增长序列,

(6)

对于高增长序列,

(7)

式(6)～(7)中,N为序列长度,Ri=x(1)(i)/x(1)(i-1),i=2,3,4,…,N。

背景值优化模型下灰色GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘法的参数满足:

(8)

2.2 基于最小一乘法的GM(1,1)模型

传统GM(1,1)模型使用最小二乘准则得到,模型参数a、b满足:

(9)

而基于最小一乘法的灰色GM(1,1)模型参数a、b满足:

(10)

最小一乘法求灰色GM(1,1)模型参数a,b的Lingo程序如下。

model:

sets:

LAD/1..n/:x,z:

endsets

data:

x=x2,x3,…,xn;!此处的x表示原始数据x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n);

z=z2,z3,…,zn;!此处的z表示背景值数据z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n);

Enddata

@free(a);@free(b);

min=@sun(LAD:@abs(x+a*z-b))

end

2.3 基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型

利用最小一乘准则参数估计的Lingo程序[7]求出模型参数a、b后,将其带入式(2)～(4)中,得到改进GM(1,1) 模型的时间响应序列,即得到了最小一乘准则参数估计的灰色GM(1,1)模型。具体步骤如下。

3 模型精度检验

相对于误差检验法,关联度检验法是建模后更常用的精度检验方法。一个模型的好坏与否,关键在于模拟或预测的精度是否符合一定的标准。精度标准表见表1。

表1 精度标准表

3.1 相对误差和平均相对误差检验

相对误差为:

(11)

平均相对误差为:

(12)

3.2 灰色绝对关联度

灰色绝对关联度是衡量参考序列与比较序列联系是否紧密的一个很重要的指标,能够很好体现两者兼得几何相似程度,其计算过程如下。

(13)

4 基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型在安徽省GDP预测中的应用

为了比较各个模型预测的精度,建立了3个GM(1,1)模型,即传统的GM(1,1)模型、背景值优化的GM(1,1)模型以及本文提出的基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型。通过比较3个模型的优劣程度,以预测精度较为精良的模型预测安徽省未来2年的GDP数据。

首先,可以利用灰色建模软件得到传统模型下2012—2020年安徽省GDP模拟数据,3种模型的模拟数据及其对应的相对误差见表2。

表2 3种模型的模拟数据及其对应的相对误差

由3种模型下模拟数据与原始数据的相对误差序列得到传统模型、背景值优化模型、优化背景值的最小一乘法模型平均相对误差分别是1.88%、1.88%、1.80%。3种模型的预测精度都为二级,背景值优化的模型的平均相对误差相较于传统模型的平均相对误差没有明显改善,但是基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型的平均相对误差明显减小,说明基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型的预测精度较高。

灰色绝对关联度能够反映模拟序列与原始序列的几何相似程度,由公式(13)计算得到传统GM(1,1)模型的灰色绝对关联度为0.995 4,背景值优化的GM(1,1)模型灰色绝对关联度为0.997 1,而优化背景值的最小一乘法下的GM(1,1)模型的灰色绝对关联度为0.999 7。对比3种模型的灰色绝对关联度可知,本文提出的优化背景值的最小一乘法下的GM(1,1)模型对原始序列特征的描述最为精确,预测的可行性也最高。

基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型得到的初始数据序列的还原值为:

(14)

令k=11,得到2022年安徽省GDP预测值为52 348.086 01亿元。

令k=12,得到2023年安徽省GDP预测值为57 499.909 58亿元。

本文提出的基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型的预测值能够为相应的政策制定提供理论依据,意义重大。

5 结语

从传统GM(1,1)模型入手,分析得到利用最小二乘法进行参数的估计易受异常值影响,而且背景值的构造方式是影响灰色GM(1,1)模型的模拟数列精度的重要因素之一,因此从参数估计方法和背景值构造两者出发,提出了基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型。为了检验本文提出的模型预测精度,从平均相对误差和灰色绝对关联度2方面比较了传统GM(1,1)模型、背景值优化的GM(1,1)模型和本文给出的基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型,最后得出本文提出的基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型不仅平均相对误差最小,而且灰色绝对关联度最高,基于优化背景值的最小一乘法GM(1,1)模型适合预测安徽省未来几年的GDP总量。