基于C-D生产函数的全要素生产率的测度及应用

武义青 耿艳楼 姚连宵

摘 要：

科学测度全要素生产率，对于引导企业健康成长和经济高质量发展具有重要意义。基于主动性决策理论，运用势分析方法，将势效系数引入Cobb-Douglas生产函数，导出全要素生产率测度模型及分析框架，即全要素生产率等于单要素生产率的加权几何平均数；在此框架下，对河北省2018—2022年连续在册的517家科技型中小企业进行了实证分析。研究结果发现，无论是从河北省科技型中小企业总体概况还是基于地区分布、行业分布，全要素生产率普遍呈现增长趋势，而资本产出率增速较低是限制企业全要素生产率增长的重要原因。提高经济发展质量，关键是要提高全要素生产率，编制全要素生产率指数，建立京津冀数字技术协同创新共同体，依法规范资本行为等。

关键词：全要素生产率；生产函数；势效系数；科技型中小企业

中图分类号：F127

文献标识码：A   文章编号：1007-2101（2023）04-0053-08

一、引言

党的十九大报告提出“提高全要素生产率”，党的二十大报告强调“着力提高全要素生产率”“营造有利于科技型中小微企业成长的良好环境”①。提高全要素生产率是推动经济高质量发展的重要着力点。从经济增长的来源看，一方面是生产要素投入的增加，另一方面是生产率的提高［1-2］。根据投入要素范围的不同，生产率可以分为单要素生产率和全要素生产率或综合要素生产率。自Solow［3］在其重要论文中提出全要素生产率的核算方法以来，全要素生产率通常被解释为总产出中不能由要素投入所解释的部分［4］，全要素生产率增长对经济增长的贡献也被称为科技进步贡献率。

对全要素生产率的核算逐步由宏观层面过渡到微观层面，中小企业作为我国社会主义市场经济的重要组成部分，核算中小企业的全要素生产率，对分析他们的投入产出状态、更好地提高企业资源利用效率具有参考价值和指导意义。维持企业生产运营的各单要素生产率和全要素生产率的核算在理论上应该具有一致性和连贯性。本文基于Cobb-Douglas生产函数（简称C-D生产函数），运用势分析方法，通过引入势效系数，导出全要素生产率测度模型，即各单要素生产率的加权几何平均数；就劳动和资本两要素而言，全要素生产率等于劳动生产率与资本产出率的加权几何平均数；由于劳动生产率等于资本产出率与人均资本的乘积，因此全要素生产率可分解为资本产出率和人均资本两个来源；提高资本有机构成（增加人均资本）有助于提高全要素生产率，而加快资本周转（提高资本产出率）对于提高全要素生产率至关重要。在此框架下，笔者对河北省2018—2022年连续五年在册的517家科技型中小企业进行了实证分析。

二、文献回顾

当产出不能完全由要素投入所解釋，即出现“剩余”，这个剩余被称为全要素生产率。从投入产出角度看，全要素生产率反映了生产过程中全部投入要素的产出效率，那么将其归结为“剩余”或者科技进步并不准确。一方面，技术变革不一定转化为全要素生产率增长；另一方面，全要素生产率增长可以来源于管理水平提高、劳动力努力程度加强或者规模经济［5］等因素。核算全要素生产率的方法主要有C-D生产函数法、索洛余值法、CES生产函数、数据包络分析法、OP法［6］、LP法［7］等，这些方法的重点是测算全要素生产率增速，且不同方法各有其优势和不足。在早期的研究中，张军扩［8］、李京文等［9］的研究具有代表性，他们测算了全要素生产率增长对经济增长的贡献度，指出全要素生产率增长已经成为推动经济增长的重要源泉。鲁晓东等［4］指出，宏观和微观层面的测算对象不同，必须区分不同方法的适用性，企业层面测算全要素生产率增长较为普遍的方法是OP法和LP法。罗佳等［10］分别使用OP法和LP法测算了上市公司的全要素生产率，并实证研究了数字技术对全要素生产率的驱动作用。另外，冉芳等［11］、路春城等［12］、黄勃等［13］相关学者在实证研究中使用OP法和LP法计算企业全要素生产率。然而，使用类如OP法的半参数模型时，其中的半参数分量是未知的、不易控制和掌握的，会影响实际测算的精度［14］。

