新高考三角恒等变换考点分类概说

高慧明

考点1：三角函数式的求值

例1. 若3 sin α- sin β= 10 ，α+β=  π  2 ，则 sin α=       ， cos 2β=       ．

【解析】 因为3 sin α- sin β= 10 ，α+β=  π  2 ，

所以3 sin α- cos α= 10 ，即9 sin 2α-6 sin α cos α+ cos 2α=10， 9 sin 2α-6 sin α cos α+ cos 2α=10，

设3 cos α+ sin α=t，即9 cos 2α-6 sin α cos α+ sin 2α=t2，

所以9 sin 2α+9 cos 2+ sin 2α+ cos 2β=10+t2，即t=0，

所以  3 sin α- cos α= 10 ，3 cos α+ sin α=0，  解得 sin α= 3 10  10 ，

又因为 cos 2β=1- sin 2β，所以 cos 2β=1- cos 2α= sin 2α= 4 5 ．

故答案为： 3 10  10 ， 4 5 ．

【评析】 三角恒等变换问题高考中以公式的基本运用、计算为主，本题主要考查三角函数值的求法，诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力. 解决此类问题的主要规律方法：

1.给角求值： 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题.

2.给值求值： 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”.

在进行角的变换时常见的解题思路：

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

3.给值求角： 实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角.

4.易错提醒

（1）公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．

（2）求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．

【变式训练】

1.若α∈（0，  π  2 ）， tan 2α=  cos α 2- sin α ，则 tan α=（  ）

A .  15  15

B .   5  5

C .   5  3

D .   15  3

2.已知  π  8 <β<α<  π  2 ，且 sin 2α sin   π  4 - cos 2α sin  5 4  π = 1 3 ，

sin 2β cos   π  4 + cos 2β sin   π  4 =  3  3 ，则 sin （2α-2β）的值为（  ）

A . 5 3  9

B .   6  9

C . - 5 3  9

D . -  6  9

3.若 sin 2α=  5  5 ， sin （β-α）=  10  10 ，且α∈   π  4 ， π  ，β∈  π ， 3 π  2  ，则α+β的值是（  ）

A . 7 π  4

B .  9 π  4

C .  5 π  4 或 7 π  4

D .  5 π  4 或 9 π  4

4.已知 cos α 3 4 ，0<α<  π  4 ，则 sin  α+  π  4  =（  ）

A ．  2  10

B ． 7 2  10

C ．-  2  10

D ．- 7 2  10

5.已知θ∈ 0，  π  2  ， tan  θ+  π  4  =- 2 3  tan θ，

則  sin θ cos θ  sin θ+ cos θ =（  ）

A ．- 1 2

B ．- 3 5

C ．3

D ．- 5 3

6．已知 3  cos   3 π  2 -α + cos （ π +α）=-1，

则 cos  2α- 2 π  3  =       .

7． sin （θ+75°）+ cos （θ+45°）- 3  cos （θ+15°）=

.

8．已知角α为锐角，  π  2 <β-α< π ，

且满足 tan  α 2 = 1 3 ， sin （β-α）= 7  2  10 .

（1）证明：0<α<  π  4 ；

（2）求β.

9．（1）已知 tan θ=-2，求  sin θ（1+ sin 2θ）  sin θ+ cos θ 的值；

（2）已知 tan （α-β）= 1 2 ， tan β=- 1 7 ，且α，β∈（0， π ），求2α-β．

参考答案与提示：

1.由 tan 2α=  sin 2α  cos 2α = 2 sin α cos α 1-2 sin 2α =  cos α 2- sin α ，

因为α∈ 0，  π  2  ，所以 cos α>0，则上式化简可得 sin α= 1 4 ，

所以 cos α= 1- sin 2α =  15  4 ．则 tan α=  sin α  cos α =  15  15 ．

故选 A .

