基于协方差矩阵重构的改进型MUSIC算法

屠亚杰，方 遒，2，李艳玲

（1.厦门理工学院 福建省客车先进设计与制造重点实验室，福建 厦门 361024；2.厦门大学 航空航天学院，福建 厦门 361102）

波达方向（DOA）估计作为阵列信号处理的研究内容之一，在雷达、航空、声纳、日常通信等诸多领域都有着广泛应用［1-2］。DOA估计的角度分辨率取决于阵列孔径，阵列孔径确定后，可以计算得到对应的角度分辨率，称之为瑞利限［3］。为突破瑞利限提出了一系列方法称为超分辨率方法，在众多超分辨率算法中多重信号分类［4］（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法最为经典，它利用噪声特征向量和信号向量的正交关系得到阵列空间谱函数，在空域内进行谱峰搜索求出信源方向。基于MUSIC算法容易实现、测角精度高等优点，学术界基于MUSIC算法展开了一系列研究。同非等［3］提出一种基于空间平滑的改进MUSIC算法，该算法解决MUSIC算法对相干信号DOA估计失效的难题，但会损失阵列孔径。石要武等［5］提出一种基于特征空间的MUSIC算法，该算法不仅可以对相干信号进行DOA估计，还可以对信号源的功率进行估计，提高对小能量目标信号的估计成功率，但该算法依然存在阵列孔径损失问题。刘晓志等［6］提出一种基于伪数据相关矩阵二次重构的DOA估计算法，该算法可以实现对相干信号的DOA估计且不损失阵列的孔径，能对强弱邻近信号作出准确估计，但在低信噪比环境下对相同信号强度的邻近相干信号的检测成功率下降。张贺勇等［7］提出一种基于空间平滑的单次快拍DOA估计算法，该算法应用空间平滑算法可以对相干和非相干信号进行比较准确的DOA估计，可以满足工程应用中对算法易于实现的需求，有着较高的应用价值，但该算法仅使用单快拍数据参与运算，在低信噪比环境下DOA估计结果与实际结果偏差大。

针对上述方法的限制与不足，本文提出一种基于数据协方差矩阵二次重构并对噪声子空间进行加权处理的改进型MUSIC算法，通过重构数据协方差矩阵，对得到的噪声特征值进行加权处理，得到新的噪声子空间和改进后的空间谱函数，最后通过谱峰搜索可以实现相干信号入射角度邻近条件下的DOA估计，并对新算法的有效性进行仿真验证。

1 阵列模型和相干信号

考虑有P个窄带远场目标信号从不同入射角θ=[θ1,θ2…,θp]入射到以下由M个接收阵元组成的均匀线阵，相邻阵元间的间距d=λ∕2，λ为载波波长，信号与均匀线阵法线之间的夹角θ∈[−π∕2,π∕2]。均匀线阵结构如图1所示。

图1 均匀线阵模型

均匀线阵在t时刻接收到的数据向量为:

式（1）中A=[a(θ1),…,a(θp)]为M×P维方向矩阵为入射角度θi方向的M×1维导向向量，其中包含角度信息。s(t)=[s1(t),…,sP(t)]T为P×1 维的入射目标信号向量，n(t)=[n1(t),n2(t)…,nM(t)]T为M×1 维噪声向量。噪声服从零均值、方差为σ2的高斯分布，噪声向量相互独立，且与信号向量独立。[∙]T表示转置运算。

对于阵列接收到的多个入射信号，入射信号之间的关联程度可以根据相关系数来划分为不相关、部分相关和相干3种情况。对于两个平稳信号Si(t)和Sj(t)，其相关系数定义为:

根据公式（2），相关系数满足 |ρij|≤1。当ρij=0 时，Si(t) 和Sj(t) 不相关，相互独立；当0<|ρij|<1 时，Si(t)和Sj(t)部分相关；当 |ρij|=1 时，Si(t)和Sj(t)相干［4］。

