离散数学课程教学改革的实践与分析

董玲珍 杨明俊 温智华

［摘           要］  离散数学是计算机科学与技术专业的基础课。首先分析了课程特点，强调了这门课程的开设与教学方法改革的重要性。其次，具体地介绍了不同方面的教学改革实践，并且基于教学成果探讨了本次教学改革实践的优缺点。

［关    键   词］  离散数学；创新思维；思政元素；应用实例；生动案例

［中图分类号］  G642                    ［文献标志码］  A                  ［文章编号］  2096-0603（2023）19-0129-04

一、引言

20世纪40年代，第一台计算机在美国诞生，它的出现和蓬勃发展彻底地改变了人类的生活，极大地推动了科学技术的迅猛发展。它的作用有目共睹，从卫星上天到日常生产、生活管理，从人工智能到人与人之间的联系、交流，都离不开计算机的使用。计算机已成为人们工作和生活的重要组成部分。人类社会在经过农业经济时代、工业经济时代后，正在进入史无前例的知识经济时代，经济的增长将更多地依赖于知识和信息的生产、应用和推广，人类社会正在成为名副其实的信息化社会，此既为计算机技术的发展提供了机遇和动力，同时也提出了更多的新问题和高要求。解决和处理这些问题的关键就需要核心技术的完善和创新。要想成为适合于创新时代发展需求的、有竞争实力的创新型高素质人才，没有深厚的计算机理论基础和应用能力是根本不可能的。为适应这一现代化发展的客观要求，各级各类高等院校大都开设了信息与计算科学专业，其专业课程的教学面临着新的机遇与挑战，该专业的专业课教学改革已成为这一方向教育工作者探索与实践的热点。因此，作为计算机科学技术理论基础学科之一的离散数学课程改革也非常必要。

离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的一门学科，符合计算机研究和处理“离散对象”的特点，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。例如，在计算机发展初期，人们利用布尔代数理论研究开关电路，建立了一套完整的数理逻辑理论，对计算机逻辑设计起到了很大的作用。此外，在计算机科学中普遍采用离散数学中的基本概念、基本思想和方法。例如，集合論的概念和方法、抽象代数的概念和方法、归纳和递归的方法在计算机科学的各个领域随处都能碰到。所有这些都使离散数学在计算机科学中的地位和作用越来越重要，使其在计算机学科知识体系中占有核心位置。因此，有人把离散数学称为“计算机数学”。这门学科的研发可以为计算机技术的迅猛发展提供深厚的理论基础。

鉴于离散数学这门学科对计算机的发展起着如此重要的作用，因此，对它的教与学就提出了更新的目标。通过这门课程的学习，不仅要为学生进一步的专业理论知识学习和将来从事的软、硬件开发和应用研究打下夯实的理论基础，同时还要培养其严格的逻辑推理、抽象思维和创新能力。但由于这门课程具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，致使在实际教学中出现了课时少与教学内容多的矛盾、学生学习兴趣不高、教学效果不理想等现象。因此，如何提高离散数学课程的教学水平和质量，对学生后续课程的学习和今后进一步科学研究均具有现实的意义。国内外从事离散数学教学的教育专家们一直在探讨有关离散数学的教学新动态、培养新思路和教育思想，探索新的教育模式，积累了一定的研究成果。作为从事离散数学多年的一线教师，我们课题组成员结合研究和自己多年的教学实践，在教学方法和内容方面进行了一些初步探讨。

二、离散数学课程教学改革的具体实践

在进行离散数学课程的改革实践活动中，我们从以下几个方面具体地进行了改革尝试。

（一）寻找恰当的思政元素，将时政教育引进离散数学课堂

立德树人是大学教育的基本目的。大学教育不仅要培养学生掌握更多的专业知识和专业技能，更要培养学生正确的“三观”、高度的社会责任感和家国情怀。每个学生在大学学习期间，不仅要关注自己的学业，更应关注他人、关注集体、关注国家和社会的发展，将自己的发展和祖国的建设紧紧联系在一起。因此，我们在离散数学课程的授课期间，可以结合教学内容，基于一些合适的思政元素，适时地对学生进行思政教育。例如，在介绍元素与集合的关系这个知识点的时候，可以这样介绍：全国人民组成了一个集合，这个集合就是国家，它其中的每个元素就是一个个中华儿女。人与人之间的所有关系都是建立在这个集合上的。因此，我们每个中华儿女都要热爱这个集合。此外，在介绍图论的相关内容中，可以引入中国数学家管梅谷在1962年提出的中国邮递员问题。这个案例的介绍，提高了学生的民族自豪感，增强了学生的民族自信心。