2.由题设 sin 2α sin   π  4 - cos 2α sin  5 4  π = 1 3 ， sin 2β cos   π  4 + cos 2β sin   π  4 =  3  3 ，

所以 sin （2α+  π  4 ）= 1 3 ， sin （2β+  π  4 ）=  3  3 .

而  π  8 <β<α<  π  2 ，且 sin （2β+  π  4 ）=  3  3 >0，所以  π  2 <2β+  π  4 <2α+  π  4 < π ，

则 cos （2α+  π  4 ）=- 2 2  3 ， cos （2β+  π  4 ）=-  6  3 ，

而 sin （2α-2β）= sin （2α+  π  4 ） cos （2β+  π  4 ）- cos （2α+  π  4 ） sin （2β+  π  4 ）= 1 3 ×（-  6  3 ）-（- 2 2  3 ）×  3  3 =  6  9 ．

故选 B ．

3.∵α∈   π  4 ， π  ，β∈  π ， 3 π  2  ， sin 2α=  5  5 ，∴2α∈   π  2 ， π  ， cos 2α=- 2 5  5 .

又∵0< sin 2α=  5  5 < 1 2 ，∴2α∈  5 π  6 ， π  ，即α∈  5 π  12 ，  π  2  ，∴β-α∈   π  2 ， 13 π  12  .

又∵ sin  β-α =  10  10 ，∴β-α∈   π  2 ， π  ，

∴ cos  β-α =- 1- sin 2（β-α） =- 3 10  10 ，

∴ cos  α+β = cos ［2α+ β-α ］

= cos 2α cos  β-α - sin 2α sin  β-α

=- 2 5  5 × - 3 10  10  -  5  5 ×  10  10 =  2  2 ．

又α∈  5 π  12 ，  π  2  ，β∈  π ， 3 π  2  ，∴（α+β）∈（ 17 π  12 ，2 π ），∴α+β= 7 π  4 ，

故選 A ．

4.由 cos α= 4 5

，0<α<  π  2 ，得 sin α= 3 4 ，

所以 sin  α+  π  4  =  2  2  sin α+  2  2  cos α=  2  2 × 3 5 +  2  2 × 4 5 = 7 2  10 ，

故选 B .

5.由θ∈（0，  π  2 ），得 tan θ>0，又 tan （θ+  π  4 ）=- 2 3  tan θ，

得  tan θ+ tan θ  π  4  1- tan θ· tan θ  π  4  =- 2 3  tan θ，

即  tan θ+1 1- tan θ =- 2 3  tan θ，

整理得 tan θ=3或 tan θ=- 1 2 （舍去），

所以 sin θ=3 cos θ，又 sin 2θ+ cos 2θ=1，θ∈（0，  π  2 ），

解得 sin θ= 3 10  10 ， cos θ=  10  10 ，

故  sin θ cos 2θ  sin θ+ cos θ  =

sin θ （cos 2θ- sin 2θ）  sin θ+ cos θ

=  sin θ （sin θ+ cos θ）（ cos θ- sin θ）  sin θ+ cos θ

= sin θ （cos θ- sin θ）= 3 10  10 （  10  10 - 3 10  10 ）=- 3 5 .

故选 B .

6． 因为 3  cos （ 3 π  2 -α）+ cos （ π +α）=- 3  sin α- cos α=-1，所以 sin  α+  π  6  = 1 2 ，

cos  2α- 2 π  3  = cos  2 α+  π  6  - π  =- cos  2 α+  π  6

=- 1-2 sin 2 α+  π  6   =2 sin2  α+  π  6  -1=2× 1 4 -1=- 1 2 .

故答案为：- 1 2 .

7． sin （θ+75°）+ cos （θ+45°）- 3  cos （θ+15°）

= sin （θ+15°+60°）+ cos （θ+45°）- 3  cos （θ+15°）

= sin （θ+15°） cos 60°+ cos （θ+15°） sin 60°+ cos （θ+45°）- 3  cos （θ+15°）

= 1 2  sin （θ+15°）+  3  2  cos （θ+15°）+ cos （θ+45°）- 3  cos （θ+15°）

= 1 2  sin （θ+15°）-  3  2  cos （θ+15°）+ cos （θ+45°）

= sin 30° sin （θ+15°）- cos 30° cos （θ+15°）+ cos （θ+45°）

=- cos （θ+45°）+ cos （θ+45°）=0.