在宏观层面估计全要素生产率的增速时，假设技术是中性的；而在企业层面，企业技术水平是已知量，企业会根据其技术水平来调整投入要素的投入情况，这就导致使用传统的索洛模型估计存在内生性问题。从投入产出角度看，企业的职工人数和总资产仍是推动企业销售收入增加的重要因素，而技术水平的作用则最终体现在生产率的提高上，如技术装备可以提高劳动生产率等。核算全要素生产率的增长率需要分析一段时期内其对产出增长的贡献率，但在实际生产过程中，对全要素生产率水平的估计也至关重要。全要素生产率增长反映企业对资源利用效率的提高情况，而全要素生产率水平反映了历史时期和当前时期企业对资源的利用效率情况，通过发现全要素生产率的不足或资源错配情况并及时调整，有助于提高企业的投入产出效率。考虑到全要素生产率和单要素生产率测算逻辑的一致性，钟学义［15］在分析全要素生产率增长率和生产函数的基础上，提出了纯要素生产率增长率的核算方法，指出纯要素生产率增长率是单要素生产率的加权和。武义青等［16］基于生产函数，通过引入势效系数，推导发现全要素生产率是各单要素生产率的加权平均数，在考虑劳动和资本投入的情况下，全要素生产率为劳动生产率和资本产出率的加权平均。劳动生产率和资本产出率分别表示单位劳动力投入和资本投入的产出水平，经济意义明确且计算方法简便。基于该模型，全要素生产率的核算重点变为确定投入要素的种类和各单要素生产率的权重，并通过加权计算综合得出全要素生产率。权重的确定也不再严格依赖于OLS或者其他回归模型，可采用定性分析和定量分析相结合的方法综合确定。这样测算全要素生产率具有明确的经济意义，而且全要素生产率可以分解为不同的单要素生产率，全要素生产率的增速就约等于各单要素生产率增速的加权平均值，这样分析全要素生产率和单要素生产率的内在逻辑是一致的。据此方法，笔者估算了河北省科技型中小企业的全要素生产率，并分析其中的优势和不足。

三、研究方法

（一）C-D生产函数

在传统C-D生产函数下测算全要素生产率，称为“索洛余值法”，该方法常被用来衡量科技进步。假设投入要素分别为劳动和资本要素，得到的C-D生产函数为：

其中，y表示产出，L和K分别表示劳动和资本要素，α和β分别表示劳动和资本的产出弹性，A为结构参数。

各项系数一般需要利用统计分析工具，通过回归分析获得，对生产函数进行对数处理，得到线性函数：

通过最小二乘法回归得到的回归模型一般存在误差项μ，导致式（1）仅在特殊情况下严格成立，如：

其中，y、L和K分别为产出、劳动和资本的平均值。

（二）势分析模型

对于一般的统计数据，存在误差项μ，导致式（1）并不严格成立，在经济效益分析中，可能会产生误差。主动性决策理论认为，“势”作为资源发挥效能的条件和程度，具有和资源同样重要的地位。可通过引入“势效系数”对势进行量化。

在式（1）中引入势效系数后，得到扩展C-D生产函数的恒等式：

其中，rL和rK分别为劳动和资本要素的势效系数。令m=α+β，结合式（3），通过引入分离条件［17］，可得：

其中，rL由劳动生产率pL=yL演变而来，rK由资本产出率pK=y K演变而来，象征劳动和资本发挥效能的程度是合理的。将式（5）带入式（4），经整理得：

由式（6）可知，产出由投入要素生产率和要素投入两部分构成。α*=α α+β，β*=β α+β，且α*+β*=1。因此，全要素生产率（TFP）是各单要素生产率的加权几何平均数，即TFP=pα*Lpβ*K；由于pL=y L=y K× K L，因此，TFP=pK（K L）α*，即全要素生产率的高低由资本产出率和人均资本所决定，亦即增加人均资本（提高资本有机构成）有助于提高全要素生产率，而提高资本产出率（加快资本周转）对于提高全要素生产率至关重要。为简便计，本文使用等权法，将劳动和资本的权重分别设置为0.5进行案例分析。由于科技型中小企业缺少增加值和总产值数据，因此文中y使用了销售收入数据。