2 经典MUSIC算法

Schmidt博士在1979年提出经典MUSIC算法，经典MUSIC算法利用信号特征向量张成的信号子空间与噪声特征向量张成的噪声子空间的正交特性，构造空间谱函数，再经过谱峰搜索得到入射信号的DOA方向。均匀线阵接收到信号的协方差矩阵R为:

式中:Rs=E[s(t)sH(t)]为P×P维的信号协方差矩阵，diag(∙)表示构造对角矩阵，对角线上包含各个入射信号的功率；I为M×M维的单位矩阵；δ2为噪声的功率；E[]∙表示求期望计算；[]∙H表示求共轭转置计算。

获得协方差矩阵R后，对其进行特征值分解R=UΣUH，得到M 个特征值，将M 个特征值从大到小排序为:

根据公式（5）得到的空间谱函数，通过谱峰搜索可以估计出入射信号的DOA。但在实际应用中协方差矩阵R无法直接获得，一般情况下采用样本协方差矩阵来代替R进行特征值分解［8］。

在实际情况下，由于存在噪声的干扰导致导向向量a()θi与噪声子空间UN不完全正交，aH(θi)UNUHNa(θi)结果不严格为0，是一个趋近于0的极小值，此时MUSIC 算法的空间谱函数可以表示为:

对以上过程进行总结，得到经典MUSIC 算法的主要步骤为:

步骤1:由公式（3）得到均匀线阵接收到的信号协方差矩阵R；

步骤2:对信号协方差矩阵R进行特征值分解，将得到的特征值按从大到小排序；

步骤3:提取与入射信号个数相等的P个较大特征值对应特征向量张成的信号子空间US，提取剩下的M−P个较小特征值对应特征向量张成的噪声子空间UN；

步骤4:使θ变化，根据公式（5）计算空间谱函数并进行谱峰搜索，得到入射信号的DOA估计值。

3 改进型MUSIC算法

根据理论分析，经典MUSIC在大快拍数、高信噪比、阵列阵元个数足够的条件下，MUSIC算法能充分发挥作用，可以达到任意高的分辨率。在信号弱相干或不相干条件下，接收到信号的协方差矩阵R满秩，经过特征值分解得到的信号子空间US和噪声子空间UN正交，根据公式（5）的空间谱函数进行谱峰搜索可以达到较高的分辨率。但是实际应用中MUSIC算法的估计性能在某些情况下会失效，一方面可能因为入射信号存在多径传播和同频干扰导致信号相干情况发生，部分入射信号的能量会散发到噪声子空间，造成协方差矩阵R不满秩［9］；另一方面可能在目标附近存在强反射点时，协方差矩阵R经特征分解后得到的信号子空间中目标信号的信息被强反射点遮盖，导致弱信号强度的目标难以估计［10］。

针对以上问题，在经典MUSIC 算法基础上提出一种基于协方差矩阵重构的改进型MUSIC 算法。首先为解决信号相干问题，参考空间平滑算法的原理，重构处理接收到信号协方差矩阵，使信号协方差矩阵的秩达到满秩状态，即rank(R)=M；接着为加强对弱信号强度目标的识别，对噪声子空间根据实际的DOA 估计场景进行加权修正，得出新的噪声子空间和改进后的空间谱函数；最后进行谱峰搜索得到入射目标信号的DOA估计。

假设入射信号目标的个数已知，本文基于经典MUSIC 算法提出的改进型MUSIC 算法的具体步骤为:

步骤1:重构入射信号协方差矩阵:

将阵列接收到的数据向量y(t)变换为Y(t):

在式（8）中，Y(t)为y(t)的复共轭矩阵；J为M×M维反单位矩阵，即

步骤2:求Y(t)的协方差矩阵:

公式（10）中，R∗为R的复共轭矩阵。

步骤3:根据R1和R的算数平均值重构协方差矩阵RY:

步骤4:根据矩阵运算原理，矩阵R，R1和RY具有相同的信号子空间和噪声子空间。对重构后的协方差矩阵RY进行特征值分解:

式（12）中，Σ 是由全部特征值组成的对角矩阵。

[5]Aaron Smith, Monica Anderson, Automation in Everyday Life, Oct. 4, 2017, http://www.pewinternet.org/2017/10/04/automation-in-everyday-life/.