故答案为：0．

8． （1）证明：因为 tan  α 2 = 1 3 ，

所以

tan α= 2 tan  α 2  1- tan 2 α 2  = 2× 1 3  1- 1 9  = 3 4 <1= tan   π  4 ，

因为α

为锐角且函数y= tan x

在 0，  π  2

上單调递增，所以0<α<  π  4 .

（2）由  tan α=  sin α  cos α = 3 4 ，

sin2 α+ cos2 α=1，

结合角α

为锐角，解得

sin α= 3 5 ， cos α= 4 5 ，

因为  π  2 <β-α< π

，且

sin （β-α）= 7 2  10 ，

所以

cos （β-α）=- 1-  7 2  10  2 =-  2  10 .

sin β= sin  α+ β-α  = sin α cos （β-α）+ cos α sin （β-α）= 3 5 × -  2  10  + 4 5 × 7 2  10 =  2  2 .

又  π  2 <  π  2 +α<β< π +α< 5 π  4

，所以β= 3 π  4 .

9．（1）  sin θ（1+ sin 2θ）  sin θ+ cos θ =

sin θ  sin θ+ cos θ ·

1+ sin 2θ  sin 2θ+ cos 2θ =

sin θ  sin θ+ cos θ ·

sin 2θ+ cos 2θ+2 sin θ cos θ  sin 2θ+ cos 2θ

=   sin θ  cos θ    sin θ+ cos θ  cos θ  ·

sin 2θ+ cos 2θ+2 sin θ cos θ  cos 2θ    sin 2θ+ cos 2θ  cos2 θ  =

tan θ  tan θ+1 ·

tan 2θ+1+2 tan θ  tan 2θ+1 =

-2 -2+1 × 4+1-4 4+1 = 2 5 .

（2）由 tan β=- 1 7

可知β∈（  π  2 ， π ），又 tan α= tan （α-β+β）=  tan （α-β）+ tan β 1- tan （α-β） tan β =

1 2 - 1 7  1+ 1 2 × 1 7  = 1 3 ，α∈（0，  π  2 ），

則

α-β∈（- π ，0），又 tan （α-β）= 1 2 ，则

α-β∈ - π ，  π  2  ，则：

tan （2α-β）= tan （α-β+α）=  tan （α-β）+ tan α 1- tan （α-β） tan α =  1 2 + 1 3  1- 1 2 × 1 3  =1，

又2α-β=α-β+α∈（- π ，0），则2α-β=- 3 π  4 .

考点2：三角函数式的化简

例2. 若 sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2  cos （α+  π  4 ） sin β，则（  ）

A . tan （α-β）=1

B .  tan （α+β）=1

C . tan （α-β）=-1

D .  tan （α+β）=-1

【解析】 因为 sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2  cos （α+  π  4 ） sin β，

所以 2  sin （α+β+  π  4 ）=2 2  cos （α+  π  4 ） sin β，即 sin （α+β+  π  4 ）=2 cos （α+  π  4 ） sin β，

所以 sin （α+  π  4 ） cos β+ sin β cos （α+  π  4 ）=2 cos （α+  π  4 ） sin β，所以 sin （α+  π  4 ） cos β- sin β cos （α+  π  4 ）=0，

所以 sin （α+  π  4 -β）=0，所以α+  π  4 -β=k π ，k∈ Z ，

所以α-β=k π -  π  4 ，所以 tan （α-β）=-1．

故选 C ．

【评析】 本题主要考查正余弦的和差角公式的灵活运用，考查逻辑推理和数学运算.由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.本题也可采用特值法求解.解决此类问题的主要规律和方法是：

1.三角函数式化简的方法

（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

（2）常值代换，三角公式的正用、逆用、变形用.