（二）以实现学生创新能力培养为教学目标，选择培养学生缜密逻辑思维和创新思维的教育教学方法

通过离散数学的学习，我们要培养学生思维的缜密性。离散数学是计算机专业的基础课，而计算机不是“人脑”，它的所有活动都是听从各种指令即程序来完成的。计算机不会像人脑一样，对一些有歧义的东西做出自己的判断。例如，我们平常说的“或”，它是有二义性的。命题“张三是100米跑或400米跑冠军”中的“或”是“可兼或”，即张三可以同时是100米跑和400米跑的冠军，而命题“张三今晚八点在家看电视或去图书馆学习”中的“或”是“排斥或”，即张三在晚上八点的时候不可以同时在家看电视和去图书馆学习。对于我们人来说，自然而然地就可以做出清晰的判断，但计算机则需要借助一定的算法才可以实现。因此，对于从事计算机技术的研发人员而言，从算法的设计到程序的编写及调试都需要严谨、准确、清晰的逻辑思维。教师要在离散数学的教学过程中，重视对学生缜密逻辑思维能力的培养。

基于学生逻辑思维能力的培养和训练，我们还要培养学生思维的创新性。面对全球化、网络化、知識化和高新技术化的新科技时代，培养创新型人才是社会发展的必要。在离散数学的教学过程中，我们不仅要培养学生会想，同时还要培养学生大胆想，一个问题不仅要正面想，同时还要反面想、多面想，拓宽学生的思维，进而得到创新能力的培养和训练。当然，这是一个逐步学习的过程，不可能一蹴而就。创新的前提是有深厚的理论基础，不然，新的想法可能就是错想、胡想、乱想。总之，在离散数学的教学过程中，我们要逐步培养学生的创新思维和创新能力。

（三）增加离散数学理论在计算机中的应用这部分内容的实践环节，鲜活抽象理论的应用

在过去的教学过程中，无论是教材的编排还是教师的教学，由于离散数学理论性强，知识点多且散，导致教师的教与学生的学沿袭了传统数学的教与学方法，重证明、轻应用，导致部分学生产生了这门课程与计算机技术无关的错误思想，失去学习的兴趣。现在我们对教学方法进行了改革。在每一部分的理论学习任务结束后，让学生自由组合，分成不同的小组，学生可以通过查文献、小组讨论，以小组的形式完成一个本章知识点的应用案例。通过选取典型案例，学生可以理解和掌握课堂所学习到的知识点在计算机科学中的具体应用，了解离散数学理论在计算机应用中的重要性，激发学习这门课程的学习兴趣和积极性。

事实上，数理逻辑和图论的相关内容为计算机硬件系统的设计提供了理论基础。众所周知，开关电路是计算机硬件系统的核心组成部分，开关电路的设计将要用到范式和布尔代数的相关理论。大规模集成电路的设计、大型的赋权图中最短路径的设计离不开图论的相关知识。代数系统的相关理论广泛应用于通信工程中信号的输入和输出以及密码学及密钥学中。因此，在每一章，我们都确定一个知识点，简单介绍这个知识点的应用，然后让学生围绕这个知识点，从介绍背景到具体应用，完整地提交一个应用案例分析。应用实例的引入不仅可以激发学生理论学习的积极性，同时还可以培养学生利用基本理论解决实际问题的动手能力。