四、应用实例

（一）数据说明

本文使用势分析模型测算2018—2022年河北省科技型中小企业的全要素生产率。科技型中小企业是指依托一定数量的科技人员从事科学研究开发活动，取得自主知识产权并将其转化为高新技术产品或服务，从而实现可持续发展的中小企业。数据来源于河北省科技创新服务中心，在原始数据基础上，剔除以下异常数据样本：销售收入低于主营业务收入、资产总额小于净资产、成本费用低于研发费用以及数据指标明显异常的数据。经过处理，最终确定连续五年均在册的河北省科技型中小企业517家共2 585条样本数据。

在规模上，科技型中小企业职工总数不超过500人、年销售收入不超过2亿元、资产总额不超过2亿元。表1给出了五年在册的517家企业销售收入、职工人数和总资产的数据分布情况。数据显示：五年在册的517家企业的平均销售收入为3 12359万元，平均职工人数为6836人，平均总资产为4 43745万元。

（二）测算结果

1.总体情况。

根据势分析模型以及各指标数据，测算出河北省科技型中小企业2018—2022年（五年在册）全要素生产率以及劳动生产率、资本产出率和人均资本的结果，如表2所示。

测算结果表明，河北省科技型中小企业全要素生产率总体呈上升趋势。在考察期内，河北省科技型中小企业的全要素生产率由5.08上升至662，除2021年全要素生产率水平略有下降外，其他年份的全要素生产率均呈逐年递增趋势，2018—2022年全要素生产率平均增速为6.86%，这表明五年在册的河北省科技型中小企业对劳动力和资产资源的利用效率不断提高，企业生产的集约化程度加强。这一时期，全要素生产率增长对销售收入增长的贡献度为67%

（计算公式为：全要素生产率增长率/销售收入增长率）

，这表明在科技型中小企业中，全要素生产率增长是企业成长的重要源泉。

劳动生产率和资本产出率是构成全要素生产率的指标，河北省科技型中小企业的劳动生产率呈逐年递增趋势，资本产出率提高幅度相对较小。在考察期内，河北省科技型中小企业的劳动生产率由37.40万元/人上升至55.14万元/人，平均增长率为1019%，明显高于全要素生产率的增长速度。资本产出率由0.69万元/万元上升至0.72万元/万元，总体呈上升趋势，但在2020年和2021年呈下降的态势。资本产出率平均增长速度为107%，低于全要素生产率增速和劳动生产率增速，资本产出率增长率较低甚至为负限制了科技型中小企业全要素生产率的提高。

人均资本是企业中平均每位职工的资产额，反映了企业内资产和勞动力资源的配置情况，河北省科技型中小企业的人均资本呈逐年上升趋势。在考察期内，河北省科技型中小企业的人均资本由54.20万元/人上升至76.56万元/人，年均增长率为902%，增长速度较高。

根据前文分析，河北省科技型中小企业的全要素生产率及劳动生产率、资本产出率均呈上升趋势，但上升的速度差异较大，劳动生产率增速明显较高，资本产出率增速则相对较低。观测各指标的变动情况，如表3所示。从表3可知，资本产出率下降的企业数量较多，占比达到将近一半，较多的企业资本产出率呈下降趋势是导致河北省科技型中小企业资本产出率增速较低的主要原因。资本产出率下降是我国各地区普遍面临的问题［18］，而河北省科技型中小企业中有52.22%的企业资本产出率是上升的，这充分体现了科技型中小企业的创新优势。