（3）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

（4）三角函数式的化简过程中通常会用到辅助角公式a sin x+b cos x= a2+b2 · sin （x+φ）.

2.常见“1”的代换

1= sin 2α+ cos 2α; 1=2 cos 2α- cos 2α; 1= cos 2α+2 sin 2α; 1= tan   π  4 .

3.化简要求

使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；分式中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.

【变式训练】

1.若 tan θ=-2，则  sin θ（1+ sin 2θ）  sin θ+ cos θ =（  ）

A .- 6 5

B . - 2 5

C .  2 5

D .  6 5

2.已知θ为三角形的内角，且 sin 2θ= sin 2θ，则  sin θ（1- cos 2θ）  sin θ+ cos θ =       ．

3.若α，β∈（0，  π  2 ），且（1+ cos 2α）（1+ sin β）= sin 2α cos β，则下列结论正确的是（  ）

A .α+β=  π  2

B . α+ β 2 =  π  2

C . 2α-β=  π  2

D . α-β=  π  2

参考答案与提示：

1.由题意可得：  sin θ（1+ sin 2θ）  sin θ+ cos θ

=  sin θ（ sin 2θ+ cos 2θ+2 sin θ cos θ）  sin θ+ cos θ

=  sin θ（ sin θ+ cos θ）2  sin θ+ cos θ = sin θ（ sin θ+ cos θ）

=  sin 2θ+ sin θ cos θ  sin 2θ+ cos 2θ =  tan 2θ+ tan θ 1+ tan 2θ

= 4-2 1+4 = 2 5 ．

故选 C ．

2.因为θ为三角形的内角，且 sin 2θ= sin 2θ，

所以2 sin θ cos θ= sin 2θ， sin θ≠0，所以2 cos θ= sin θ，可得 tan θ=2，

则  sin θ（1- cos 2θ）  sin θ+ cos θ = 2 sin 2θ· sin θ  sin θ+ cos θ

= 2 sin 2θ  sin 2θ+ cos 2θ ·  sin θ  sin θ+ cos θ

= 2 tan 2θ  tan 2θ+1 ·  tan θ  tan θ+1 = 2×22 22+1 · 2 2+1 = 16 15 ．

故答案为： 16 15 ．

3.因为（1+ cos 2α）（1+ sin β）= sin 2α cos β，所以2 cos 2α（1+ sin β）= cos β·2 sin α cos α.

因为α∈（0，  π  2 ），β∈（0，  π  2 ），所以 cos α≠0，

所以 cos α（1+ sin β）= cos β sin α，即 sin （α-β）= cos α= sin （  π  2 -α），

所以α-β=  π  2 -α，或α-β+  π  2 -α= π ，即2α-β=  π  2 ，或β=-  π  2 （舍），故2α-β=  π  2 ．

故選 C ．

考点3：三角恒等变换的综合应用

例3. （多选）函数f x =a sin x+b cos x ab≠0 的图像关于x=  π  6 对称，且f x 0 = 8 5 a，则（  ）

A .b= 3 a

B .  cos    π  6 -x 0 = 4 5

C . cos    π  3 -2x 0 = 24 25

D .  sin  2x 0+  π  6  = 7 25

【解析】 因为f（x）=a sin x+b cos x= a2+b2  sin （x+φ），ab≠0，

其中 sin φ= b  a2+b2  ， cos φ= a  a2+b2  .