（四）将抽象的数学知识形象化

离散数学中有些内容比较抽象，为了帮助学生深刻理解这些抽象的知识点，在教学过程中有必要将这部分内容形象化。例如，一阶谓词逻辑中如下四个重要的等值式与蕴含式，

在讲解这些抽象的公式时，我们可以通过引入一个具体且形象的例子，帮助学生理解和准确记忆这些关系式。假设个体变元x的论述域是在座的全体学生组成的集合U，A（x）：x有苹果，B（x）：x有梨。（1）左端表示命题“所有同学有苹果且有梨”，右端表示命题“所有同学有苹果且所有同学有梨”，显然这两个命题等值。（2）左端表示命题“所有同学或者有苹果或者有梨”，右端表示命题“所有同学有苹果或者所有同学有梨”，显然当右端命题真值为真时，左端命题真值一定为真；但当左端命题真值为真时，右端命题真值不一定为真。故左端与右端一定不等值，而且是“右？圯左”。（3）与（4）可以同样地理解。（3）左端表示命题“存在部分同学有苹果或者有梨”，右端表示命题“存在部分同学有苹果或存在部分同学有梨”。显然当左端命题真值为真时，右端命题真值一定为真，即“左？圯右”；进一步，由于“一个同学有苹果”真值为真，则“该同学有苹果或有梨”真值则为真，这样当右端命题为真时，左端命题一定为真，即“右？圯左”，故（3）为一个等值式。（4）左端表示命题“存在部分同学既有苹果又有梨”，右端表示命题“存在部分同学有苹果且存在部分同学有梨”。显然，当左端命题真值为真时，右端命题真值一定为真，即“左？圯右”。但是，当右端命题真值为真时，会出现这样一种情形：“有苹果的同学没有梨，而有梨的同学又恰好没苹果”，此时，左端命题为假，故（4）不是等值式，只能是“左？圯右”。又比如，我们在讲解二元关系这个概念时，如果我们简单地给出定义“笛卡尔积A×B的任一子集是一个从A到B的二元关系”，学生就会感觉到特别困惑，为什么这样一个集合就可以用来表示关系呢？因为我们通常说的关系是元素之间的一种联系。针对这个概念，我们也是引入了形象的例子来帮助学生进行理解。幼儿园召开家长会，到会的家长组成了集合A={A，C，D，E}，到会的小朋友也组成了一个集合B={a，b，c，d，e}。这里，b小朋友的家长由于工作紧张，请不了假，这次家长会就没有参加。又知道，A是a的父亲，B是b的母亲，C是c的母亲，D是d的母亲，那么，今天到会的家长与小朋友之间就有两种不同关系，或者母子关系，或者父子关系。现以到会的家长为序偶的第一元素，小朋友为序偶的第二元素构成序偶，那么序偶与有一个共同的属性，即这两个序偶的第一元素都是第二元素的父亲，它们体现的均是父与子的关系。这样，让这两个序偶组成一个新的序偶集R={，}。在这个集合中，每一个元素都是序偶，而且序偶的第一元素是第二元素的父亲，因此，我们就自然而然地把这个集合称为父子关系。这样，我们就把平常说的一个关系用数学上的定义表示出来了。进一步，我们就可以利用数学的理论和方法研究它的性质。基于这种具体、形象、生动的实例引入，鲜活了这些抽象的知识点，学生就易于接受这些抽象的知识点。

（五）在教学过程同时兼备专业外语词汇的引入，通过润物细无声的方法，帮助学生掌握相关的专业外语词汇，提高专业文献的阅读理解能力，使离散数学的教学逐步与国际接轨

对从事计算机应用与科学研究的高级研发人员来说，读外文资料、外文文献及进行科技查新是必然的，甚至对从事最基本的计算机销售的普通营销和维修人员而言，读懂计算机说明书也是必需的。这样，掌握一定的专业外语可对他们的工作和学习提供很大的帮助。既如此，我们的本科教育就有必要让学生接触到一些专门的外语词汇，为其后续的工作和研究奠定外语基础。考虑到教学时数安排得较少，我们可以在教学过程中顺便给出一些概念的外语词汇。例如在第一章介绍数理逻辑的时候，对于几个联结词（connectives），我们可以在介绍它们的定义时，顺便给出它们的外文形式：命题（proposition），否定（negation），合取（conjunction），吸取（disjunction），条件（conditionalstatement），双条件（biconditional statement）。在每一章，我们都可以选取一定关键特殊的词汇这么引入，这样经过一学期的学习，日积月累，学生将会逐步掌握比较多的专业外语词汇，其普通外语的水平也逐步得到了提高。了解国外计算机专业基础的发展进程，学习和吸收国外的先进技术，使离散数学的教学与国外接轨。计算机技术的迅猛发展，推动了离散数学基础理论的深入并扩大了应用范围，外语水平的提高，势必有益于我们学习国外离散数学先进的基础理论。

