澳大利亚小学路标数学教材的框架、特点与启示

邱丽

摘要：教材是落实培育学生核心素养的重要桥梁和工具。新方案、新数学课标的颁布意味着亟需对数学教材进行修订。作为在国际上有较高教育水准的国家，澳大利亚在数学教材的编制方面有着十分丰富的经验。对澳大利亚Signpost Maths小学数学教材进行深入分析发现其具有学习导向的教材内容编排、梯度分明的教材习题设计、功能各异的特色图标设置特点。鉴于此，我国新一轮数学教材编写应注重以学生为使用主体进行教材编写、加强教材内部习题编制的梯度性设计、增加教材内部辅助性学习元素的使用。

关键词：澳大利亚；小学数学；教材；核心素养

2022年4月21日教育部印发了《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《数学课标》），《数学课标》的出台意味着需要进行新一轮的数学教材改革，以落实《数学课标》的新理念与新要求。作为在国际上有较高教育水准的国家，澳大利亚在数学教材的编制方面有着十分丰富的经验。它山之石可以攻玉，本研究遂选取了在澳大利亚被广为使用的由Pearson出版集团出版的教材《Australian Signpost Maths》（以下简称“路标数学”）进行深入分析，以为我国小学数学教材的编写和修订提供参考。

一、澳大利亚Signpost Maths小学数学教材的框架

1.澳大利亚Signpost Maths小学数学教材简介

路标数学由四类数学教材组成，分别为学生活动用书（Student Books）、教师用书（Teacher’s Books）、习题册（Mental Books）、网站（Website）。学生活动用书类似于我国小学生所使用的数学教科书，是学生数学课上的主要学习材料。教师用书和我国的教师教学用书类似，能为教师授课提供指导性意见。习题册和我国数学教材的配套练习册类似，不同的是习题册用于对前两周学生活动用书中相关数学学习内容的复习。网站是一个集数学工具、数学游戏、数学测试等数学资源于一体的开放性线上平台，可供班级、学习小组、个人使用。由于我国小学生在课堂教学中多是借助数学教科书来进行学习，所以本文的路标数学特指学生活动用书。

2.澳大利亚Signpost Maths小学数学教材的内容组成

路标数学由三大板块构成：前言、学习内容、答案和测试卷。前言部分的内容主要包括路标数学的介绍、目录、教学时间安排建议、交叉引用内容、词汇表五大部分。通过阅读前言部分可以对路标数学有一个整体的感知。学习内容部分是路标数学的主体部分，包括数与代数（Number and Algebra）、测量与几何（Measurement and Geometry）、统计与概率（Statistics and Probability）三大板块。在一、二年级时，4课组成一个单元，单元内容由上述三个板块的内容混合搭配。二年级以后，单元的划分由学习内容的类型而定，共被分为数与代数A、数与代数B、测量与几何A、测量与几何B、统计与概率五个单元。路标数学的最后一个板块由答案和测试卷组成。答案是针对路标数学书上每一课的问题制定的参考性答案。测试卷共计8套，在前言的目录中标注出了建议实施测试的时间。

3.澳大利亚Signpost Maths小学数学教材的编写线索

路标数学围绕“七大核心素养”与“四大数学能力”对数与代数、测量与几何、统计与概率三大板块的内容进行选材与组织。在核心素养方面，澳大利亚联邦教育部于2022年4月通过的《澳大利亚课程9.0版修订版》明确指出了各学习领域（数学、语言、英语、科学、健康与体育、人文与社会科学、艺术、技术）均需要培养的七个核心素养，分别为：读写素养（Literacy）、算术素养（Numeracy）、信息与技术素养（Digital Literacy）、批判性和创新性思维（Critical and Creative Thinking）、个人与社交能力（Personal and Social Capability）、道德伦理理解（Ethical Understanding）、跨文化理解（Intercultural Understanding）。任何一个核心素养“都不是某一学习领域的单独任务，而是各项学习领域共同配合的结果”[ ]。就数学学习领域更为有利培养的核心素养而言，《澳大利亚数学课程标准（9.0版本）》（以下简称《澳洲课标》）指出数学学习领域在培养读写素养、算术素养、信息与技术素养、批判性和创新性思维、道德伦理理解方面更有优势。数学学习领域培养上述五大核心素养的具体方式见表1。路标数学通过呈现相应的情景、问题等来辅助教师培育学生的核心素养，每一册路标数学均体现了核心素养的培养要求。