步骤5:对噪声子空间进行加权修正，改进后的噪声特征值定义为:

式（13）中，λi为初始噪声的特征值为改进后的噪声特征值，0.1α为校正值。校正值0.1α=0 时，校正值不对特征值起到校正作用，改进后的特征值等于经典MUSIC 算法的特征值；校正值0.1α过大时，会导致噪声子空间的特征值接近信号子空间的特征值，会引起欠估计问题，算法分辨率下降；校正值0.1α过小时，无法起到特征值校正作用，噪声子空间的特征值与信号子空间的特征值之间的差值会更大，导致弱信号强度的目标难以估计。因此，需要找到合适的校正值。根据信息论准则并参考束强［11］的研究得到:噪声特征值的最大值与最小值之比应小于2，此时经典MU⁃SIC算法的性能达到最佳，即:

根据式（15）计算出符合要求的α，并取符合条件的最小整数α计算得到最终校正值0.1α。

步骤6:根据最终校正值得到改进后的噪声子空间为:

步骤7:改进后的空间谱函数为:

步骤8:根据改进后的空间谱函数进行谱峰搜索，得到入射信号的DOA估计。

4 仿真实验与分析

为对比经典MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和本文提出的改进型MUSIC 算法的性能，在阵元个数M=10、相邻阵元间距d=λ∕2 的均匀线阵，噪声为理想高斯白噪声条件下进行仿真实验。对于需要进行空间平滑处理过程的仿真实验，将整个均匀线阵划分为4 个子阵，每个子阵包含6 个阵元。FSS算法和FBSS算法的具体实现步骤参考张权等［12］、姚昕彤等［13］的方法。

4.1 算法对相距很近相干信源的估计性能

有两个相同功率的相干信源分别从0°和6°方向入射到M=10 均匀线阵上，信噪比为5 dB，快拍数为200，仿真结果如图2所示。

图2 近距离相干信源的DOA估计

由图2可知，当两个相干目标以6°间隔入射到均匀线阵时，经典MUSIC算法已经失效，无法对相干目标进行识别；FSS 算法和FBSS 算法虽然有两个峰值点，且FBSS 算法得到的尖峰比FSS 算法得到的尖峰更尖锐，但这两种算法得到的DOA 估计值明显与真实入射角度值之间存在偏差；本文提出的算法形成的尖峰更加尖锐，DOA 估计值与真实入射角度值之间的差值更小，说明本文算法对入射目标的角度分辨能力更强，有着更好的DOA估计性能。

4.2 算法对多个相干信源的估计性能

由于经典MUSIC算法无法对相干信号进行识别，因此仅对比FSS算法、FBSS算法和本文提出的改进型MUSIC算法在多个相干信源条件下的DOA估计性能。有6 个相同功率的相干信号分别从-6°，0°，6°，18°，30°，40°方向入射到M=10 的均匀线阵，信噪比均为10 dB，快拍数为200，仿真结果如图3所示。

图3 多相干信源条件下的DOA估计

唐晓杰等［14］研究表明，在阵元个数为M 的均匀线阵条件下，FSS算法最多只可以对M∕2 个相干信源进行DOA估计；FBSS算法因为额外利用了后向子阵列，增加了平滑次数，最多可以对2M∕3 个相干信源目标进行DOA 估计。因此，在本研究设置的仿真条件下，FSS算法最多可以对5个相干信源进行DOA 估计；FBSS 算法最多可以对6 个相干信源进行DOA估计。从图3仿真结果可以看到，6个相干信号入射时，FSS 算法只产生5 个峰值点，无法完成对全部6个入射角度的DOA估计，FSS算法失效；FBSS算法虽然产生6个尖锐的峰值点，但生成的6 个峰值点中只有4 个峰值点在真实峰值点附近，分别位于-6°、18°、30°、40°这4个真实峰值点附近，其它两个峰值点为产生的虚假峰值点，FBSS 算法也失效。本文提出的改进型MUSIC 算法在阵元个数为10 时，最多可以对9 个相干信源目标进行DOA 估计，所以该算法可以对这6 个相干信号进行DOA 估计。仿真结果也表明，本文算法可以完成对这6 个入射目标的DOA 估计，且峰值点都在真实角度附近，产生的峰值点与真实峰值点之间的误差不超过0.5°。验证了本文提出的改进型MUSIC 算法相较FSS 算法和FBSS 算法在相同快照数、信噪比条件下，在保证DOA估计精度的同时能利用更少的阵元个数完成更多的入射信号的DOA估计。