由于函数的图像关于x=  π  6 对称，所以|f（  π  6 ）|= a2+b2 ，即 1 2 a+  3  2 b= a2+b2 ，化简得b= 3 a，

所以f（x 0）=a sin x 0+ 3 a cos x 0=2a sin （x 0+  π  3 ）= 8 5 a，即 sin （x 0+  π  3 ）= 4 5 ，

cos  （  π  6 -x 0）= cos  ［  π  2 -（x 0+  π  3 ）］= sin  （x 0+  π  3 ）= 4 5 ，

cos  （  π  3 -2x 0）= cos  ［ π -2（x 0+  π  3 ）］=- cos  ［2（x 0+  π  3 ）］=2 sin 2（x 0+  π  3 ）-1= 7 25 ，

sin  （2x 0+  π  6 ）= sin  （2x 0+ 2 π  3 -  π  2 ）=- cos  （2x 0+ 2 π  3 ）=2 sin 2（x 0+  π  3 ）-1= 7 25 ．

故选 ABD ．

【评析】 此题巧妙之处在于先利用辅助角公式进行化简，但f（x）中含有两个参数，需对辅助角公式和正弦函数的对称性理解非常透彻才能得出a，b之间的关系，综合性较强，很好的考查了考生分析思考问题的能力，是一道推陈出新的好题目.根据辅助角公式化简f（x），然后根据其图像关于x=  π  6 对称，可得a，b之间的关系，从而得到 sin （x 0+  π  3 ）= 4 5 ，然后运用诱导公式和二倍角公式对各选项逐一判断即可．解决此类

问题的主要规律和方法：

1. 三角恒等变换主要有以下四变：

（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”

（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦、弦化切、正余弦互化等

（3）变幂：通过“升幂与降幂”，把三角函数式的各项变成同次，目的是有利于应用公式

（4）变式：根据式子的结构特征变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其方法有：常值代换、配

方法等.

2.常用公式：

（1）半角的正弦、余弦、正切公式

① sin  α 2 =±  1- cos α 2  ；

② cos  α 2 =±  1+ cos α 2  ；

③ tan  α 2 =  sin α 1+ cos α = 1- cos α  sin α ；

（2）升幂公式：1- cos 2α=2 sin 2α;1+ cos 2α=2 cos 2α;1± sin 2α=  sin α± cos α 2;

（3）降幂公式： sin α· cos α= 1 2  sin 2α;  sin 2α= 1- cos 2α 2 ; cos 2α= 1+ cos 2α 2 ; tan 2α= 1- cos 2α 1+ cos 2α ；

（4）万能置换公式： sin 2α= 2 sin α· cos α  sin 2α+ cos 2α = 2 tan α  tan 2α+1 ; cos 2α=  cos 2α- sin 2α  sin 2α+ cos 2α = 1- tan 2α 1+ tan 2α .

3.三角恒等变换的综合应用主要是將三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式化为y=A sin （ωx+φ）+b的形式再研究其性质.在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.

【变式训练】

1.已知 3  tan 20°+λ cos 70°=3，则λ的值为（  ）

A . 3

B . 2 3

C . 3 3

D . 4 3

2.已知O为坐标原点，点P 1（ cos α， sin α），P 2（ cos β，- sin β），P 3（ cos  （α+β），

sin （α+β）），A（1，0），则（  ）

A .|OP 1 |=|OP 2 |

B . |AP 1 |=|AP 2 |

C .OA ·OP 3 =OP 1 ·OP 2

D . OA ·OP 1 =OP 2 ·OP 3

3.已知α，β∈（0，  π  2 ），且α-β=  π  3 ，则 1  sin 2α sin 2β 的最小值为（  ）

A .2

B . 2 3

C . 4

D . 4 3

4.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=1，点C为AB 上的动点且不与点A，B重合，OD⊥BC于D，OE⊥AC于点E，则四边形ODCE面积的最大值为       ．

参考答案与提示：

1.由已知，  3  sin  20°  cos  20° +λ sin  20°=3，则 3  sin  20°+λ sin  20° cos  20°=3 cos  20°，

从而 λ 2  sin 40 °=3 cos 20 °- 3  sin 20 °=2 3  sin（60 °-20°）=2 3  sin 40 °，所以λ=4 3 ，

故选 D ．

2.∵P 1（ cos α， sin α），P 2（ cos β，- sin β），P 3（ cos （α+β）， sin （α+β）），A（1，0），

∴OP 1 =（ cos α， sin α），OP 2 =（ cos β，- sin β），OP 3 =（ cos （α+β）， sin （α+β）），OA =（1，0），