在数学能力方面，《澳洲课标》明确提出要培养理解（Understanding）、熟练（Fluency）、问题解决（Problem Solving）和推理（Reasoning）四大数学能力。对于“理解”能力和“问题解决”能力，路标数学以图标的形式进行明确标注。如，“CONCEPT”图标表示此处有重要的规则和观念，需要学生充分理解，对应的是“理解”能力；“ACTIVITY”图标和“INVESTIGATION”图标表示此处需要学生运用概念和策略来探寻问题解决的方案，对应的是“问题解决”能力。对于“熟练”能力，路标数学学习内容板块的每一页都会以直接的文字问题、图表等内容来培养学生的“熟练”能力。对于“推理”能力，路标数学学习内容板块将会以真实情境下的复杂问题对学生的“推理”能力进行培养与考察。

表1 数学学习领域培养五大核心素养的方式

二、澳大利亚Signpost Maths小学数学教材的特点

通过对路标数学进行深入分析，发现路标数学具有以下三大显著特点。

1.学习导向的教材内容编排

教材内容编排的“学习导向”是指教材能够成为“激发学生学习、引导学生学习的重要材料”[ ]。就课堂教学而言，教材不仅是“教”的材料，更是“學”的材料。作为“教”的材料，教材服务于教师的“教”理所应当。但实际上教材更应该作为“学”的材料，因为学生核心素养的发展只能依靠自身的学习，教师“教”的起点与归宿均是学生本身。我国著名教育家叶圣陶先生曾言：“凡为教，目的在达到不需要教”[ ]，即“教是为了不教”。学习导向的教材内容编排有利于培养学生的自学能力，促进学生核心素养的发展。

具体而言，路标数学学习导向的教材内容编排主要体现在以下三方面。第一，板块化和阶梯化的知识内容编排。板块化的知识内容编排是指路标数学的主要学习内容依次可以分为数与代数A、数与代数B、测量与几何A、测量与几何B、统计与概率五个板块。阶梯化的知识内容编排是指从该板块的第一页（一页为一个学习内容或知识点）到最后一页，学习内容的难度逐渐攀升。路标数学板块化和阶梯化的知识内容编排一方面展现了某一方面的数学知识发展的脉络与结构；另一方面为学有余力想要课后继续学习路标数学的学生提供了清晰的线索。第二，配套的习题答案。学生拥有习题答案便于学生及时地发现自己的作业何处有错，继而进行纠正。只有在及时的、适当的“练习-出错-纠正”的循环下，学生做习题才有意义。第三，诊断性测试卷的设置。八套诊断性测试卷能够对学生在某一阶段内的学习情况进行总体的考察与评估，从而及时帮助学生发现自身在数学学习上的薄弱之处，继而有利于学生后期进行针对性地查缺补漏。

2.梯度分明的教材习题设计

由于路标数学的一页就是一个新的学习内容或知识点，所以路标数学的典型例题和习题镶嵌于一体。围绕典型例题背后的知识点所设计的习题具有明晰的梯度。梯度的设置围绕理解、熟练、问题解决和推理四大数学能力展开。接下来以三年级路标数学中的“图形复习”一课（Shapes Revision）为例，展示路标数学中习题设计的梯度。该页开头呈现了正方形、长方形、正六边形、圆形、三角形、菱形六张图片。围绕这六幅图片，路标数学共设计了六个习题。第一题直接考察学生是否认识图形，如“圆对应的是哪幅图片？”。第二题间接考察学生是否认识图形，如“三条边的是哪个图形？”此二者对应的数学能力皆是“理解”能力。第三题考察学生是否掌握了上述图形的特征，如“每条边都相等的图形是哪一个？”第四题考察学生是否能在组合图形中找出学过的图形，如“房子是由（三角形）和（长方形）组成”。此二者对应的数学能力皆是“熟练”能力。第五题呈现了一副由多种图形组合而成的图片，要求学生找出在该幅图片中正方形使用的数量、圆形使用的数量、长方形使用的数量、三角形使用的数量，并要求学生利用学过的图形画一幅图画。与此同时，该题还注有醒目的“ACTIVITY”图标。由此可知，该题对应的数学能力是“问题解决”能力。就此例可推知，路标数学习题的设置，采用“小步子原则”进行设计，由易到难，梯度分明，逐步培养学生的数学能力。