2.地区分析。

五年在册的河北省科技型中小企业在河北省内各市的分布是不均衡的，本文统计了河北省11个设区市和辛集市、定州市以及雄安新区的企业分布情况，见表4。由表4可知，

石家庄市的企业数量最多，有226家，占比为4371%，其次为保定市和廊坊市，企业数量占比均在10%以上，其他地区的企业数量占比相对较低。

将河北省科技型中小企业按照所属地区计算全要素生产率，结果如表5所示。2022年各地区全要素生产率水平的地区差异较大。测算结果显示，在参与测算的11个设区市以及辛集市、定州市和雄安新区共14个地区中，有6个地区的全要素生产率高于全省科技中小型企业平均水平（662），按照全要素生产率水平由高到低排序依次是：雄安新区、衡水、沧州、辛集、邯郸和石家庄，其他8个地区的全要素生产率水平低于平均水平。雄安新区、唐山、辛集和石家庄的全要素生产率增速也较高，均在7%以上，定州的全要素生产率增速是负数，表明在考察期内定州的全要素生产率呈下降趋势，其他地区的全要素生产率均保持上升趋势，增长速度存在差异。

从各地区2022年生产率水平和2018—2022年的平均增长情况来看（见表6），各地区普遍存在劳动生产率增速较高，而资本产出率增速较低的情况。

從表6中可以看到，在劳动生产率上，雄安新区、邯郸、沧州、廊坊等地的劳动生产率水平均较高，而且增速也较快，除定州外，其他地区的劳动生产率均呈上升趋势；资本产出率下降的地区较多，分别有承德、保定、邯郸、张家口和定州，衡水、沧州、唐山和邢台的资本产出率增速较高；各地区人均资本均保持上升趋势，是劳动生产率提高的重要驱动因素。

从全要素生产率增长对销售收入增长的贡献度来看（见图1），衡水、廊坊、唐山和沧州的科技型中小企业全要素生产率增长对销售收入入增长的贡献度高于全省平均水平，其他地区的贡献偏低。在提高全要素生产率水平的基础上，其增长对销售收入的贡献度是反映集约化程度的重要参考指标。

综上，河北省科技型中小企业（五年在册）在省内各地区的分布存在差异，省会石家庄的企业数量较多，其次为保定和廊坊。不同地区的全要素生产率水平也呈现较大差异，雄安新区、衡水、沧州等地区的全要素生产率水平较高，各单要素生产率水平同样较高。但总体上，资本产出率增速较低，甚至多个地区出现资本产出率下降的问题，限制了全要素生产率水平的提升。

3.行业分析。

河北省科技型中小企业主要分布在制造业，信息传输、软件和信息技术服务业，科学研究和技术服务业三个行业，其中以制造业企业数量最多，三个行业累计企业数量占比为9323%（见表7），占比较高，故对行业的生产率分析集中在这三大行业，其他行业的企业分布数量具体见表7。

表8为河北省科技型中小企业前三大行业的全要素生产率变动情况。2018—2022年三大行业的全要素生产率呈上升趋势。制造业的全要素生产率水平较高，由2018年的5.33上升至2022年的6.51，年平均增速为5.15%；信息传输、软件和信息技术服务业的全要素生产率由2018年的4-47上升至2022年的5.43，年平均增速为5%；科学研究和技术服务业的全要素生产率由2018年的4.01上升至2022年的6-04，年平均增速为10.78%，增长速度较快。

从全要素生产率增长对销售收入增长的贡献度来看，三大行业的贡献度均超过50%，科学研究和技术服务业的贡献度最高，达到64.98%。

从生产率的变动趋势来看，三大行业的劳动生产率、资本产出率及人均资本均呈上升趋势，增速相对较低的仍是资本产出率（见表9）。在资本产出率中，科学研究和技术服务业的资本产出率增速明显高于制造业和信息传输、软件和信息技术服务业。

综上，河北省科技型中小企业主要分布于制造业，信息传输、软件和信息技术服务业，科学研究和技术服务业。制造业全要素生产率水平较高，而科学研究和技术服务业的各单要素生产率增长率较高，并且全要素生产率增长对企业成长的贡献度较高。

