求代数式的最值的解题策略

田素伟

(上海市泥城中学,上海 201300)

求代数式的最值问题是高中数学中的一类非常重要的问题,在求某些代数式的最值时,特别是对于“知和求和型”求最值,对于解决这类问题的关键是合理选择恰当的方法.在这类问题中如果能正确利用权方和不等式会起到事半功倍的效果,下面通过具体例题说明权方和不等式在求最值问题上的解题策略[1].

1 直接利用权方和不等式求最值

解析由权方和不等式,得

利用权方和不等式求最值时的一般步骤:

第一步:先看分式的分母之和是不是定值,分子之和是不是定值,若不是定值,能否通过变形后使之变成定值;

第二步:使用权方和不等式公式,让分子的指数比分母大1即可;

第三步:检验等号成立的条件.

解析因为已知a>0,b>0,

所以2a+b+4≥12.

所以2a+b的最小值为8.

分析通过变形再利用权方和不等式求最值.

解析由a+2b=2可得a=2-2b.

解析因为2a+b=3,

2 通过权方和不等式再利用换元和重要不等式求最值

3 与三角函数有关的问题求最值

评析本题利用权方和不等式求最小值,简单明了,可以起到事半功倍的效果.

4 与函数性质有关的求最值

又因为00.

评析本题还可以先用换元法再利用基本不等式求解,但是计算量比较大.

分析先求函数的奇偶性与单调性,再根据f(a)+f(3b-1)=0,得a+3b=1,最后根据权方和不等式求最值.

所以f(x)=-f(-x).

所以f(x)为奇函数.

因为f(a)+f(3b-1)=0,

所以f(a)=f(1-3b).

所以a=1-3b.

即a+3b=1.

评析易错点是利用权方和不等式求最值时,要注意必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.

5 与数列有关的问题求最值

解析设等比数列{an}的公比为q,则q>0.

由a3=a2+2a1可得q2-q-2=0.

因为q>0,所以q=2.

所以m+n-2=4.可得m+n=6.

由已知m,n∈N*,

6 与向量有关的问题求最值

分析先根据三点共线,求出m+2n=1,再利用权方和不等式求最值.

所以m+2n=1.

以上各题都是对于“知和求和型”求最值,是以不等式、三角、数列、向量为载体,实际上还是考查不等式性质的应用,可以转化为“1”的应用来考查基本不等式,但是如果熟练掌握利用权方和不等式求最值,可以简化计算,使解题变得简单.