AP 1 =（ cos α-1， sin α），AP 2 =（ cos β-1，- sin β），

则|OP 1 |=  cos 2α+ sin 2α =1，|OP 2 |=  cos 2β+（- sin β）2 =1，则|OP 1 |=|OP 2 |，故 A 正确；

|AP 1 | = （ cos α-1）2+ sin 2α

=  cos 2α+ sin 2α-2 cos α+1 = 2-2 cos α ，

|AP 2 |=  （ cos β-1）2+（- sin β）2

=  cos 2β+ sin 2β-2 cos β+1 = 2-2 cos β ，

|AP 1 |≠|AP 2 |，故 B 错误；

OA ·OP 3 =1× cos （α+β）+0× sin （α+β）= cos （α+β），

OP 1 ·OP 2 = cos α cos β- sin α sin β= cos （α+β），∴OA ·OP 3 =OP 1 ·OP 2 ，故 C 正确；

OA ·OP 1 =1× cos α+0× sin α= cos α，

OP 2 ·OP 3 = cos β cos （α+β）- sin β sin （α+β）= cos ［β+（α+β）］= cos （α+2β），

∴OA ·OP 1 ≠OP 2 ·OP 3 ，故 D 错误．

故选 AC ．

3.法1： 因为α，β∈（0，  π  2 ），且α-β= π 3 ，

所以 cos （α-β）= cos α cos β+ sin α sin β= 1 2 ，

令x= cos α cos β，y= sin α sin β，则x+y= 1 2 .

由题意得x>0，y>0，

則 1  sin 2α sin 2β = 1 （2 sin α cos α）（2 sin β cos β） = 1 2 ×  1 2   sin α cos α sin β cos β = 1 2 ×  cos （α-β）  sin α cos α sin β cos β ，

= 1 2 ×  cos α cos β+ sin α sin β  sin α cos α sin β cos β = 1 2 （ 1  cos α cos β + 1  sin α sin β ）

= 1 2 （ 1 x + 1 y ）=（x+y）（ 1 x + 1 y ）=2+ y x + x y ≥2+2  x y · y x  =4.

当且仅当x=y时取等号，即 cos α cos β= sin α sin β= 1 4 ，得 cos （α+β）=0，

有α+β=  π  2 ，结合α-β= π 3 ，得α= 5 π  12 ，β=  π  12 ，此时 1  sin 2α sin 2β 的最小值为4．

故选 C ．

法2： 因为α，β∈（0，  π  2 ），且α-β=  π  3 ，所以α∈（  π  3 ，  π  2 ），β∈（0，  π  6 ）．

sin 2α sin 2β= sin 2α sin 2（α-  π  3 ）

= sin 2α（- 1 2  sin 2α-  3  2  cos 2α）

=- 1 4 （2 sin 22α+ 3  sin 4α）

=- 1 4 （1- cos 4α+ 3  sin 4α）

=- 1 4 ［1+2 sin （4α-  π  6 ）］．

从而当α= 5 π  12 时 1  sin 2α sin 2β 的最小值为4.

故选 C ．

4.因为∠AOB=90°，OA=1，0<α<  π  4 OD⊥BC，OE⊥AC，

所以∠DOE=  π  4 ，记∠COD=α，0<α<  π  4 ，

则四边形ODCE的面积为：

1 2 CD·OD+ 1 2 CE·OE

= 1 2  sin α cos α+ 1 2  sin （  π  4 -α） cos （  π  4 -α）

= 1 2  sin α cos α+ 1 2 · 1 2  sin （  π  2 -2α）

=  sin 2α+ cos 2α 4 =  2  4  sin （2α+  π  4 ），

当2α=  π  4 ，即α=  π  8 时，四边形ODCE的面积取到最大值  2  4 ．

故答案为  2  4 .

责任编辑  徐国坚