承担捆绑接头载荷的加筋壁板稳定性优化方法

廉鑫, 张卫东, 毛玉明, 于哲峰*

(1.上海交通大学航空航天学院, 上海 200240; 2.上海宇航系统工程研究所, 上海 201109)

大型薄壁加筋结构具有结构重量轻、强度高等优点,广泛应用于飞行器结构等领域,如火箭贮箱结构等[1-6]。其加筋特征可以显著地提升承力薄壳或壁板的抗弯刚度,避免结构过早的发生屈曲失稳变形,从而有效增强结构在轴压载荷下的承载能力[7-11]。加强筋的形状、尺寸与布局直接影响着结构的质量与性能。因此,如何实现板壳结构的加强筋布局自动化设计一直是国内外学者与工业界高度重视的问题。

在过去的30年中,国内外学者针对相关结构优化问题做了许多工作。倪杨等[12]基于多学科优化软件,利用粒子群优化算法对平板加筋结构的参数进行优化,使得结构在单轴压载作用下的稳定性能与极限承载能力得到了明显提升。Zhao等[13]针对贮箱的加筋筒壳,开展了多级三角形加筋构型优化,得到了高承载力的设计方案。相比于单级加筋筒壳,多级加筋壳在同样的承载力约束下具有更大的轻量化设计潜力。Alinia[14]基于ANSYS有限元分析软件研究了加筋板在剪切荷载作用下的优化设计,通过确定整体屈曲向局部屈曲转化的临界点来设计加强筋的最优几何特性。Lam等[15]将板的厚度作为设计变量对加筋肋的布局进行了优化,在优化后板的厚度较薄的地方添加加强肋。Chung等[16]基于变密度方法的拓扑优化,研究了加筋肋的最优形状和位置,使得结构的材料利用率得到了很大的提高。

从以上文献中可见,现有的加筋结构优化方法多采用商业有限元软件,直接求解大型有限元模型,往往需要消耗较多时间,对于含受局部集中载荷的加筋壁板优化问题也缺少研究。现提出一种基于解析公式的加筋结构优化方法,在误差允许的范围内,能够较快地求解出优化后的结构参数。然后针对捆绑接头与加筋壁板之间协调设计问题进行相关的参数研究,以期为工程设计提供参考。

1 结构优化的基本数学原理

结构优化指在满足给定的几何约束、材料约束和状态约束的所有可能结构中,寻求使得给定目标最优的设计[17]。约束条件和目标函数共同组成了优化问题的数学模型,进行优化设计的数学模型为

(1)

式(1)中:f(x)为优化问题的目标函数;gj(x)为优化问题的第j个不等式约束;hk(x)为优化问题的第k个等式约束。

对于这个数学优化问题,可以使用拉格朗日乘子法进行求解。首先将式(1)中的不等式约束全部转化为等式约束,即对模型中的每一个不等式约束引入一个松弛变量sj,即

(2)

转换后的数学模型只包含等式约束,可构造出拉格朗日函数为

(3)

式(3)中:λk为与等式约束hk(x)有关的拉格朗日乘子;μj为与不等式约束gj(x)有关的拉格朗日乘子,对式(3)求一阶偏导数可得

=0

(4)

引入Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件[18],该条件为约束优化问题的一阶必要性最优条件。

如果规范点x*为约束优化问题[式(1)]的最优解,则存在非负常数μj使得在x*处满足下列条件:①x*满足式(1)中的所有约束;②式(4)成立;③所有在x*处取不等号的约束相关的拉格朗日乘子为0。

证明优化问题解的存在性后,需要通过具体的算法对优化问题进行求解,得到最终的优化解。

采用MATLAB软件编程实现载荷扩散优化,采用的优化函数是fmincon函数。在默认情况下,fmincon函数主要采用直接法求解优化解。在直接法中,求式(3)中拉格朗日函数的散度可以得到Hessian函数,即

(5)

为了求解满足KKT条件的优化解,构造如下方程[19]。

(6)

式(6)中:Jg为约束函数g的雅可比矩阵;Jh为约束函数h的雅可比矩阵;S为松弛变量组成的对角阵;λ为与约束g相关的拉格朗日乘子向量;Λ为拉格朗日乘子组成的对角阵;y为与h相关的拉格朗日乘子向量;e为与g大小相同的向量。

为了求解(Δx,Δs)的方程,该算法对矩阵进行LDL分解[20]。这是计算成本最高的一步。这种分解的一个结果是确定投影的H矩阵是否正定;如果不是,该算法使用共轭梯度方法进行求解。

2 承担捆绑接头载荷的加筋壁板稳定性优化建模

载荷扩散结构优化目标是在保证结构稳定的情况下使其质量最小,采用解析公式建立优化目标函数。

平板加筋结构的几何模型如图1所示,该结构由m根筋条与n块蒙皮组成,所有部件材料相同,密度设为ρ。整个平板加筋结构可按照载荷的施加状态分成两个部分。一类是没有接头的部分,只受到远端施加的线载荷Nx1,另一类是含有接头的部分,受到包含远端线载荷Nx2和由接头集中力F2扩散的线载荷Nx2,两种部件的横截面参数如图1所示。

