不等式组整数解的求法及其应用

曾启凡

不等式组的整数解就是使不等式组成立的未知数的整数值.或者说，不等式组的解集中的整数就是不等式组的整数解.我们经常会遇到求不等式组整数解的题目.下面就不等式组整数解的求法及其在解题中的应用进行分析.

一、不等式组整数解的求法

求不等式组的整数解的一般思路是先解不等式组，求出其解集，再从这个解集中找出相应的整数解.为了简单、直观还可以借助数轴来找整数解.

例1

分析：欲求整数解的和，就要求出它的整数解，而要求出整数解，就要先求出不等式组的解集.

解

评注：求不等式组的整数解时一定要看清不等号的形式，即要注意有没有等号，还有不能遗漏了0.

二、利用整数解求字母系数的范围

根据不等式组有整数解求字母系数的取值范围，应先把不等式组中的待定字母当作已知数，用它的代数式表示出不等式组的解集，并根据已知不等式组特定整数解的情况，构造关于待定字母的不等式或不等式组，即可确定字母系数的取值范围.

例2

解析：

评注：这类问题一般是一个解集确定，另外一个解集不确定.我们可根据整数解的个数确定具体的整数解，进而明确另外一个不确定的解集的端点的位置，从而确定字母的取值范围.特别要注意两个端点的取舍.

三、利用整数解解答实际问题

利用不等式组的整数解解答实际问题，一般是先设出未知数，然后根据题意找出不等关系，列出不等式组，求出不等式组的解集，最后在其解集范围内结合实际意义取相应的整数解.

例3某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A，B 两种园艺造型共 50 个，摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个 B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个 A 种造型的成本是800元，搭配一个 B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

分析：本题的不等关系比较隐晦，好像与不等式没有什么关系，但仔细分析可知，不管如何搭配 A ，B 两种园艺造型，其前提是需要的甲种花卉不能超過3490盆，乙种花卉不能超过2950盆，据此可列出不等式组，再取整数解即可.对于第二问，对设计出的方案逐个计算再比较大小，就一目了然了.

解：

（2）方法一：由于 B 种造型的造价成本高于 A 种造型成本．所以 B 种造型越少，成本越低，故应选择方案③ ， 成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）.

评注：不论是统筹安排、最佳决策，还是最优化问题等均涉及不等式，需要建立不等式求解.解答此类问题的关键，就是要从问题中找出不等关系，根据不等关系列出不等式，再根据未知数或者有关量的限制条件找出符合实际意义的解.

上期《<二元一次方程组>巩固练习》参考答案