怎样解答立体几何问题

关峰

立体几何问题的命题形式有很多种，如：（1）证明空间中的平行、垂直关系；（2）求空间角的大小；（3）判断空间中点、线、面之间的位置关系；（4）求空间几何体的体积或表面积.解答立体几何问题的常用方法主要有向量法和几何法.下面我们结合实例探讨一下向量法和几何法的特点和应用技巧.

一、向量法

利用向量法解答立体几何问题，需先根据题意和图形建立合适的空间直角坐标系，一般需寻找相互垂直，且交于一点的三条直线，并将其视为坐标轴；然后根据点所在的位置，求得各点在x、y、z轴方向上的垂直或平行距离，得到各点的坐标；再根據向量的加法、减法、数乘运算法则求得问题的答案.一般地，需根据点的坐标、线段的方向向量、平面的法向量来判断点、线、面的位置关系，根据向量的数量积公式求空间角的大小.

例1

解答本题，需先作 DE ⊥ AB 于 E ，CF ⊥ AB 于 F ，利用勾股定理证明 AD ⊥ BD ；再根据 PD ⊥平面ABCD ，构建空间直角坐标系；然后求得各个点的坐标、直线的方向向量、平面 PAB 的法向量；最后通过向量运算证明AP?BD = 0 ，根据向量的数量积公式求得PD 与平面 PAB 的法向量所成角的余弦值.在运用向量法求空间角的大小时，要注意直线与平面法向量之间的关系，以及所求角的取值范围.

二、几何法

几何法是解答立体几何问题的基本方法.运用几何法解答立体几何问题，需学会根据题意添加合适的辅助线，灵活运用立体几何中的基本公式、定理、公理、性质.一般地，证明空间中的线面平行（垂直），需依据线面平行（垂直）的判定定理和性质定理进行推理论证；求几何体的体积、表面积，需通过作辅助线，将其拆分或填补为规则的几何体，根据简单几何体的体积公式、表面积公式求解；求空间角的大小，往往要根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的定义进行求解.

例2

解：

对于第一个问题，我们需先添加辅助线，根据全等正三角形的性质推出 EM ⊥ AB ，FN ⊥ BC ，EM = FN ；再根据线面垂直的判定定理证明 EM ⊥平面 ABCD ， FN ⊥平面 ABCD ，即可根据线面垂直的性质定理推出 EM//FN ，从而证明四边形 EMNF 为平行四边形；最后根据线面平行的判定定理证明 EF// 平面 ABCD .对第二个问题，需分别取 AD 、DC 的中点 K，L ，连接MN、 KL、LN、MK，根据平行四边形的性质以及第一个问题中的垂直、平行关系求得 KM、MN、NL、LK、EM 的长度，并根据柱体和椎体的体积公式求得长方体 KMNL - EFGH 的体积与四棱锥 B - MNFE 体积，即可解题.

综上所述，几何法的适用范围较广，对于大部分的立体几何问题，都可以采用该方法求解，但解题过程稍微复杂一些；向量法较为简单，但是需在能够建立空间直角坐标系的情况下使用.