Lx为加筋板的高度,mm; Lyn为加筋板的宽度,mm; Lyf为接头部分的宽度,mm; Nx1为远端施加的线载荷,N/mm; F2为接头传递的集中力,N; Nx2为集中力等效的线载荷,N/mm; tsk为蒙皮厚度,mm; Ly1为第一类结构部件的蒙皮宽度,mm; ly1为第一类结构部件的桁条宽度,mm; lz1为第一类结构部件的桁条高度,mm; ty1与tz1为第一类结构部件的桁条厚度,mm; Ly2为第二类结构部件的蒙皮宽度,mm; ly2为第二类结构部件的桁条宽度,mm; lz2为第二类结构部件的桁条高度,mm; ty2与tz2为第二类结构部件的桁条厚,mm

2.1 失稳形式分析

当结构承受压缩线载荷时,失稳形式可能包括筋条局部失稳、蒙皮局部失稳、周期结构部分的失稳与结构整体的宽柱失稳。

(1)筋条局部失稳。在筋条局部失稳的情况下,加强筋可视作为三边简支、一边自由的长板,此时对于两类部件,筋条的临界失稳应力计算公式为

(7)

式(7)中:E为材料弹性模量;ν为材料泊松比。

(2)蒙皮局部失稳。当蒙皮发生局部失稳时,可将其视作4边简支的板,临界失稳应力为

(8)

(3)周期结构部分的失稳。当蒙皮与筋条组成的周期结构发生失稳时,失稳形态类似柱的失稳,可求出周期结构的总体惯性矩Ic、横截面面积Ac与非加载边的长度Lx,按两端为简支的假设,此时失稳应力为

(9)

(4)结构整体的宽柱失稳。当结构发生整体失稳时,整个结构被看作一个宽柱发生失稳,此时需要求出整个结构的总体惯性矩Ict。非加载边的长度与上文一致,均为Lx,此时临界失稳载荷可通过式(10)计算得到,即

(10)

对于结构中第i根筋条,失稳应力应该取式(7)中局部失稳应力与式(9)中周期结构失稳应力的最小值。

[σcr]i=min{[σcr,st]i,[σcr,c]i}。

对于结构中第j块蒙皮,失稳应力应该取式(8)中局部失稳应力与式(9)中周期结构失稳应力的小值。

[σcr]j=min{[σcr,sk]j,[σcr,c]j}。

平板加筋结构的失稳应力集合可表示为

{[σcr]}={[σcr]i,[σcr]j},i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

2.2 平板加筋结构各个部件的应力与总体载荷的计算

对于第一类结构部件,可求得筋条的横截面面积Ap1,该类部件的宽度为Ly1,蒙皮的厚度为tsk,可根据式(11)求得部件的等效厚度为

(11)

部件的应力计算公式为

(12)

对于第二类结构部件,用相同的方法求得筋条横截面积Ap2,部件加载端的宽度Ly2,蒙皮厚度仍为tsk,部件的等效厚度为

(13)

部件的应力计算公式为

(14)

根据式(12)与式(14)可求得每个部件的应力,对于模型中的所有部件,计算局部失稳偏差相关的变量V1为

(15)

整个平板加筋结构的加载边宽度为Lyn,接头载荷扩散的区域宽度为Lyf,总载荷为

F=Nx1Lyn+Nx2Lyf

(16)

对于整个平板加筋模型,计算总体失稳偏差相关的变量V2为

(17)

2.3 加筋结构的总质量计算

求解加筋结构的总质量,对于结构中的第i根筋条,其横截面积为

Ai=ly,itz,i+(lz,i-tz,i)ty,i

(18)

所以第i根筋条的质量可表示为

mst,i=ρAiLx

(19)

对于结构中的第j块蒙皮,其质量为

msk,j=ρLy2,jtskLx

(20)

整个结构的总质量为

(21)

优化问题的目标函数为

G=(V1+wV2)M

(22)

式(22)中:w为部件局部失稳偏差和总体失稳偏差之间的权重比例。采用优化算法,求解G的最小值,即得到各个筋条横截面的几何参数、筋条间距和蒙皮的厚度。

3 算例验证

以一个平板加筋结构的优化为算例,整个结构部件由铝合金材料组成,弹性模量E=73 GPa,泊松比v=0.3,密度取ρ=2 700 kg/m3。在远端施加均匀线载荷Nx1=15 kN/m。结构加载边的长度Lyn=0.5 m,非加载边的长度Lyn=1 m。结构中心位置有均匀线载荷Nx2=10 kN/m,其初始宽度LyfS=0.25 m,用来模拟由接头处扩散的集中载荷。所以结构承担的总载荷F=10 000 N。如图2所示,9根筋条将整个结构划分为8个部分。这8个部分又可分为两个区域,一个是没有接头的区域,由1、2、7、8部分组成;另一个是包含接头的区域,由3、4、5、6部分组成。其中筋条3和7属于包含接头的区域。