五、结论和建议

（一）主要结论

1.通过引入势效系数的生产函数，不仅可以计算全要素生产率水平，也可以计算全要素生产率增速及其对产出的贡献度，且具有明确的经济意义。全要素生产率是劳动生产率和资本产出率的加权平均，还可分解为资本产出率和人均资本两个方面，可综合可分解，既可以进行横向分析，也可以进行纵向比较。我们既要重视人均资本即资本有机构成的提高对劳动生产率提高的作用，更要重视资本产出率提高即加快资本周转对全要素生产率的作用，这对经济高质量发展是至关重要的。

2.河北省科技型中小企业全要素生产率呈上升趋势，其增长对企业成长的贡献度为67%，全要素生产率提高是企业成长的重要源泉。通过单要素生产率分析也发现，有47.78%的企业资本产出率呈下降趋势，制约了河北省科技型中小企业全要素生产率的增长。提高全要素生产率，应高度重视资本产出率下降这一现象。

3.从地区分布来看，河北省科技型中小企业主要分布在石家庄、保定和廊坊，其中石家庄的企业数量最多，约占总体的43.71%。雄安新区、衡水、沧州等6个地区科技型中小企业的全要素生产率水平高于全省平均水平，衡水、廊坊、唐山和沧州的科技型中小企业全要素生产率增长对企业成长的贡献度高于全省平均水平。资本产出率增速较低甚至为负数也是河北省各地区科技型中小企业普遍面临的挑战。

4.从行业分布来看，河北省科技型中小企业主要分布在制造业，信息传输、软件和信息技术服务业，科学研究和技术服务业三个行业，其中以制造业的企业数量最多，占总企业数量的62.86%。制造业的全要素生产率水平最高，科学研究和技术服务业各要素生产率增速以及全要素生产率增长对企业成长的贡献度较高。

（二）几点建议

1.编制全要素生产率指数，动态监测企业高质量成长。全要素生产率作为衡量企业能否实现质的有效提升的重要指标，加快编制企业层面的全要素生产率指数，并将其作为引导科技型中小企业高质量发展和效益提升的重要抓手。开展全要素生产率核算工作，要对全要素生产率及劳动生产率和资本产出率等单要素生产率进行动态监测。

2.建立京津冀数字技术协同创新共同体，促进企业数字化转型。研究发现，河北省五年在册的科技型中小企业中有47.78%的企业资本产出率呈下降趋势，这可能与传统工业化的“规模报酬递减”有关。以数字经济为代表的新型工业化可以突破“规模报酬递减”规律的限制，进而实现规模报酬递增。建议加快建立京津冀数字技术协同创新共同体。在科技服务体系方面，建议由政府牵线搭桥，组织京津的科研项目及技术研发、技术交易、技术转移、成果孵化、科技咨询、科技金融等服务机构向河北（雄安新区）疏解，形成产业创新服务综合体，搭建科技服务超市，以尽快解决成果转化链条中的“最初一公里”“最后一公里”堵点问题，提高知识扩散的效率和效能。在载体建设方面，高质量建设国家级新区、国家高新区、自贸试验区等功能区，建设一批中试熟化基地，让京津项目在河北能引进来、留得住、发展好。通过京津冀区域科技服务体系和载体建设，赋能河北科技型中小企业数字化转型，促进河北实体经济高质量发展。

3.依法规范资本行为，提高资本产出率。习近平总书记在中共中央政治局第三十八次集體学习时强调，“必须深化对新的时代条件下我国各类资本及其作用的认识，规范和引导资本健康发展，发挥其作为重要生产要素的积极作用。”［19］在实际的研究中发现，资本产出率大面积下降制约了全要素生产率的提高，资产负债率较高影响了企业健康成长。资本具有两面性，一方面，资本作为重要的生产要素，能够促进企业高质量发展；另一方面，资本具有逐利性，资本的无序扩张会阻碍企业高质量发展。要充分发挥资本的积极作用，同时，也要为资本设置“红绿灯”，依法加强对资本的有效监管，防止资本野蛮生长。

