一般观念引领下的数学解题教学

黄晖明　吴国文

【摘 要】一般观念是数学大概念的一种表现形式，一般观念引领下的数学解题教学是以培养学生解决真实问题的专家思维为核心目标的教学。在教学实践中，通过概念再认知提炼一般观念，思考方法迁移深化一般观念，进阶追问驱动发展一般观念，帮助学生突破“解题思路怎么获得”的难题，形成专家思维。

【关键词】一般观念；解题教学

数学解题是由一定情境引起，按照一定的目标，综合地、创造性地运用各种数学知识、技能，并经过一系列的思维操作去解决问题的过程，包括解决常规问题、实际问题和源于数学内部的问题。在解题教学过程中，多数教师通过类型题的训练，帮助学生提炼出解题技巧及思维共性，再配以相关练习对知识和技能加以巩固。为达到知识应用目的，教师容易简化思维碰撞的过程，长此以往，会导致解题教学徘徊在传授及应用专家结论的层面，无法触及专家思维层面。不可否认，这样的解题教学可以使学生的成绩在短期内有所提升，但是缺点也是明显的，即解题具体操作与解题策略由来之间缺少了沟通的桥梁，对“为什么这样想”“如何才能想到”“具体怎么做”（即解题方法）等的思维、策略引导不够，学生对问题的本质认识不够清晰，解题只停留在模仿阶段，变化问题情境后可能又会束手无策，这也就是“一说就懂、一做就错”的根源所在。由传授及应用专家结论转向培养专家思维的解题教学转型势在必行。

一、数学一般观念的内涵

一般观念是数学大概念的一种表现形式。它是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式及其几何性质、代数性质、函数性质、概率性质等“是什么”的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指引作用。［1］

按照所在层级，一般观念可以分为课程一般观念、单元一般观念和课时一般观念。根据教学功能不同，这些不同层级的一般观念还可以分为以下三类：一是指向内容“是什么”的一般观念，如几何图形的性质是什么（即图形的形状特征、大小度量及位置关系）等；指向内容“怎么学”的一般观念，如借助单位圆研究三角函数，通过运算研究数列相关问题等；指向内容所蕴含的数学基本思想的一般观念，如三角函数性质是圆几何性质（主要是对称性）的直接反映，研究随机问题的重要思想（将一个随机变量表示成一个主要的确定性的量与一个次要的随机量之和，只要控制次要的随机量在一定的范围之内，那么随机问题就可以通过研究确定性问题得到理想的结果）等。［2］从教学功能看，一般观念具有数学基本思想和具体研究策略双重属性，反映的是专家的思维方式，能将离散的知识结构化和内隐的方法系统化，能统领教学内容的组织，引领课堂教学的有序展开。

二、一般观念引领下数学解题教学的优势

一般观念引领下的数学解题教学，是以培养学生解决真实问题的专家思维为核心目标的教学。“关联”和“迁移”是一般观念引领下解题教学的基本特征，也是优势所在。

一般观念在统摄和组织教学内容时，强调知识、方法的内在关联性和逻辑性，突出一般观念的串联作用。解题教学中的关联主要包含内容所处知识结构的关联和内容所涉及思考方法的关联。一般观念是单元整合的依据和标准，一般观念引领下的数学解题教学可以根据关联性将教学内容迭代、累积、连接成主题单元，让学生更加深刻地感受不同题型在同一思考方式下的解决过程，帮助学生构建出解决同一类相关问题的思维支架。

迁移被定义为把一个情境中学到的东西迁移到新情境中的能力，一般观念引领下的解题教学的迁移机制是高通路迁移（新任务与原任务不相似），需要用到具体与抽象的协同思维。即从很多具体案例中抽象出一个原理，再用这个原理指导下一次任务的完成［3］，具体案例越丰富多样，抽象出来的原理就会越高位。学生在“具体—抽象—具体”的循环过程中，反复体验一般观念在问题解决中的思维引领作用，在深化和发展一般观念的同时实现自主解决现实问题的最终目标。思考方法的迁移是一般观念引领下解题教学的重要任务，是利用相同或相似的方法研究一类问题，发生在较高的抽象层次，其迁移范围根据思考方法本身的层次，或表现出与具体数学主题有关，或超越具体内容而表现出普遍的适用性［4］。

三、一般观念引领下数学解题教学设计要点

一般观念是高度抽象的，在解决问题中的引导作用并不是显而易见的。一般观念的学习也不可能一蹴而就，而是要经历一个从接触到熟悉、领悟再到自觉运用的“生长”过程。［5］一般观念引领下的解题教学设计主要包含三个关键要点：概念再认知，提炼一般观念；思考方法迁移，深化一般观念；问题链驱动，发展一般观念。

（一）概念再认知，提炼一般观念

首先是要帮助学生将题目与知识关联起来，并通过概念将知识结构组织起来，接着是对概念进行深入挖掘和拓展，厘清概念本质及所蕴含的基本思想方法，进而提炼出一般观念。概念回顾不是简单地“炒冷饭”，而是对概念的再认识，是揭示解题思路的由来进而形成一般观念的首要环节。

（二）思考方法迁移，深化一般观念

与具体数学内容相关的思考方法类型较多而且具体，将这些思考方法放在同一领域内容的学习或者问题解决中，其通用性能有效促进学生实现知识、方法的迁移。比如在解决函数极值、最值、恒成立等问题时，函数零点是解题的基础，碰到零点不可求的时候，经常会转化为新函数来研究，虽然转化形式不同，但解题过程的核心思想都是“函数的观点统领方程、不等式”“导数是研究函数性质与图象的工具”的一般觀念。在教学中需要有意识地让学生学习这种具有方法论意义的思考方法，这也就需要教师站在这类思考方法的关联性角度整体地设计教学。

