Clifford 代数Cℓ2 的相似类

曹慧慧，郑荣兰，曹文胜

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 引言与预备知识

Clifford 通过Grassmann 的外代数引入如下Clifford 代数.

定义1[1]Clifford 代数Cℓp,q由一组实空间中的正交基｛i1,…,in｝生成，其乘法法则为：

近年来，Clifford 代数在微分几何、理论物理、经典分析等方面取得了辉煌的成就，是研究现代理论数学和物理的核心工具.

本文主要研究Clifford 代数Cℓ2:=Cℓ2,0上的相似类及其性质. 为方便计算，我们在Cℓ2上记其在实数域上的基为

并满足运算

定义2对，其中，i=0,1,2,3,4，我们定义如下的概念.

在Clifford 代数上相似类及其性质是一个重要的研究议题. 文献[2-4]已经研究了分裂四元数相似、合相似及伪相似的充要条件. 唐哲[5]研究了分裂四元数伪相似的充要条件. Zheng 和Cao[6]研究了Clifford 代数Cℓ2相似与伪相似的充要条件. Cao[7]还研究了四维Clifford 代数Moore-Penrose 逆，求出线性方程与的解，并得出来Clifford 代数Cℓ0,3相似与合相似的充要条件.

下面给出Cℓ2中两个元素相似与伪相似的定义.

定义3i）令，如果存在一个元素使得

则称元素a,b相似.

则称元素a,b伪相似.

引理1[6]i）两个元素相似的充要条件是：

本文给出了Cℓ2中两元素t-相似、t-伪相似和半相似的概念.

定义4令，两个元素是t-相似，如果存在一个元素使得

定义5令，两个元素是t-伪相似，如果存在一个元素使得

本文将得到了t-相似与t-伪相似的充要条件以及相关性质.

2 t-相似的证明

由定义2，有如下结论.

命题1对任意的有

定理1i）t-相似的充要条件是：

证明由定义2 知，两个元素是t-相似的当且仅当ta与tb是相似的，由引理1i）知定理1 的i）成立. 同理可证定理1 的ii）.

引理2令a≠0，则当且仅当存在一个，使得.

证明必要性显然成立，只需要证明充分性. 如果，则，. 这表明. 令

若b∈[a]t，则因此

现在找到一个b，使得b满足式（3）但不满足式（4）. 这表明. 证毕.

举例说明：

在上面的16 种情况中，有8 种情况是可由t-相似诱导的，这8 种情况由下面的命题给出.

由定理1，有以下定理：

定理2i）元素，相似当且仅当以下条件之一成立：

自从黄诗传入，朝鲜诗人便对其渊源、风格、用典等展开探讨。如崔恒《山谷精粹·序》云：“至宋奎聚，诗道一大中兴。于是欧、王、苏、黄辈铿戛相与鸣，称为大家，而涪翁诗尤自出机杼，瑰奇绝妙，度越诸子，遂号为江西诗祖。”[2](9辑，P191)“自出机杼，瑰奇绝妙”是对黄诗的笼统评价，更多评论家对此予以补充、注释，更具体地总结了其创作特色。

证明根据定理1，是e1-相似的充要条件是以下两个条件之一成立：

3 t-伪相似的证明

下面讨论t-伪相似的情况. 有如下命题.

命题3对，有

结合命题2 知式（5）中的16 种情况是由t-相似和t-伪相似诱导的.

根据定理2，得到下面的定理.

定理3i）元素伪相似当且仅当以，下条件之一成立：

iv）元素

vi）元素

下面列出几个t-伪相似的例子：