3.功能各异的特色图标设置

路标数学的辅助性图标可分为反馈型、提示型、娱乐型三类。反馈型图标每页都有，其实质是一个“交通信号灯”图标，共有红、黄、绿三种颜色。反馈型图标是学生对此课学习情况的一种自我评价，在“红色”下面打钩表示“没有掌握此课内容”，在“黄色”下面打钩表示“基本掌握此课内容”，在“绿色”下面打钩表示“完全掌握此课内容”。反馈型图标不仅能培养学生的自我反思能力，还有助于教师及时了解学生的学习情况，便于教师在后期教学中及时地进行个别辅导。提示型图标有“CONCEPT”、“ACTIVITY”、“INVESTIGATION”和“ICT”四种，用来提示或强调教材中某内容的特点、需求。前三种在前文已有介绍，不再重复。“ICT”图标用来指出或强调教材中的某内容可以使用电脑、计算机或其他电子设备。如，在五年级路标数学的“因素和倍数”（Factors and Multiples）一课中，有“ICT”图标的地方就明确要求使用计算机去探寻“36，42，48，（），（），（），（），（），（）……”题目的答案。娱乐型图标一般用于数学游戏和数学谜题中，具有激发学生学习数学的兴趣、激励学生参加数学活动、缓解学生学习数学的疲劳等作用。

三、启示

由对路标数学编写特点的深入分析可知，我国新一轮数学教材改革应注重以学生为使用主体进行教材编写、加强教材内部习题编制的梯度性设计、增加教材内部辅助性学习元素的使用。

1.注重以学生为使用主体进行教材编写

数学教材真正的使用主体是学生，应以学生为使用主体进行教材的谋篇布局。这就要求数学教材的编写贴合学生的实际身心发展状况、能力水平、相关需求等。从路标数学的知识点编排、答案的设置等内容均可以看出路标数学将其使用主体定位为学生，教材完全可以为学生自学使用。反观我国使用人数较多的人教版、北师大版等数学教材，其在知识的编排上虽是围绕数与代数、图形与几何、统计与概率三大板块进行设计，但每一板块的知识却是错落分布。如，在人教版三年级下册的数学教材中，数与代数板块的内容分布在第二、四、六、七单元；图形与几何板块的内容分布在第一、五单元。上述编排不利于学生把握某内容板块内知识发展的脉络，对学生的自学造成了一定的阻碍。此外，我国几乎所有的数学教材都没有参考答案，这就导致多数情况下学生只能“等待”教师公布答案，而不是自己及時的去订正。显然，这并不是学生作为数学教材使用主体的应有表现。其实，学生作为主体使用教材的研究在国外颇多，我国新一轮数学教材编写应“扎根本土，借鉴国际成果，促进数学教科书使用研究中的主体由教师向学生过渡的优质转型和良性发展”[ ]。

2.加强教材内部习题编制的梯度性设计

数学教材内部习题的作用不仅在于帮助学生巩固新知，也在于“培养能力、开拓思维、熟练技能”[ ]，这是数学教材内部习题编制的应有之意。从路标数学教材内部习题的编制来看，其编制围绕理解、熟练、问题解决和推理四大数学能力，分别设计相应难度的习题。从开始的“理解”等级，到最终的“推理”等级，习题编制的过程环环相扣，习题编制的难度步步上升。由此可以看出，学生对数学知识的学习是一个从感性认识到理性认识再到实践加深的良性循环。我国《数学课标》中强调要培育学生的核心素养，而核心素养“牵涉到不仅‘知晓什么’，而且在现实的问题情境中‘能做什么’的问题。”[ ]这就自然而然地要求编者在数学教材内部习题的编制过程中，不仅考察学生对知识的理解、掌握，还应考察学生在复杂的真实问题情境下的问题解决能力。具体而言，在我国新一轮数学教材内部习题的编制过程中应加强习题的梯度设计，从最底层的知识层面的设计，逐步上升到素养层面的设计。就具体的梯度设置而言，我国应扎根本土，辩证地学习、参考澳大利亚等教育强国在数学教材内部习题编制上的梯度设计思想。

3.增加教材内部辅助性学习元素的使用

数学教材内部的辅助性学习元素是指多样化的图标、字体、典型人物的提示等能够减轻学生认知负荷、提供学习线索的助学性支架系统。以路标数学为例，图标是路标数学中使用最多的辅助性学习元素，共分为反馈型、提示型、娱乐型三类。不同类型的图标有着各自特定的功能，其综合使用能够大大降低学生学习路标数学的难度。此外，从卫生学的角度看，简洁明了却意蕴丰富的图标等辅助性学习元素能够减轻学生的思维疲劳，促进学生的身心健康发展。我国新一轮的数学教材编写也应该丰富辅助性学习元素的使用。如，在图标方面，可根据实际需求设置“交通灯”、“拇指图”、“标签图”等各类表意明确、使用方便的图标；在字体方面，可对学生在数学学习中接触到的相关概念、定理等进行加粗设计，并将其置于特定的图形之中；在人物的提示方面，可编制有特定作用的人物角色来推动学生的数学学习不断向前发展，等等。

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责任编辑；白文军