4.3 不同信噪比条件下的算法性能比较

已知均方根误差（RMSE）公式为:

式（18）中，W表示蒙特卡洛实验重复的次数，P 是信号源的个数，是在第w 次蒙特卡洛实验中对第i个信号源θi的DOA估计值。

有两个相干信号分别从0°、10°方向入射到M=10 的均匀线阵上，快拍数为200。信噪比在−10～10 dB 范围内变化，步长为2 dB，根据式（18）在不同的信噪比条件下进行100 次蒙特卡洛实验，得出FSS算法、FBSS算法和本文提出算法的DOA 估计均方根误差随着信噪比的变化曲线，如图4所示。

图4 算法RMSE随信噪比变化曲线

根据图4可知，在信噪比大于0 dB时，三种算法的DOA 估计均方根误差十分接近于0，说明此时这3种算法的DOA估计性能都很好，3种算法都可以用于相干信源目标的DOA 估计；当信噪比小于0 dB 时，特别是SNR=−10 dB 时可以明显发现本文提出算法的均方根误差要远小于FSS算法和FBSS 算法的均方根误差。说明在低信噪比条件下，本文提出算法的均方根误差更小，本文提出的算法有着更好的DOA估计性能。

4.4 不同快拍数条件下的算法性能比较

有两个相干信号分别从0°、10°方向入射到M=10 的均匀线阵上，信噪比设置为8 dB。快拍数在20～200范围内变化，步长为20，根据式（18）在不同的快拍数条件下进行100次蒙特卡洛实验，得出FSS 算法、FBSS 算法和本文提出算法的DOA估计均方根误差随着快拍数的变化曲线，如图5所示。

图5 算法RMSE随快拍数变化曲线

由图5 可知，FSS 算法、FBSS 算法和本文提出算法的DOA估计均方根误差均随着快拍数的增加而逐渐降低，即这3种算法的估计精度会随着快拍数的增加而提高，并且随着快拍数增加到足够大时，这3种算法的估计精度将会保持同一水平，即在大快拍数条件下这3 种算法都能对入射信号进行准确的DOA估计。在快拍数小于140的小快拍条件下，本文提出算法的估计精度优于FSS 算法和FBSS算法。当快拍数为60时，FSS算法和FBSS算法的均方根误差均大于1°，分别为1.10°和1.18°；此时本文提出算法的均方根误差仅为0.93°。可以说明在小快拍数条件下，本文提出的算法相比FSS算法和FBSS算法有着更高的角度估计精度；并且在实验过程中还发现，本文提出的算法在小快拍条件下对相干信号DOA估计的成功率高于FSS算法和FBSS算法，具备更好的DOA估计性能。

5 结论

针对经典MUSIC 算法无法对相干信源进行DOA 估计的问题，提出了一种基于协方差矩阵重构的改进型MUSIC算法。该算法在对信号协方差矩阵进行重构处理的基础上，对其噪声特征值进行加权处理，得到新的噪声子空间和改进后的空间谱函数，结合谱峰搜索实现同等信号强度信源邻近情况下相干信源的DOA 估计。经过仿真验证，本文提出算法可以在不牺牲阵列有效孔径的基础上完成对相干信号的DOA 估计，并且在低信噪比、小快拍数条件下，相比FSS算法和FBSS算法有着更低的均方根误差，有着更好的DOA 估计性能和最少的计算量，更能满足实际工程应用中对算法高准确性、易于实现的要求。