三角形中位线的模型应用

郑晓慧 姜莹

与线段的中点相关的问题，常会用到中位线定理，而三角形中位线定理的应用往往具有隐蔽性，具体表现为题目已知中点、中线等条件，需要构造中位线. 下面就给同学们介绍四种常见的中位线构造方法.

模型一：连接两点，构造三角形的中位线

例1 如图1，四边形ABCD中，∠A = 90°，AB = 12，AD = 5，点M，N分别为线段BC，AB上的动点，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF的长度可能为（）.

A. 2 B. 2.3

C. 4 D. 7

解析：如图2，连接DN，则EF为△MDN的中位线，可得EF = [12] DN，从而可知DN最大时，EF最大. 因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，EF的最小值是2.5. 故选C.

模型二：角平分线 + 垂直，构造三角形的中位线

例2 如图3，在△ABC中，AB = 6，AC = 4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（）.

A. 1       B. 2

C. 4       D. [32]

解析：如图4，延长CF交AB于G，根据等腰三角形的判定和性质得到 AG = AC = 4，FG = CF，进而求出BG = 2，而EF是△BCG的中位线，根据三角形的中位线定理计算即可得到EF = 1. 故选A.

模型三：已知两个中点，找第三个中点，构造两条中位线

例3 如圖5，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交NM的延长线于点E，F. 求证：∠1 = ∠F.

解析：如图6，连接AC，取AC的中点G，连接MG，NG，根据“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”可得NG = [12]AB，NG[?]AB，MG = [12]CD，MG[?]CD，再根据“两直线平行，内错角相等”可得∠GNM = ∠1，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠GMN = ∠F，然后由AB = CD得MG = NG，再根据“等边对等角”可得∠GMN = ∠GNM，最后等量代换即可得证∠1 = ∠F.

模型四：已知一边中点，倍长另一边，构造三角形中位线

例4 如图7，在△ABC中，∠ABC = 90°，BA = BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF = 90°，M为AF的中点. 求证：ME = [12]CF.

解析：如图8，延长FE到D，使DE = EF，连接AD，BD，由BE = DE，可判断出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BD = BF，易证∠CBF = ∠ABD，利用“SAS”证明△ABD和△CBF全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AD = CF，再根据“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得ME = [12]AD，从而得到ME = [12]CF.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：5分钟

1. 如图9，在△ABC中，CE是中线，CD是∠ACB的平分线，AF⊥CD，交CD的延长线于点F，AC = 9，BC = 4，则EF的长为.  （答案见第23页）

2.如图10，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D是AC的延长线上的一点，AD = 12，点E是BC上一点，BE = 6，连接DE，M，N分别是AB，DE的中点，则MN的值为（）.  （答案见第23页）

A. 6 B. 8

C. 10[3] D. 3[5]

〔作者单位：辽宁省实验中学（初中部）〕