怎样利用面积法求解线段问题

蒋弟弟

面积法是利用面积相等或成比例关系，利用面积与边、角之间的关系来解题的一种方法.它能够把两个表面看起来没有任何关系的变量关联在一起.在面对一些无从下手的线段问题时，同学们若能挖掘相关几何量与所涉及的图形的面积的内在联系，则可以收到意想不到的效果.

一、利用面积法，证明线段相等

图形的面积公式都是用含有线段的代数式来表示的，因此面积与线段之间可以互相转换.利用面积法证明两条线段相等，即通过证明两个三角形面积相等，然后借助三角形面积公式推导出两条线段相等.

例 1如图 1 所示，已知 D 是△ABC 内∠ABC 的平分线上的一点，作 AE ∥ DC 交 BC 的延长线于点 E ，作 CF ∥ AD交 BA 的延长线于点 F ，AE、CF 相交于点 G .求证：AF = CE.

分析：若按照常规思路证明 AF = CE，需证明两个三角形全等，显然全等的证明条件不充分.由于已知图形中出现两组平行线，这样容易出现等面积的三角形，因此不妨考虑利用面积法解题.

证明：

评注：本题借助等面积变换证明了 S△ADF= S △CDE，而这两个三角形的高 DH =DK，这样根据三角形的面积公式，即可證明它们的底边 AF = CE，目标得证.

二、利用面积法，证明线段成比例

我们常利用相似三角形对应边成比例来证明线段成比例.但当待证的线段在两个三角形中，又很难用三角形相似来证明时，我们可以观察这两个三角形是否在某一边上的高（底）相等，然后利用两个等底（高）的三角形的面积之比等于它们对应高（底）之比来证明线段成比例.

例2如图2所示，已知在△ABC 中，BM平分∠ABC.求证：MC（AM）= BC（BA）.

分析：

证明：

评注：利用面积法证明线段成比例，实际上就是借助面积公式来实现比例式的转化. 本题根据三角形面积公式，得到 S△BAM S△BCM = BA BC ，再根据等底（高）的两个三角形面积比等于高（底）的比，得到 S△BAM S△BCM = AM MC ，进而得到所要求证的目标比例式.

三、利用面积法，求线段的长度

利用面积法求线段的长度，一般根据题意采用两种解题思路：一是若题目已知图形的面积，可直接利用面积公式构建关于所求目标线段的关系式；二是若几个图形之间存在等面积关系，则可以利用等面积法构建线段之间的关系式.最后通过求图形的高或底边长，求出目标线段的长度.

例3

分析：

证明：

评注：本题根据“S△MQP+S△NQO+S△PQO=S 四边形MNPO” 这一面积关系，建立起已知线段与待求线段之间的关系式，从而求出 QR 的长度.该解法简捷、巧妙.

总之，面积法是解答平面几何问题的重要方法之一，在解答线段问题中的应用相当广泛.除了上述提及的三种应用情况外，还可以利用面积法求解线段之和、线段的比值等问题.同学们应灵活运用所学知识以及掌握的解题方法，提升解题效率.