（三）问题链驱动，发展一般观念

有效的数学学习需具备三个重要条件：好的学习素材，有效的研究思路，符合知识自然发生发展和学生认知规律的问题。解题教学需要借助具体的研究对象，以问题为载体，将一般观念融于有逻辑、有结构的问题链中，通过问题链给出一般观念的明确提示，引导学生开展系统化、系列化的数学活动。设计教学时还应适当变化问题情境，让学生学会运用一般观念去解决问题。设计逻辑、因果、关联三个层级的追问，让学生经历“就题论题、就题论法、就题论道”的螺旋上升、层层递进的解题分析过程，从微观到宏观，帮助学生洞察数学解题的逻辑思维过程，从而丰富知识结构，形成方法体系。问题由具体到综合、由表象到本质的不断进阶，使得学生的数学思维不断深化，思维层级从低阶走向高阶，在进阶的过程中不断深化、发展一般观念。以问题链进行进阶追问，是一般观念引领下解题教学的主要析题模式。

四、一般觀念引领下数学解题教学实践

本文以函数的“零点不可求问题”为例，探析一般观念引领下的数学解题教学模式。

1.关联：追寻策略由来，提炼一般观念

【师生活动】学生通过观察函数的结构特征，联系函数零点个数与两函数图象交点个数的关系，利用全分离等价转化为直线与曲线的交点个数或利用半分离等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数。

追问2（因果追问）：解题思路是怎么想到的？

【师生活动】师生对内容所包含的概念进行梳理，形成知识结构，进而提炼出解题过程中的一般观念。首先是对零点这一概念的把握，它是函数图象与x轴交点的横坐标，是函数的性质之一；同时函数有零点与方程有根、两函数图象有交点是等价命题，可以相互转化。通过对概念的再次解析，学生对零点的知识结构有更加清晰的认知，同时从概念中提炼出“是什么”的一般观念（零点是函数的性质之一）和“怎么学”的一般观念（函数观点统领方程、不等式，利用导数研究函数的性质与图象），由此当零点不可求时，回归到如何研究函数图象及性质并作图解决问题上。一般观念便是解题思路的由来。

【设计意图】例题教学旨在通过具体案例，抽象出解决问题的“原理”，不能仅仅止步于会解这道题，而是将学生的思维朝“为什么这样解”“思路是怎么想到的”方向引导。首先是通过逻辑追问，引导学生对解题过程展开因果关系的探究，帮助学生追寻解题过程中的逻辑关系，明确解题过程每一个步骤的“理”，得出题与概念的关联。接着，在明白解析过程的逻辑关系后，学生暂时学会解答一道题，此时设计因果追问，将分析视角引向知识本质、方法由来，探究出概念与思考方法的本质关联，从而提炼出一般观念。

2.迁移：强化思考方法，深化一般观念

一般观念引领下的数学解题教学是在高通路迁移的机制下进行的，它的重要特征在于案例背景不相似，但案例所承载的思考方法是一致的。迁移的实现有赖于反思性学习，教师在教学中可通过问题引领学生不断反思，构建具体与抽象的关联，从而实现有意识的、深思熟虑的迁移。基于上述考虑，本文选取的3道练习题涉及极值点个数判断、单调性、恒成立等知识背景，并以方程、不等式、函数等不同载体呈现，目的在于引领学生发现解题过程中用到的思考方法是一致的，即“函数观点统领方程、不等式”“导数是研究函数性质与图象的工具”等。之后，通过问题链的进阶追问，引导学生从具体的案例中抽象出解题的“原理”，再利用“原理”解决新问题。在这种高通路迁移的机制下，学生经历具体到抽象、抽象到具体的循环往复过程，不断体会一般观念的思维引领作用。

【师生活动】引导学生归纳4道题在碰到零点不可求时都可以转化为新函数来研究，虽然转化形式不同，但解题过程都是在“函数的观点统领方程、不等式”“导数是研究函数性质与图象的工具”的一般观念引领下进行的。

【设计意图】因果追问后，学生获得试题与知识、思考方法的表层关系，但这种关系是碎片化的，无法形成整体性的关联。只有把这种孤立的表层关系放到思考方法的体系中，抓住事物的本质和规律，开展系统的理解活动，才能探明它们的内在联系，建立良好的认知结构，实现知识和方法的迁移。由此设计关联追问，旨在引导学生对一类题进行分析、综合，进而丰富认知结构，发展一般观念。学生需要调动以往的经验参与当下的学习，又要将当下学习内容与已有经验建立结构性的关联，这是高阶思维的重要体现。通过关联追问，可以让学生不断接触、反复体会解题过程中共通的思考方法，感受一般观念在解题中的思维引领作用，从而凸显一般观念的统领性和策略性，深化、发展学生的一般观念。

一般观念引领下的解题教学，重在帮助学生突破“解题思路怎么获得”的难题，形成专家思维，从而提升学生的解题水平和思维能力。一般观念的渗透应该成为教师解题教学的重要策略。

参考文献：

［1］章建跃.学会提问：之五［J］.中小学数学（高中版），2022（3）：封四.

［2］黄晖明.一般观念为统领 方法体系成自然：例析一般观念下高三数学二轮专题复习设计［J］.理科考试研究，2023（7）：2-5.

［3］刘徽.大概念教学：素养导向的单元整体设计［M］.北京：教育科学出版社，2022：18.

［4］唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：77.

［5］章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革（续4）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写［J］.中学数学教学参考，2019（16）：7-11.

（责任编辑：潘安）