1～9代表桁条编号;①～⑧代表蒙皮编号

9根筋条的初始几何参数在表1中列出,蒙皮的初始厚度为tsk=1 mm。整个结构的初始质量为m0=3.513 kg。考虑到装配的需要,所有筋条横截面上ly的长度固定为30 mm。优化过程所有的设计参数为:接头宽度Lyf、9根筋条各自的ty、tz、lz和蒙皮厚度tsk。边界条件为:施加线载荷Nx1的边界y与z方向位移被约束,其对边的x、y、z方向位移被约束,其两个邻边的y、z方向位移被约束。表2列出

表1 结构初始几何参数

表2 初始结构各部分的失稳应力和估算的应力

了初始结构各个部分的失稳应力和估算的应力,可见估算应力小于两类失稳应力。该参数下结构的总体失稳临界载荷Fcr=119 668 N。

对该算例进行优化,优化后接头宽度Lyf=0.230 m;所有筋条的几何参数在表3中列出;蒙皮的厚度tsk=0.350 mm,结构总质量为m1=2.537 kg。表4列出了优化后各个部分的失稳应力和估算的应力,可见部件应力与失稳应力中的小值更为接近,而是结构失稳形态是总体的宽柱失稳载荷,该参数下结构的总体失稳临界载荷Fcr=10 282 N,与结构总载荷F=10 000 N很接近。

表3 优化后结构的几何参数

表4 优化后各部分的失稳应力和估算的应力

使用有限元来分析优化前后结构的稳定性,在有限元建模软件ABAQUS中按照优化前后的几何参数建立有限元模型,考虑到结构的对称性,只取结构的一半进行建模分析。采用S4R壳单元建立网格模型,网格种子的全局尺寸参数为3.0,网格单元个数为22 400,网格结点总数为22 715。实际的火箭舱体结构承受的载荷来自远端的集中力F1和接头的集中力F2,而这会在舱体结构处扩散为均匀的线载荷Nx1与Nx2,为了在有限元模型中更好地模拟这个过程,在结构外部的一个节点上施加等效集中力F1和F2,并将此节点与舱体结构扩散端的节点以刚体的接触形式相连接,这样能够保证承受线载荷的端部的所有节点能够有相同的y方向位移,接触方式的施加形式如图3所示,整个模型的边界条件为四边简支,如图4所示。

图3 模型载荷施加方式

图4 对称模型的边界条件

分别对优化前后的结构有限元模型进行线性屈曲分析后,所得结果如图5和图6所示。结构第一阶失稳特征值由最初的3.261降低至1.418,失稳形式是中心部分的宽柱失稳,而有限元模型一边是简支的,所以不完全符合柱模型,这也是造成特征值较大的原因。

图5 初始加筋壁板结构的屈曲分析结果

图6 优化后的平板加筋结构的屈曲分析结果

从以上分析结果可知,初始结构的一阶失稳特征值较高,结构重量有较大的冗余;而优化后的结构在保证一阶失稳特征值大于1的前提下减少了27.78%的质量,使得材料利用率得到了提升。

图7 优化结构质量与接头载荷所占比例的关系曲线

处理图7中的数据可以发现,优化结构的质量方差数值为0.12,可见接头载荷所占比例变化时,优化结构质量变化并不明显。这个结果表明在总载荷一定的情况下,可以较为自由地设计接头载荷所占比例而不必担心结构质量会因此大幅波动。

在核心舱段的参数化设计中,接头宽度也是经常关注的重要参数,在优化设计中,都是将其作为优化参数,使用优化程序来获得宽度值。而不同宽度接头的质量也有所不同,确定优化结果时应该考虑不同宽度接头的质量,所以进一步研究接头宽度对优化结构质量的影响,计算其在一定范围内变化时优化得到的结构质量。取接头宽度的变化范围为0.175～0.325 m,求出各个接头宽度下优化结构的质量,二者的关系曲线如图8所示。

图8 优化结构质量与接头宽度的关系

从图8中可以发现,随着接头宽度的增加,优化结构质量呈现出下降的趋势,这符合越均匀的结构性能更优的特点,但如上所述,捆绑接头宽度增加会造成自身重量的增加,所以应同时考虑接头重量的优化结果来确定接头宽度。

4 结论

研究受集中载荷的加筋壁板结构优化方法。基于板和柱的稳定性公式建立结构模型,提出了同时考虑稳定性和结构质量的目标函数,优化算例和有限元模拟结果验证了该方法的有效性。

针对实际应用中主要关注的集中载荷所占比例和捆绑接头宽度两个参数的影响进行了参数分析。结果表明,在考虑结构轻量化的设计中,不必过于强调接头载荷占比,可以较为自由地进行设计;接头宽度的增加会使得优化结构的质量呈现出下降的趋势,在结构设计时可以在综合考虑接头质量情况下,通过增加接头宽度来进行减重。

在根据稳定性解析公式进行建模时,没有考虑不同部件之间的应力传递,这是导致应力计算误差和优化后结构特征值仍大于1的主要原因。在未来的研究工作中,将根据结构载荷扩散的相关公式对模型进行修正,进一步提高计算结果的准确度。