我们在教学和教材改革上所做的这些改革与探索，其目的是为了适应信息与计算机专业学生现代教育的需要。我们欣喜地看到，通过这些改革，学生学习的目的明确了，学习兴趣浓厚了，学习积极性提高了。

三、离散数学课程教学改革的分析与评价

离散数学是信息与计算机科学专业一门必修的专业基础课程。如何体现这门课程的特点，使学生正确理解各个基本概念，掌握相关基本理论，了解各个知识点在计算机软、硬件开发过程中的具体应用，提高学生的计算机专业外语水平，培养学生科技创新的基本能力，是我们对这门课程进行教学改革的基本目的。基于此，我们对本次的教改活动进行分析和评价，以促进以后离散数学课程的教学活动。总结我们的教育教学实践活动，我们的教学改革实现了如下内容的统一。

（一）思政教育与离散数学课程的理论教学有机统一

在离散数学的教学过程中，坚持为党育人、为国育才，落实立德树人根本任务。通过分析课程内容，寻求合适的思政元素，适时地对学生进行思政教育，完成了思政教育与理论教学的有机统一。

（二）离散数学课程的理论教学与应用实践的有机统一

教学过程中，我们尽量把一些国内外成熟的离散数学教学研究成果融入教学中，突出了基础理论知识的应用。离散数学主要介绍在计算机软、硬件开发中所需的一些重要基本理论。这门课程的教学不仅可以培养未来从事计算机研究高级人才的逻辑思维，同时还为他们从事未来的计算机研究打下了坚实的理论基础。但是，如何将理论应用于实践，从而进一步指导实践活动，这也需要我们在教学过程中引起特别的重视。科学发展日新月异，新的研究成果层出不穷，离散数学的内容不断更新，系统化的思维训练，需要有系统化的课程体系作支撑，构建以“概念→理论→应用→实践”为主线的四階段课程学习体系，使理论联系实际贯穿于学生离散数学的各个阶段，以培养学生良好的数学素养和应用能力。

（三）离散数学课程中理论教学与专业外语教学有机统一

计算机专业理论和应用具有明显的全球化特点。我们不仅要学习国外的先进技术，还要推广先进经验和技术。因此，具有较高的专业外语水平是从事计算机理论和研究人才所应具备的基本技能。我们要在离散数学这门课程的学习中加大学生这一方面的培养，通过双语教学，提高学生的外语水平，提高学生科技创新的能力。

（四）抽象理论与形象实例的有机统一

离散数学与其他计算机专业课相比较，其理论性较强，内容较抽象，有些概念的理解对学生来说比较困难。通过引入一些形象生动的例子，有助于学生对这些抽象概念和理论的理解。

（五）与其他计算机专业理论课程的关系研究

离散数学是学好其他计算机课程的基础。它的学习首先培养学生严谨的逻辑思维，这是一个程序员所应具备的基本技能。逻辑思维严谨，其算法、思想才会准确、清晰。其次，离散数学课程中所讲授的有关图论的基本概念和基本理论，在以后的课程中也会接触到，例如赋权图中求最短路径中的Dijkstra算法及二叉树理论在数据结构中也有介绍。因此，通过离散数学的学习，为以后其他专业课的学习打下了扎实的理论基础。

四、离散数学课程教学改革的成果

总结本次教育教学实践活动，我们取得如下可喜的成果。

1.通过教改实践，完善了教学大纲，编写了新的教案。在教学内容、教学方法、教学手段和考试方案等诸多方面进行了有效的改革。

2.通过教改实践，逐步锻炼了学生的创新能力，培养了学生缜密的逻辑思维，同时激发了学生学习离散数学的积极性，学生的专业理论和专业外语水平有明显的提高。

3.通过教改研究，建立了一个精诚团结、结构合理、战斗力较强的教学科研团队。这一团队可以胜任和完成更加艰巨的科研与教学任务。

参考文献：

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［3］徐凤生.“离散数学”精品课程的建设与实践［J］.高等理科教育，2009（1）：143-146.

［4］陆雄文．管理学大辞典［M］.上海：上海辞书出版社，2013.

［5］Kennth H. Rosen，Discrete Mathematics and its Applications（影印版）［M］.北京：机械工业出版社，1996.

［6］屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2015.

◎编辑 马燕萍