4.借势京津高端智力资源，助力劳动生产率提升。更好发挥人才第一资源作用，河北要加大与京津在教育特别是高等教育、科技、人才等领域的协同力度，主动承接京津优质创新资源，引进具有深厚科学素养、突出能力的创新人才。推进教育、科技、人才一体化发展，为河北经济高质量发展提供基础性、战略性支撑。深化人才发展体制机制改革，实施更加积极、开放、有效的人才政策，不拘一格，倾心引才，用好用活各类人才。

5.注重人—机匹配，充分发挥劳动、资本等生产要素的效能。提高资本有机构成（人均资本）是提高劳动生产率进而提高全要素生产率的必由之路；与此同时，我们也要特别注意，不能片面强调过度投资，一定要注重投资方向、投资结构和投资的有效性。尤其是要注重劳动者素质的提高，因为，如果不能实现人—机匹配，再好的设备也无法得到有效地利用，从而会造成资本资源的浪费。

6.健全服务体系，开展精准服务。健全政府在解决企业创新中所面临的软硬基础设施建设和所带来的外部性问题方面的职能，完善政府公共服务与市场化服务和社会化公益服务相结合、精准赋能科技型中小企业的公共服务体系；充分发挥中小企业公共服务平台网络骨干架构功能，丰富服务内容，创新服务模式，为中小企业提供个性化、专业化的精准服务；开发科技型中小企业专属金融产品，提供科技型中小企业专项融资服务。发挥市场在创新资源配置中的决定性作用，强化企业在技术创新方面的主体地位，以技术进步促进科技型中小企业全要素生产率提升，推动河北经济实现质的有效提升和量的合理增长。

7.营造有利于科技型中小企业成长的良好环境。切实落实“两个毫不动摇”，优化民营企业发展环境，促进民营经济发展壮大。民营企业是社会主义市场经济的重要组成部分，对推动经济发展、就业、创新等具有重要作用。中小企业是民营企业的主力军，而科技型中小企业是培育发展新动能，推动产业结构转型升级和高质量发展的重要力量。要从制度和法律方面保障科技型中小企业产权和企业家权益，为科技型中小企业发展开辟更广阔的发展空间。各级各部门要积极解决科技型中小企业发展面临的难题，营造有利于科技型中小企业成长的良好环境。

注释：

①参见习近平：《高举中国特色社会主义伟大旗帜 为全面建设社会主义现代化国家而团结奋斗——在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告（2022年10月16日）》，人民出版社2022年版，第28、36页。

参考文献：

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责任编辑：艾 岚

Measurement and Application of Total Factor Productivity

Based on the C-D Production Function

Wu Yiqing1， Geng Yanlou2， Yao Lianxiao3

（1.Hebei Collaborative Innovation Center for Coordinated Development of Beijing， Tianjin and Hebei，

Hebei University of Economics and Business， Shijiazhuang Hebei 050061，China;

2. Hebei Science and Technology Innovation Service Center， Shijiazhuang Hebei 050057， China;

3. Institute of Economics Study， Hebei University of Economics and Business， Shijiazhuang Hebei 050061， China）

Abstract：

Measuring total factor productivity scientifically is of great significance for guiding the healthy growth of enterprises and high-quality economic development. Based on the theory of active decision-making， using the potential analysis method， this paper introduces the potential effect coefficient into the Cobb-Douglas production function， and derives the measurement model and analysis framework of total factor productivity， that is， the total factor productivity is equal to the weighted geometric average of single factor productivity; Under this framework， this paper makes an empirical analysis of 517 small and medium sci-tech enterprises continuously registered in Hebei Province from 2018 to 2022. The results show that the total factor productivity of small and medium sci-tech enterprises in Hebei Province generally shows an increasing trend， regardless of the overall situation or based on regional distribution and industry distribution， and the low growth rate of capital output rate is an important reason to limit the growth of total factor productivity of enterprises. The key to improve the quality of economic development is to improve the total factor productivity， including compiling the total factor productivity index， establishing the Beijing-Tianjin-Hebei digital technology collaborative innovation community， standardizing capital behavior according to law， and so on.

Key words：

total factor productivity; production function; potential effect coefficient; small and medium sci-tech enterprises